2017_2018学年高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.1.1习题精选北师大版必修5


第 1 课时 等比数列的定义和通项公式 课后篇巩固探究 ( ) 1.若{an}是等比数列,则下列数列不是等比数列的是 A.{an+1} 答案:A 2.在等比数列{an}中,2a4=a6-a5,则公比是( A.0 C.-1 或 2 B.1 或 2 D.-1 或-2 3 5 4 B. C.{4an} D.{ } ) 解析:设公比为 q(q≠0),由已知得 2a1q =a1q -a1q , ∴2=q2-q,∴q2-q-2=0, ∴q=-1 或 q=2. 答案:C 3.若一个等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这个数列的项数为( A.3 B.4 C.5 D.6 ) 解析:在等比数列中, ∵ , ∴n-3=1,即 n=4,故选 B. 答案:B 4.若数列{an}满足 an+1=4an+6(n∈N+)且 a1>0,则下列数列是等比数列的是( A.{an+6} C.{an+3} B.{an+1} D.{an+2} ) 解析:由 an+1=4an+6 可得 an+1+2=4an+8=4(an+2),因为 a1>0, 所以 an>0,从而 an+2>0(n∈N+),因此 答案:D 5.在等比数列{an}中,若 a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,则 a7·a8·a9 的值等于( A.48 B.72 C.144 D.192 3 =4,故{an+2}是等比数列. ) 解析:设公比为 q,由 a6·a7·a8=a5·a6·a7·q , 得 q = =8. 所以 a7·a8·a9=a6·a7·a8·q =24×8=192. 答案:D 3 3 6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公 比为( A. ) B.4 C.2 D. 解析:∵a1,a3,a7 为等比数列{bn}中的连续三项, ∴ =a1·a7. 设{an}的公差为 d,则 d≠0, ∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d. ∴公比 q= 答案:C 7.(2017 全国 3 高考)设等比数列{an}满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4= 解析:设{an}的公比为 q,则由题意,得 答案:-8 8.设数列{an}是等比数列,公比 q=2,则 解析:∵q=2,∴2a1=a2,2a3=a4, 的值是 解得 3 =2,故选 C. . 故 a4=a1q =-8. . ∴ . 答案: 9.已知数列{an}满足 a9=1,an+1=2an(n∈N+),则 a5= 解析:由 an+1=2an(n∈N+)知,数列{an}是公比 q= . =2 的等比数列. 所以 a5=a1q = 4 . 答案: 10.若数列{an}为等差数列,且 a2=3,a5=9,则数列 或“等比”). 一定是 数列(填“等差” 解析:设{an}的公差为 d,则 解得 于是 an=2n-1, 从而 =2· , 设 bn=2· ,则 , 故 答案:等比 11. 解析:∵a1a9= 一定是等比数列. 导学号 33194017 在等比数列{an}中,a1·a9=256,a4+a6=40,则公比 q= . q8,a4a6=a1q3·a1q5= q8, ∴a1a9=a4a6. 可得方程组 解得 ∴q2= 或 q = =4. 2 ∴q=± 或 q=±2. 答案:-2,2,12.在等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式. 解(1)设{an}的公比为 q(q≠0),由已知得 16=2·q ,解得 q=2,∴an=a1·q =2×2 =2 . (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32, 设{bn}的公差为 d, 3 n-1 n-1 n 则有 解得 ∴bn=-16+12(n-1)=12n-28. 13. 导学号 33194018 已知关于 x 的二次方程 anx -an+1x+1=0(n∈N+)的两根 α ,β 2 满足 6α -2α β +6β =3,且 a1=1. (1)试用 an 表示 an+1; (2)求证:数列 为等比数列; (3)求数列{an}的通项公式. (1)解因为 α ,β 是方程 anx -an+1x+1=0(n∈N+)的两根, 2 所以 又因为 6α -2α β +6β =3,所以 6an+1-3an-2=0. 所以 an+1= an+ . (2)证明因为 an+1= an+ ? an+1- an- 为常数,且 a1- , 所以 为等比数列. (3)解令 bn=an- ,则{bn}为等比数列,公比为 ,首项 b1=a1- , 所以 bn= . 所以 an=bn+ . 所以数列{an}的通项公式为 an= 14. . 导学号 33194019 容积为 a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出 1 L,然后加满水, 再倒出 1 L 混合溶液后又用水加满,如此继续下去,问第 n 次操作后溶液的浓度是多少?当 a=2 时,至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于 10%? 解开始的浓度为 1,操作一次后溶液的浓度是 a1=1- . 设操作 n 次后溶液的浓度是 an,则操作 n+1 次后溶液的浓度是 an+1=an . 所以{an}构成以 a1=1- 为首项,q=1- 为公比的等比数列. 所以 an= ,即第 n 次操作后溶液的浓度是 . 当 a=2 时,由 an= ,得 n≥4. 因此,至少应倒 4 次后才可以使酒精浓度低于 10%.

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