2017-2018学年高中数学人教A版选修第2章《13抛物线及其标准方程》课时作业


单元练习 课时作业(十三) 抛物线及其标准方程 A 组 基础巩固 1.抛物线 y =4x 的焦点到准线的距离为( ) A.1 B.2 C.4 D. 8 2 解析:由 y =4x 得焦点坐标为(1,0),准线方程为 x=-1,∴焦点到准线的距离为 2. 答案:B 2 2.以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( 16 9 2 2 A.y =16x B.y =12x 2 2 C.y =-20x D.y =20x 解析:由已知抛物线的焦点为(4,0), 2 则设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0). x2 y2 ) ∴ =4,p=8.∴所求方程为 y =16x. 2 答案:A 3.已知动点 M(x,y)的坐标满足 x- 2+y2=|x+2|,则动点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上均不对 解析:设 F(2,0),l:x=-2,则 M 到 F 的距离为 x- 2+y2,M 到直线 l:x=- 2 的距离为|x+2|,又 x- 2+y2=|x+2|,所以动点 M 的轨迹是以 F(2,0)为焦点,l: x=-2 为准线的抛物线. 答案:C 2 4.动圆的圆心在抛物线 y =8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点 ( ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 2 解析:x+2=0 为抛物线 y =8x 的准线,由抛物线定义知动圆一定过抛物线的焦点. 答案:B 2 5.抛物线 y=ax 的准线方程是 y-2=0,则 a 的值是( ) 1 1 A. B.- C.8 D.-8 8 8 1 1 1 2 解析:抛物线方程化为标准形式为 x = y,其准线方程为 y=- =2,所以 a=- . a 4a 8 答案:B 2 6.抛物线 y =mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,则此抛物线的方程为( ) 2 A.y =-16x 2 B.y =8x 2 2 C.y =16x 或 y =-8x 2 2 D.y =-16x 或 y =8x 解析:抛物线的准线方程为 x=- ,则?1+ ?=3,m=8 或-16. 4 ? 4? 2 2 ∴所求抛物线方程为 y =8x 或 y =-16x.故选 D. 答案:D 7.已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l:x=-2 的距离相等,则点 P 的轨迹 方程为__________. 解析:由条件可知 P 点的轨迹为抛物线,其焦点为(2,0),准线方程为 x=-2, 所以 =2,p=4,轨迹方程为 y =2px=8x. 2 p 2 m ? m? p 2 单元练习 答案:y =8x 8.已知点 A(0,-2),直线 l:y=2,则过点 A 且与 l 相切的圆的圆心的轨迹方程为 ________. 解析:设圆心为 C,则|CA|=d,其中 d 为点 C 到直线 l 的距离,所以 C 的轨迹是以 A 为焦点,l 为准线的抛物线. 2 所以所求轨迹方程为 x =-8y. 2 答案:x =-8y 2 9.设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上, 则 B 到该抛物线准线的距离为________. 2 ? ? 2 解析:由已知得 B 点的纵坐标为 1,横坐标为 ,即 B? ,1?,将其代入 y =2px(p>0) 4 ?4 ? p p p p p 3 3 2 得 1=2p× ,解得 p= 2,则 B 点到抛物线准线的距离为 + = p= . 4 2 4 4 4 3 2 答案: 4 2 2 10.动圆 P 与定圆 A:(x+2) +y =1 外切,且与直线 l:x=1 相切,求动圆圆心 P 的 轨迹方程. 解:如图,设动圆圆心 P(x,y),过点 P 作 PD⊥l 于点 D,作直线 l′:x=2,过点 P 作 PD′⊥l′于点 D′,连接 PA. 设圆 A 的半径为 r,动圆 P 的半径为 R,可知 r=1. ∵圆 P 与圆 A 外切, ∴|PA|=R+r=R+1. 又∵圆 P 与直线 l:x=1 相切, ∴|PD′|=|PD|+|DD′|=R+1. ∵|PA|=|PD′|,即动点 P 到定点 A 与到定直线 l′距离相等, ∴点 P 的轨迹是以 A 为焦点,以 l′为准线的抛物线. 2 设抛物线的方程为 y =-2px(p>0), 可知 p=4, 2 ∴所求的轨迹方程为 y =-8x. B 组 能力提升 2 11.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 单元练习 解析:如图所示,动点 P 到 l2:x=-1 的距离可转化为|PF|,由图可知,距离和的最 |4+6| 小值即 F 到直线 l1 的距离 d= 2 =2. 2 4+ - 答案:A 2 12.设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 __________. 解析:由题意知 P 到抛物线准线的距离为 4-(-2)=6,由抛物线的定义知,点 P 到抛 物线焦点的距离也是 6. 答案:6 ?7 ? 2 13.已知抛物线 y =2px(p>0)上的一点 M 到定点 A? ,4?和焦点 F 的距离之和的最小 ?2 ? 值等于 5,求抛物线的方程. 解: 7 16 2 (1)当点 A 在抛物线内部时,4 <2p· ,即 p> 时,|MF|+|MA|=|MA′|+|MA|. 2 7 当 A,M,A′共线时(如图中,A,M′,A″共线时),(|MF|+|MA|)min=5. p 7 3 16 2 故 =5- = ? p=3,满足 3> ,所以抛物线方程为 y =6x. 2 2 2 7 7 2 (2)当点 A 在抛物线外部或在抛物线上时,4 ≥2p·

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