高二数学立几测试题


《立体几何》综合测试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )

2.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体 需要的小正方体的块数是( ) A.8 B. 7 C.6 D.5

3.如图,梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图(斜二测),若

A1D1∥O1y1,A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=1,则梯形 ABCD 的面
积是( A.10 ) B.5 C.5 2 D.10 2 )

2 3

4.一直线 l 与其外三点 A,B,C 可确定的平面个数是( A.1 个 B.3 个 C.1 个或 3 个

D.1 个或 3 个或 4 个

5.下列说法不正确的是( ) A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 第3题 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 6.过球的一条半径的中点, 作垂直于该半径的平面, 则所得截面的面积是球的表面积的 ( ) 3 9 3 5 A. B. C. D. 16 16 8 8 7.向高为 H 的容器中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所示,那么 容器的形状应该是图中的( )

8.如图,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四 个命题: ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交;②过 M 点有 且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直;③过 M 点有且只有一个平 面与直线 AB,B1C1 都相交;④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,

B1C1 都平行.其中真命题是(
A.②③④ B.①③④

) C.①②④ D.①②③

9.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;②若一个平面经 过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④ 若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中, 为真命题的是( A.①和② ) B.②和③ C.③和④ D.②和④

10.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为( ) 1 2 3 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 11.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 1 上有两个动点 E, F,且 EF= ,则下列结论错误的是 2 ( ) A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD

C.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 12.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结 论正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 ABC

B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为________. 3 2 14.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 3, 2 则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为_______. 15.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD =1,E,F,G 分别是 DD1,AB,CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角________. 16.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,在 l 上取线段 AB=4, AC、BD 分别在平面 α 和平面 β 内,且 AC⊥AB,DB ⊥AB,AC =3,BD=12,则 CD 的长度为________. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 70 分.解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视 图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.
第 15 题

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

18.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 中点.

(1)求证:AB1⊥BF; (2)求证:AE⊥BF; (3)棱 CC1 上是否存在点 F,使 BF⊥平面 AEP,若存在,确定点 P 的位置;若不存在, 说明理由.

19.如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AC =BC=2,AA1=4,AB=2 2,M,N 分别是棱 CC1,AB 中点.

(1)求证:CN⊥平面 ABB1A1; (2)求证:CN∥平面 AMB1; (3)求三棱锥 B1-AMN 的体积.

20、 (文科)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形 且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点。 (1)求证: B1C // 平面 A1 BD ; (2)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (3)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值.

(理科)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE 和平 面 ABC 所成的角为 60° ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上.

(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值.

高二级数学答题卡
姓名: 一、选择题 题号 选项 二、填空题 13、 三、解答题 17、 14、 15、 16、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 班级: 座号: 得分:

《立体几何》综合测试题参考答案
1. 解析:由三视图知,原几何体是由一个圆柱和一个圆台组成的,因此选 D. 答案:D 2.解析:由正视图和侧视图,知该几何体由两层小正方体拼接成,则俯视图可知,最下层有 5 个小正方体,由侧视图知上层仅有一个小正方体,则共有 6 个小正方体.答案:C 3.解析:由直观图,知梯形 ABCD 是一个直角梯形,且 AB=A1B1=2,CD =C1D1=3,AD=2A1D1 =2,∴梯形 ABCD 的面积为 2+3 ×2=5.答案:B 2

4.解析:当 A,B,C 共线且与 l 平行或相交时,确定一 个平面;当 A,B,C 共线且与 l 异 面时,可确定 3 个平面;当 A,B,C 三点不共线时,可确定 4 个平面. 答案 5. D

解析:如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD⊥平面 DCC1D1,因此平面 ABCD、 平面 AA1D1D 均与平面 DCC1D1 垂直而且平面 AA1D1D∩平面 ABCD=AD,显然选项 D 不正 确,故选 D. S截面 πr2 3 3 ?R? 6.解析:设球半径为 R,截面圆半径为 r.? 2 ?2+r2=R2,r2= R2, = . 2= ? ? 4 S球 4πR 16 答案:A 7. 解析:由函数曲线,知水的体积随 水深 h 的增大,体积增长的越来越快.答案:D 8.解析:将过点 M 的平面 CDD1C1 绕直线 DD1 旋转任意非零的角度,所得平面与直线 AB,B1C1 都相交,故③错误,排除 A,B,D.答案 9.答案:D 10.解析:由题意知三棱锥 A1-ABC 为正四面体,设棱长为 a,则 AB1= 3a,棱柱的高 A1O 6 ?2 3 ? a2-? × a?2= a(即点 B1 到底面 ABC 的距离),故 AB1 与底面 ABC 所 3 ?3 2 ? A1 O 2 成角的正弦值为 = ,故选 B. AB1 3 11.解析:易证 AC⊥平面 BB1D1D,∴AC⊥BE. = a2-AO2= ∵EF 在直线 B1D1 上,易知 B1D1∥面 ABCD,∴EF∥面 ABCD, C

VA-BEF= × × ×1×

1 3

1 2

1 2

2 2 = . 2 24

∴A、B、C 选项都正确,由排除法即选 D.

12.解析:易知:△BCD 中,∠DBC=45° ,∴∠BDC=90° , 又平面 ABD⊥平面 BCD,而 CD⊥BD,∴CD⊥平面 ABD,∴AB⊥CD, 而 AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD,∴平面 ABC⊥平面 ACD.答案:D
1 2 13. 解析:此棱锥底面是边长为 3 的正方形,高为 1,所以体积为 ×3 ×1=3. 3

1 3 2 3 2 14.解析:设正四棱锥的高为 h,则 ×( 3)2h= ,解得高 h= ,则底面正方形的对角 3 2 2 ?3 2?2 ? 6?2 ? ? +? ? = 6,所以球的表面积为 4π( 6)2=24π. ? 2 ? ?2? 15.解析: 连接 EG,B1G,B1F,则:A1E∥B1G,故∠B1GF 为异面直线 A1E 与 GF 所成的 角.由 AA1=AB=2,AD=1 可得 B1G= 2,GF= 3,B1F= 5, ∴B1F2=B1G2+GF2,∴∠B1GF=90° ,即异面直线 A1E 与 GF 所成的角为 90° . 16. 线长为 2× 3= 6,所以 OA=

解析: 如图,连接 AD. ∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α, 在 Rt△ABD 中,AD= AB2+BD2= 42+122= 160.
在 Rt△CAD 中,CD= AC +AD = 3 +160=13.
2 2 2

17.解:由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形, 正侧面及其相对侧面均为底边为 8 的等腰三角形,左、右侧面均为底边为 6 的等腰三角形. 1 1 (1)几何体的体积 V= · S · h= ×6×8×4=64. 3 矩形 3 (2)正侧面及其相对侧面底边的高为:h1= 42+32=5. 左、右侧面的底边上的高为:h2= 42+42=4 2. 1 1 故几何体的侧面积 S=2×( ×8×5+ ×6×4 2)=40+24 2. 2 2 18.(1)证明:连结 A1B,CD1, ∵AB1⊥A1B,AB1⊥BC,A1B∩BC=B, ∴AB1⊥平面 A1BCD1, 又 BF?平面 A1BCD1,所以 AB1⊥BF. (2)证明:取 AD 中点 M,连结 FM,BM,∴AE⊥BM, 又∵FM⊥AE,BM∩FM=M, ∴AE⊥平面 BFM,又 BF?平面 BFM,∴AE⊥BF. (3)存在,P 是 CC1 的中点.易证 PE∥AB1, 故 A,B1,E,P 四点共面. 由(1)(2)知 AB1⊥BF,AE⊥BF,AB1∩AE=A,

∴BF⊥平面 AEB1,即 BF⊥平面 AEP. 19. (1)证明:因为三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC, 又因为 CN?平面 ABC,所以 AA1⊥CN. 因为 AC=BC=2,N 是 AB 中点, 所以 CN⊥AB. 因为 AA1∩AB=A,所以 CN⊥平面 ABB1A1.

(2)证明:取 AB1 的中点 G,连结 MG,NG, 因为 N,G 分别是棱 AB,AB1 中点, 1 所以 NG∥BB1,NG= BB1. 2 1 又因为 CM∥BB1,CM= BB1, 2 所以 CM∥NG,CM=NG. 所以四边形 CNGM 是平行四边形. 所以 CN∥MG. 因为 CN?平面 AMB1,GM?平面 AMB1, 所以 CN∥平面 AMB1. (3)由(2)知 GM⊥平面 AB1N. 1 1 2 4 所以 VB1-AMN=VM-AB1N= × × ×4× 2= . 3 2 2 3 20、 (文科)解: (1)设 AB1 与 A1B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,
? D 为 AC 中点,? PD// B1C 。又? PD ? 平面 A1B D, ? B1C //平面 A1B D

(2) ? 正三棱住 ABC ? A1B1C1 , ? AA1 ? 底面 ABC。 又? BD ? AC? A1D ? BD

? ?A1DA 就是二面角 A1 ? BD ? A 的平面角。
? AA1 = 3 ,AD=
1 AC=1 2

? tan ?A1DA =

A1A ? 3 AD

? ?A1DA =

? ? , 即二面角 A1 ? BD ? A 的大小是 (3)由(2)作 AM ? A1D ,M 为垂足。 3 3

? BD ? AC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC=AC ? BD ? 平面 A1ACC1 , ? AM ? 平面 A1ACC1 , ? A1 D ? BD = D ? AM ? 平面 A1 DB ,连接 MP,则 ?APM 就是直线 A1B 与平面 A1B D 所成的角。 ? AA1 = 3 ,AD=1,? 在 Rt ? AA1 D 中, ?A1DA = ? AM ? 1 ? sin60? ?
3 1 7 , AP ? AB1 ? 。 2 2 2

? BD ? AM

? , 3

3 AM 21 ? 2 ? . ? sin?AP M ? AP 7 7 2

直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为

21 7

(理科)解:(1)由题意知,△ABC,△ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O,连接 BO,DO, 则 BO⊥AC,DO⊥AC,

又∵平面 ACD⊥平面 ABC, ∴DO⊥平面 ABC,作 EF⊥平面 ABC, 那么 EF∥DO,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴∠EBF=60° ,易求得 EF=DO= 3,

∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴DE∥OF, ∵DE?平面 ABC,OF?平面 ABC,∴DE∥平面 ABC. (2)解:作 FG⊥BC,垂足为 G,连接 EG, ∵EF⊥平面 ABC,∴EF⊥BC,EF∩FG=F,BC⊥平面 EFG,∴EG⊥BC, ∴∠EGF 就是二面角 E-BC-A 的平面角. 1 13 Rt△EFG 中,FG=FB×sin30° = ,EF= 3,EG= . 2 2 ∴cos∠EGF= FG 13 = . EG 13 13 . 13

即二面角 E-BC-A 的余弦值为


相关文档

08年高二数学第二学期立几检测题
高二数学上期末复习试卷一(立几)
高二数学第二学期立几检测题
高二数学立几综合复习题
高二数学最新课件-立几测综合练习题 精品
最新-高二数学练习--立几(直线与平面) 精品
高二数学周末练习7(立几)
高二数学立几总复习
高二数学周末练习7(立几)学生卷
高二数学周练试题六(排列、组合、立几)
电脑版
?/a>