内蒙古巴彦淖尔一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)(普通班) Word版含解析


2015-2016 学年内蒙古巴彦淖尔一中高二(上)期中数学试卷(理科) (普通班)

一、选择题(5 分×12=60 分)在每小题给出的四个选项只有一项正确. 1.“a=1”是“a =1”的( A.充分不必要条件
2



B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2.求经过圆 x +2x+y =0 的圆心 G,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是( A.x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣1=0 C.x+y﹣1=0 D.x+y+1=0

2

2



3.若椭圆 A.1

+

=1 与双曲线



=1 有相同的焦点,则 a 的值是(



B.﹣1 C.±1 D.2

4. 已知椭圆 A.9 B.7

上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3, 则 P 到另一焦点距离为 ( C.5 D.3



5.已知双曲线

(a>0,b>0)的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y =16x 的焦点相 ) D.y=±

2

同,则双曲线的渐近线方程为( A.y=± B.y=± C.y=±

6.设过点(0,b)且斜率为 1 的直线与圆 x +y +2x=0 相切,则 b 的值为( A.2± B.2±2 C.1± D. ±1

2

2



7.已知向量 是( )

=(1,1,0) ,

=(﹣1,0,2) ,且



互相垂直,则 k 的值

A.1

B.

C.

D.

8.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 下列向量中与 相等的向量是( )

= ,

= ,

= ,则

A.﹣



+

B.

+

+

C.



+

D.﹣

+

+

9.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若 E 是 AD 的中点,则异面直线 A1B 与 C1E 所成角的大小 是( )

A.

B.

C.

D.

10.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等 于( A. ) B. C. D.

11.抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线 l 交 x 轴于 R 点,过抛物线上一点 P(4,4)作 PQ⊥l 于 Q,则梯形 PQRF 的面积为( )

2

A.12

B.14

C.16

D.18

12. 已知 F(﹣ c, 0) , F( 0) 为椭圆 1 2 c, 则此椭圆离心率的取值范围是( A. B. C. )

的两个焦点, P 为椭圆上一点且



D.

二、填空题(5 分×4=20 分) 13.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9) ,B(10,﹣1,6) ,C(x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为 .

14.已知 p:3<m<5,q:方程

表示双曲线,则 p 是 q 的

条件(填

“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

15.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点, 则 y1 +y2 的最小值是
2 2

2



16. 已知 F1、 F2 是双曲线的两焦点, 过 F2 且垂直于实轴的直线交双曲线于 P、 Q 两点, ∠PF1Q=60°, 则离心率 e= .

三、解答题 17.已知 p:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相交”;q:“方程 x ﹣x+m﹣4=0 的两根异 号”.若 p∨q 为真,¬p 为真,求实数 m 的取值范围.
2 2 2

18.斜率为 2 的直线 l 经过抛物线的 y =8x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

2

19.已知双曲线 C 的焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,且离心率为 2; (Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)若经过点 M(1,3)的直线 l 交双曲线 C 于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的 方程.

20.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,SA=AB,点 M 是 SD 的 中点,AN⊥SC,且交 SC 于点 N. (Ⅰ)求证:SB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:平面 SAC⊥平面 AMN; (Ⅲ)求二面角 D﹣AC﹣M 的余弦值.

21.已知椭圆 C: (1)求椭圆方程;

=1(a>b>0) ,过点

离心率



(2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点,试求直 线 l 的方程.

22.已知抛物线 C:y =4x,P 为 C 上一点且纵坐标为 2,Q,R 是 C 上的两个动点,且 PQ⊥PR. (1)求过点 P,且与 C 恰有一个公共点的直线 l 的方程; (2)求证:QR 过定点.

2

2015-2016 学年内蒙古巴彦淖尔一中高二(上)期中数学试卷(理科) (普通班) 参考答案与试题解析

一、选择题(5 分×12=60 分)在每小题给出的四个选项只有一项正确. 1.“a=1”是“a =1”的( A.充分不必要条件
2



B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由 a =1 得 a=1 或﹣1, 则“a=1”是“a =1”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.
2 2

2.求经过圆 x +2x+y =0 的圆心 G,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是( A.x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣1=0 【考点】圆的一般方程. 【专题】直线与圆. C.x+y﹣1=0 D.x+y+1=0

2

2



【分析】将圆的方程 x +2x+y =0 可化为, (x+1) +y =1 求其圆心 G(﹣1,0) ,根据直线垂直 的斜率关系,求出与直线 x+y=0 垂直的直线的斜率为 1,根据点斜式即可写出所求直线方程. 【解答】解:圆的方程 x +2x+y =0 可化为, (x+1) +y =1 ∴圆心 G(﹣1,0) , ∵直线 x+y=0 的斜率为﹣1, ∴与直线 x+y=0 垂直的直线的斜率为 1, ∴由点斜式方程可知,所求直线方程为 y=x+1,即 x﹣y+1=0, 故选:A. 【点评】本题考查圆的标准方程和直线的点斜式方程的应用,属于基础题.
2 2 2 2

2

2

2

2

3.若椭圆 A.1

+

=1 与双曲线



=1 有相同的焦点,则 a 的值是(



B.﹣1 C.±1 D.2

【考点】圆锥曲线的共同特征. 【专题】计算题. 【分析】求出双曲线的两焦点坐标,即为椭圆的焦点坐标,即可得到 m,b 的值,然后根据椭 圆的定义得到 a,最后利用 a,b,c 的关系即可求出 b 的值,得到椭圆及双曲线的方程. 【解答】解:由题意可知椭圆 c =4﹣a 双曲线 c =a+2; ∴4﹣a =a+2, 解得:a=1. (负值舍去) 故选 A. 【点评】此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征,会求椭圆的标准方程,是一道综合题.本 题还考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,利用条件求出 a,b,c 值,是 解题的关键.
2 2 2 2

的半焦距 c 的平方为:

的半焦距 c 的平方为:

4. 已知椭圆 A.9 B.7

上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3, 则 P 到另一焦点距离为 ( C.5 D.3



【考点】椭圆的简单性质;椭圆的定义. 【专题】综合题. 【分析】由椭圆方程找出 a 的值,根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常 数 2a,把 a 的值代入即可求出常数的值得到 P 到两焦点的 距离之和,由 P 到一个焦点的距离 为 3,求出 P 到另一焦点的距离即可.

【解答】解:由椭圆

,得 a=5,

则 2a=10,且点 P 到椭圆一焦点的距离为 3, 由定义得点 P 到另一焦点的距离为 2a﹣3=10﹣3=7. 故选 B 【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质,是一道中档题.

5.已知双曲线

(a>0,b>0)的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y =16x 的焦点相 ) D.y=±

2

同,则双曲线的渐近线方程为( A.y=± B.y=± C.y=±

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线的标准方程,得焦点坐标为 F(4,0) ,也是双曲线的右焦点,得 c=4.根 据双曲线的离心率为 2,得 a= c=1,从而得到 b= 题的答案. 【解答】解:∵抛物线 y =16x 的焦点坐标为 F(4,0) ,双曲线一个焦点与抛物线 y =16x 的焦 点相同, ∴双曲线右焦点为 F(4,0) ,得 c=2 ∵双曲线的离心率为 2, ∴ =2,得 c=2a=2,a=1,由此可得 b= = ,
2 2

,结合双曲线的渐近线方程公式,可得本

∵双曲线

的渐近线方程为 y= x

x

∴已知双曲线的渐近线方程为 y= 故选 D

【点评】本题给出双曲线的离心率,求双曲线的渐近线方程,着重考查了抛物线和双曲线的 简单几何性质等知识,属于基础题.

6.设过点(0,b)且斜率为 1 的直线与圆 x +y +2x=0 相切,则 b 的值为(

2

2



A.2±

B.2±2

C.1±

D.

±1

【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】将圆化成标准方程得(x+1) +y =1,得到圆心为 C(﹣1,0)且半径 r=1.将过点(0, b)且斜率为 1 的直线化成一般方程得 x﹣y+b=0,结合题意由点到直线的距离公式建立关于 b 的等式,解之即可得到 b. 【解答】解:∵直线过点(0,b)且斜率为 1, ∴设直线为 l,得其方程为 y=x+b,即 x﹣y+b=0, ∵圆 x +y +2x=0 化成标准方程,得(x+1) +y =1, ∴圆 x +y +2x=0 的圆心为 C(﹣1,0) ,半径 r=1, 由直线 l 与圆相切,可得点 C 到直线 l 的距离等于半径, 即 故选:C. 【点评】本题给出斜率为 1 且过点(0,b)的直线与已知圆相切,求参数 b 的值,着重考查 了直线的方程、圆的方程与直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. =1,解之得 b=1± .
2 2 2 2 2 2 2 2

7.已知向量 是( A.1 ) B.

=(1,1,0) ,

=(﹣1,0,2) ,且



互相垂直,则 k 的值

C.

D.

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】平面向量及应用. 【分析】根据题意,易得 k + ,2 ﹣ 的坐标,结合向量垂直的性质,可得 3(k﹣1)+2k ﹣2×2=0,解可得 k 的值,即可得答案. 【解答】解:根据题意,易得 k + =k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2) , 2 ﹣ =2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2) . ∵两向量垂直, ∴3(k﹣1)+2k﹣2×2=0.

∴k= , 故选 D . 【点评】本题考查向量数量积的应用,判断向量的垂直,解题时,注意向量的正确表示方法.

8.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 下列向量中与 相等的向量是( )

= ,

= ,

= ,则

A.﹣



+

B.

+

+

C.



+

D.﹣

+

+

【考点】相等向量与相反向量. 【专题】数形结合;转化思想;平面向量及应用;空间向量及应用. 【分析】利用向量的三角形法则与平行四边形法则即可得出. 【解答】解: 故选:C. 【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. = = + = ﹣ + = ,

9.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若 E 是 AD 的中点,则异面直线 A1B 与 C1E 所成角的大小 是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题. 【分析】先将异面直线 C1E 放在一个面 AC1 内,再证明另一直线 A1B 与该平面垂直,即可证得 两异面直线 A1B 与 C1E 垂直,从而两异面直线所成角为 90°. 【解答】解:如图,连接 AB1,DC1, 易证 A1B⊥面 AC1,而 C1E? 面 AC1, ∴A1B⊥C1E, 故选 D.

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力, 属于基础题.

10.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等 于( A. ) B. C. D.

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知,取 A1C1 的中点 D1,∠B1AD1 是所求的角,再由已知 求出正弦值. 【解答】解:取 A1C1 的中点 D1,连接 B1D1,AD1, 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,B1D1⊥面 ACC1A1, 则∠B1AD1 是 AB1 与侧面 ACC1A1 所成的角, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,

∴ 故选 A.



【点评】本题主要考查了线面角问题,求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线,再求 线面角的正弦值,是基础题.

11.抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线 l 交 x 轴于 R 点,过抛物 线上一点 P(4,4)作 PQ⊥l 于 Q,则梯形 PQRF 的面积为( A.12 B.14 C.16 )

2

D.18

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】求梯形 PQRF 的面积,关键是确定梯形的上底,下底,及高的长,利用抛物线的定义 即可求得. 【解答】解:∵抛物线方程为 y =4x,焦点为 F,准线 l 交 x 轴于 R 点 ∴抛物线的准线方程为:x=﹣1,FR=2 ∵过抛物线上一点 P(4,4)作 PQ⊥L 于 Q ∴|QR|=4,|PQ|=5 ∴梯形 PQRF 的面积为 故选 B. 【点评】本题考查梯形的面积,解题的关键是利用抛物线的几何性质,正确运用梯形的面积 公式.
2

12. 已知 F(﹣ c, 0) , F( 0) 为椭圆 1 2 c, 则此椭圆离心率的取值范围是( A. B. C. )

的两个焦点, P 为椭圆上一点且



D.

【考点】椭圆的简单性质;向量在几何中的应用. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 P(m,n ) ,由 b m +a n =a b
2 2 2 2 2 2 2

得到 n =2c ﹣m
2

2

2

2

①.把 P(m,n )代入椭圆得到
2 2

②,把①代入②得到 m 的解析式,由 m ≥0 及 m ≤a 求得 的范围. =(﹣c﹣m,﹣n)?(c﹣m,﹣n)=m ﹣c +n ,
2 2 2

【解答】解:设 P(m,n ) , ∴m +n =2c ,n =2c ﹣m
2 2 2 2 2 2

①. 得 b m +a n =a b
2 2 2 2 2 2

把 P(m,n )代入椭圆

②,

把①代入②得 m =

2

≥0,∴a b ≤2a c ,

2 2

2 2

b ≤2c ,a ﹣c ≤2c ,∴ ≥

2

2

2

2

2



又 m ≤a ,∴

2

2

≤a ,∴

2

≤0,故 a ﹣2c ≥0,∴ ≤

2

2



综上,

≤ ≤



故选:C. 【点评】本题考查两个向量的数量积公式,以及椭圆的简单性质的应用,属于基础题.

二、填空题(5 分×4=20 分) 13.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9) ,B(10,﹣1,6) ,C(x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为 2 或 6 . 【考点】空间两点间的距离公式. 【专题】计算题.

【分析】根据△ABC 是以 BC 为斜边的等腰三角形,得到两条腰的长度相等,根据两点之间的 距离公式写出关于 x 的等式,解方程即可. 【解答】解:∵点 A(4,1,9) ,B(10,﹣1,6) ,C(x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为 底边的等腰三角形, ∴|AB|=|AC|, ∴ ∴4=(4﹣x) ∴x=2 或 x=6 故答案为:2 或 6 【点评】本题考查空间中两点之间的距离公式,本题是一个基础题,这种题目若出现就是一 个送分题目,同学们在解题过程中认真做出数字,就不会出错.
2



14.已知 p:3<m<5,q:方程

表示双曲线,则 p 是 q 的 充分不必要 条件

(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】规律型. 【分析】结合双曲线的方程,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:若方程 则(m﹣2) (m﹣5)<0, 解得 2<m<5, 即 q:2<m<5, ∵p:3<m<5, ∴p 是 q 的充分不必要, 故答案为:充分不必要 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用双曲线的方程形式是求出 q 的等价 条件是解决本题的关键,比较 基础. 表示双曲线,

15.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点, 则 y1 +y2 的最小值是
2 2

2

32 .

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先根据点 P 设直线方程与抛物线方程联立消去 y,根据韦达定理求得 x1x2=16,进而 根据均值不等式 y1 +y2 =4(x1+x2)≥8
2 2

求得答案.
2 2 2 2

【解答】解:设直线方程为 y=k(x﹣4) ,与抛物线方程联立消去 y 得 k x ﹣(8k +4)x+16k =0 ∴x1x2=16 显然 x1,x2>0,又 y1 +y2 =4(x1+x2)≥8 当且仅当 x1=x2=4 时取等号,此时 k 不存在. 故答案为 32 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生综合分析问题和解决问题 的能力.
2 2

=32,

16. 已知 F1、 F2 是双曲线的两焦点, 过 F2 且垂直于实轴的直线交双曲线于 P、 Q 两点, ∠PF1Q=60°, 则离心率 e= .

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据题意,△PQF1 是等腰直角三角形,且被 F1F2 分成两个全等的直角三角形.由此结 合双曲线的定义,可解出 a、c 关系,即可得到该双曲线的离心率. 【解答】解:设双曲线方程为 (a>0,b>0) ,把 x=c 代入得 ,

∵∠PF1Q=60°,∴ 2c= 故答案为: .

,即 2ac=

(c ﹣a ) ,解得 e=

2

2



【点评】本题给出双曲线方程,在已知过右焦点的通径和左焦点构成等边三角形的情况下求 双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题.

三、解答题

17.已知 p:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相交”;q:“方程 x ﹣x+m﹣4=0 的两根异 号”.若 p∨q 为真,¬p 为真,求实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】若命题 p 是真命题:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相交”,则
2 2 2

2

2

2

<1,

解得 m 范围;若命题 q 是真命题:“方程 x ﹣x+m﹣4=0 的 两根异号”,则 m﹣4<0,解得 m 范围.若 p∨q 为真,¬p 为真,则 p 为假命题,q 为真命题.解出即可. 【解答】解:若命题 p 是真命题:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相交”,则 <1,解得 1﹣
2 2 2



若命题 q 是真命题:“方程 x ﹣x+m﹣4=0 的两根异号”,则 m﹣4<0,解得 m<4. 若 p∨q 为真,¬p 为真, 则 p 为假命题,q 为真命题. ∴ .

∴实数 m 的取值范围是





【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与 判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

18.斜率为 2 的直线 l 经过抛物线的 y =8x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 设直线 l 的倾斜解为 α , 则 l 与 y 轴的夹角 θ =90°﹣α , cotθ =tanα =2, sinθ = 然后求出|AB|. 【解答】解:设直线 l 的倾斜解为 α ,则 l 与 y 轴的夹角 θ =90°﹣α , cotθ =tanα =2, ∴sinθ = |AB|= , =40. ,

2

线段 AB 的长为 40. 【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法,解题时要注意 公式|AB|= 的灵活运用.

19.已知双曲线 C 的焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,且离心率为 2; (Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)若经过点 M(1,3)的直线 l 交双曲线 C 于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的 方程. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 【专题】计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)设出双曲线方程,且 c=2,再由离心率公式可得 a=1,再由 a,b,c 的关系, 可得 b,进而得到双曲线的方程; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,运用点差法,求出直线 AB 的斜率,进而得到 AB 的方程, 再联立双曲线方程,运用判别式检验即可. 【解答】解: (Ⅰ)设双曲线方程为 =1(a>0,b>0) ,且 c=2,

由于离心率为 2, 即 =2,即 a=1, b= = ,

则双曲线方程为 x ﹣

2

=1;

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



=1,

=1.两式相减得, (x1﹣x2) (x1+x2)= (y1﹣y2) (y1+y2) ,

由于 M 为 AB 的中点,则 x1+x2=2,y1+y2=6, 得直线 AB 的斜率 kAB= =1,

∴直线 l 的方程为 y﹣3=x﹣1 即 y=x+2,代入方程 x ﹣ 得 2x ﹣4x﹣7=0,△=4 ﹣4×2×(﹣7)=72>0, 故所求的直线方程为 y=x+2.
2 2

2

=1,

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查点差法求弦中点的问题,考查运算能力,属于 中档题和易错题.

20.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,SA=AB,点 M 是 SD 的 中点,AN⊥SC,且交 SC 于点 N. (Ⅰ)求证:SB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:平面 SAC⊥平面 AMN; (Ⅲ)求二面角 D﹣AC﹣M 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (Ⅰ)连结 BD 交 AC 于 E,连结 ME,由△DSB 的中位线定理,得 ME∥SB,由此能证明 SB∥平面 ACM. (Ⅱ) 法一: 由 DC⊥SA, DC⊥DA, 得 DC⊥平面 SAD, 从而 AM⊥DC, 由等腰三角形性质得 AM⊥SD, 从而 AM⊥平面 SDC,进而 SC⊥AM,由 SC⊥AN,能证明平面 SAC⊥平面 AMN. 法二: 以 A 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 利用向量法能证明平面 SAC⊥平面 AMN. (Ⅲ)法一:取 AD 中点 F,则 MF∥SA.作 FQ⊥AC 于 Q,连结 MQ,由已知得∠FQM 为二面角 D ﹣AC﹣M 的平面角,由此能求出二面角 D﹣AC﹣M 的余弦值. 法二:分别求出平面 ABCD 的一个法向量和平面 ACM 的一个法向量,由此利用向量法能求出二 面角 D﹣AC﹣M 的余弦值. 【解答】 (选修 2 一 1 第 109 页例 4 改编) (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于 E,连结 ME, ∵ABCD 是正方形,∴E 是 BD 的中点. ∵M 是 SD 的中点,∴ME 是△DSB 的中位线. ∴ME∥SB.?(2 分)

又 ME? 平面 ACM,SB?平面 ACM, ∴SB∥平面 ACM.?(4 分) (Ⅱ)证法一:由条件有 DC⊥SA,DC⊥DA, ∴DC⊥平面 SAD,且 AM? 平面 SAD,∴AM⊥DC. 又∵SA=AD,M 是 SD 的中点,∴AM⊥SD. ∴AM⊥平面 SDC.SC? 平面 SDC,∴SC⊥AM.?(6 分) 由已知 SC⊥AN,∴SC⊥平面 AMN. 又 SC? 平面 SAC,∴平面 SAC⊥平面 AMN.?(8 分) (Ⅱ)证法二:如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 由 SA=AB,可设 AB=AD=AS=1, 则

. ∵ ∴ , ,∴ , ,即有 SC⊥AM?(6 分)

又 SC⊥AN 且 AN∩AM=A.∴SC⊥平面 AMN. 又 SC? 平面 SAC, ∴平面 SAC⊥平面 AMN.?(8 分) (Ⅲ)解法一:取 AD 中点 F,则 MF∥SA. 作 FQ⊥AC 于 Q,连结 MQ. ∵SA⊥底面 ABCD,∴MF⊥底面 ABCD. ∴FQ 为 MQ 在平面 ABCD 内的射影. ∵FQ⊥AC,∴MQ⊥AC. ∴∠FQM 为二面角 D﹣AC﹣M 的平面角. 设 SA=AB=a,在 Rt△MFQ 中, ?(10 分) ,





∴二面角 D﹣AC﹣M 的余弦值为



?(12 分)

(Ⅲ)解法二:∵SA⊥底面 ABCD, ∴ 是平面 ABCD 的一个法向量, , . ,

设平面 ACM 的法向量为





,∴

令 x=﹣1,则

.?(10 分)

, 由作图可知二面角 D﹣AC﹣M 为锐二面角 ∴二面角 D﹣AC﹣M 的余弦值为 .?(12 分)

【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面垂直的证明,考查二面角的余弦 值的求法,涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质的应用,考查向量法的合理运用,考 查空间思维能力的培养,是中档题.

21.已知椭圆 C: (1)求椭圆方程;

=1(a>b>0) ,过点

离心率



(2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点,试求直 线 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (1)由题意可得

,解出即得 a,b;

(2)设直线方程为 x﹣1=my,代入椭圆消掉 x 可得 y 的二次方程,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由以 AB 为直径的圆过原点知, 可得直线方程; ,即 x1x2+y1y2=0,代入韦达定理即得 m 的方程,解出

【解答】解: (1)由题意得,

,解得



所以椭圆方程为:



(2)设直线方程为 x﹣1=my, 代入椭圆方程消掉 x 得, (m +4)y +2my﹣3=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 , ,
2 2

所以 x1x2=(my1+1) (my2+1)=m y1y2+m(y1+y2)+1=

2



由以 AB 为直径的圆过原点知,

,即 x1x2+y1y2=0,

所以

+

=0,解得 m=



所以直线方程为:x﹣1=

y,化简得,y=2x﹣2 或 y=﹣2x+2.

【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,考查学生分析问题解决问题的 能力.

22.已知抛物线 C:y =4x,P 为 C 上一点且纵坐标为 2,Q,R 是 C 上的两个动点,且 PQ⊥PR. (1)求过点 P,且与 C 恰有一个公共点的直线 l 的方程; (2)求证:QR 过定点. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)求得 P(1,2) ,考虑过 P 与对称轴 y=0 平行,和过 P 且与 抛物线相切的直线, 计算即可得到所求直线 方程; (2)设出抛物线上的 Q( ,a) ,R( ,b) ,而 P(1,2) ,由 PQ⊥PR.借助于向量数量积

2

等于 0 得到 a,b 的关系,由两点式求出 QR 所在直线的斜率,写出 QR 的点斜式方程,与 a,b 的关系式结合后由直线系方程得答案. 【解答】解: (1)由题意可得 P(1,2) , 当过 P 与对称轴 y=0 平行,与抛物线只有一个交点, 直线方程即为 y=2; 当过 P 且与抛物线相切的直线和抛物线只有一个交点, 由 y =4x 对 x 求导,得 2yy′=4, 则切线的斜率为 k= =1, 即有直线方程为 y﹣2=x﹣1,即为 y=x+1. 故直线 l 的方程为 y=2 或 y=x+1; (2)证明:设 Q( ∴ =( , a) ,R( =( =0, ,b) ,而 P(1,2) , ﹣1,b﹣2) ,
2

﹣1,a﹣2) , ?

由于 PQ⊥PR,得向量 即为( ﹣1) (

﹣1)+(a﹣2) (b﹣2)=0,

整理得 ab+2a+2b+20=0.

而过 QR 的直线的斜率为:

=



∴过 QR 的直线方程为 y﹣b= 整理得 4x+ab﹣(a+b)y=0,

(x﹣

) ,

即 4x﹣(a+b)y﹣2a﹣2b﹣20=0. 化为 4x﹣20﹣(a+b) (y+2)=0.可得直线恒过定点(5,﹣2) . ∴直线 QR 必过定点(5,﹣2) . 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了直线系方程的运用,是中档题.


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