高考数学一轮复习 第七章第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 (广东专用)_图文


第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果直线l与平面α内的__________ 任意一条 直线都垂直,则直线l与平 面α垂直. (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条________ 直线都垂直,则 相交 该直线与此平面垂直. (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线________ 平行. 2.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的___________ 两个半平面 所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内 分别作 ______________ 垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角. 3.平面与平面垂直 (1)定义:如果两个平面所成的二面角是___________ 直二面角 ,就说这两个 平面互相垂直. (2)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线 ____,则这两个平面垂直. 垂直于交线 的直线 (3)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内_____________ 与另一个平面垂直. 4.直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在_______________ 平面上的射影 所成的锐角叫做这条直 线和这个平面所成的角. (2)当直线与平面垂直和平行 (或直线在平面内 )时,规定直线和平面 90°和0°. 所成的角分别为____________ 1.一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,可以说这条 直线和这个平面垂直吗? 【提示】 不可以.如果这无数条直线是平行的,则这条直线 和这个平面的位置关系不确定 2.两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线有什么位 置关系?垂直于同一平面的两个平面呢? 【提示】 这两条直线平行或相交或异面;垂直于同一个平 面的两个平面可能平行,也可能相交 1 .(教材改编题 )已知直线 a, b 和平面 α,且a⊥b, a⊥α,则b 与α的位置关系为( A.b?α C.b?α或b∥α ) B.b∥α D.b与α相交 【解析】 由a⊥b,a⊥α知b?α或b∥α,但直线b不与α相交. 【答案】 C 2.(2011·浙江高考)下列命题中错误的是( ) A.如果平面 α⊥平面β,那么平面 α内一定存在直线平行于平 面β B.如果平面 α不垂直于平面 β,那么平面 α内一定不存在直线 垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面 γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【解析】 A显然正确,根据面面垂直的判定,B正确. 对于命题C,设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不在l上, 过 P 作直线 a , b ,使 a⊥m , b⊥n.∵γ⊥α , a⊥m ,则 a⊥α , ∴ a⊥l ,同理有 b⊥l. 又 a∩b = P , a?γ , b?γ , ∴ l⊥γ. 故命题 C 正确. 对于命题D,设α∩β=l,则l?α,但l?β.故在α内存在直线不垂 直于平面β,即命题D错误. 【答案】 D 3.已知命题:“若x⊥y,y∥z,则x⊥z”成立,那么字母x, y,z在空间所表示的几何图形有可能是:①都是直线;②都是 平面;③x,y是直线,z是平面;④x,z是平面,y是直线.上 述判断正确的有________(请将你认为正确的序号都填上). 【解析】 由线面位置关系知①②④正确. 【答案】 ①②④ 4.如图7-5-1所示,在△ABC中, ∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°, PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个 动点,则PM的最小值为________. 【解析】 作 CH⊥AB 于 H,连结 PH, ∵PC⊥面 ABC,∴PH⊥ AB,PH 为 PM 的最小值 等于 2 7. 【答案】 2 7 直线与平面垂直的判定与性质 (2011· 辽宁高考)如图 7-5-2, 四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥ QA,QA= 1 AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值. 【思路点拨】 PQ⊥DQ. (1) 证 明 PQ⊥ 平 面 DCQ , 只 需 证 PQ⊥DC 且 (2)设AB=a,分别计算两棱锥体积,求出体积比. 【尝试解答】 (1)由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD,所以 QA⊥DC, 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,又 QA∩ AD= A, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ= PQ= PD, 则 PQ⊥ QD. 2 又 DQ∩DC= D,所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)设 AB= a. 由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高, 1 所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1= a3. 3 由 (1)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高, 2 又 PQ= 2a, △DCQ 的面积为 a2, 2 1 3 所以棱锥 P—DCQ 的体积 V2= a . 3 故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1., 1.证明直线和平面垂直的常用方法有 (1) 利 用 判 定 定 理 ; (2) 利 用 垂 直 于 平 面 的 传 递 性 (a∥b , a⊥α?b⊥α);(3)利用面面垂直的性质. 2.(1)证明线面垂直的核心是线线垂直,而证明线线垂直则需借 助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是 证明线面垂直的最大特点. (2) 常用线面垂直的性质证明线线 垂直. 如图7-5-3,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M、 N分别是AB、PC的中点,若∠PDA=45°, (1)求证:MN⊥平面PCD; (2)试问矩形ABCD满足什么条件时,PC⊥BD. 【解】

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