高中数学全程复习方略3.2.2 导数的运算法则(共55张PPT)_图文


第2课时 导数的运算法则

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1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则. 2.会用导数的运算法则解决一些函数的求导问题.

1.本课重点是导数运算法则的掌握与应用. 2.本课难点是导数运算法则的灵活应用.

导数的求导法则

和(差)

[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) [f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

积 [Cf(x)]′=Cf′(x)(其中C为常数)
f ?x? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? [g ? x ?]
2



[

g?x?

]? ?

(g ? x ? ? 0)

1.能够应用导数的运算法则求导的函数所应具备的前提条件是 什么? 提示:两个函数的导数存在并且在商的导数中分母不为零.

2.函数y= 1 (ex+e-x)的导数是__________.
2

【解析】∵(e-x)′=(

1 )′=-e-x,(ex)′=ex, ex

1 x (e -e-x). 2 1 答案:y′= (ex-e-x) 2

∴y′=

3.与曲线y=x3+3x2-5相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方

程是_____________.
【解析】∵y′=3x2+6x=-3 得x=-1,∴切点为(-1,-3). ∴直线方程为3x+y+6=0. 答案:3x+y+6=0

1.法则[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)的拓展 (1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形: 若y=f1(x)±f2(x)±…±fn(x), 则y′=f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x). (2)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x),(a,b为常 数).

(3)[f(x)±c]′=f′(x).

2.导数法则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)的拓展
此法则可以推广到有限个函数的积的情形: 若y=f1(x)f2(x)…fn(x), 则有 y′=f1′(x)f2(x)…fn(x)+f1(x)f2′(x)…fn(x)+…+f1(x)f2(x) …fn′(x).

3.导数运算法则的识记 (1)抓住公式特点识记: ①和(或差)的导数是导数的和(或差); ②积的导数是前导后不导、前不导后导,中间是加号;

③商的导数是上导下不导、上不导下导,中间是减号,总体除
以分母的平方.

(2)利用积(或商)的导数运算法则时,注意避免以下错误:

①[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x);
f ?(x) f(x) ; ②[ ]′= g?(x) g(x) ③[ f(x)]′= f ?(x)g(x) ? f(x)g?(x) . g2(x) g(x)

应用法则求函数的导数
【技法点拨】

1.应用导数运算法则求函数的导数的技巧
(1)利用三角恒等变换简化求导过程 求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既

减少了计算量,又可少出错.
(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导. (3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积 的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.

2.应用导数运算法则求函数的导数的原则

结合函数解析式的特点先进行恒等变形,把一个函数化成几个
基本初等函数的加、减、乘、除运算,再套运算法则.

【典例训练】
1.已知f(x)=(x2+1)2+(x+1)2+1,则f′(x)等于( )

(A)2(x2+1)+2(x+1)
(C)2(2x+1)+2×2

(B)(2x+1)2+22
(D)4x3+6x+2

2.设f(x)=(2x-1)(3-x),则f′(0)=________. 3.求下列函数的导数: (1)y=excosx; (3)y=2x3+ x +cosx;
3

(2)y=x2+tanx; (4)y=lgx1 . 2 x

【解析】1.选D.f(x)=x4+3x2+2x+3, ∴f′(x)=4x3+6x+2,故选D. 2.∵f(x)=-2x2+7x-3, ∴f′(x)=-4x+7,∴f′(0)=7. 答案:7

3.(1)∵y=excosx, ∴y′=(ex)′cosx+ex(cosx)′ =excosx-exsinx.
sinx , cosx cos 2 x - sin x(-sin x) 2)′+( sinx )′= ∴y′=(x 2x ? cosx cos 2 x = 2x ? 12 . cos x

(2)∵y=x2+

(3)y′=(2x3)′+( 3 x )′+(cosx)′ =6x2+
1 3 x
3 2

-sinx.
1 1 )′=(lgx)′-( 2 )′ x2 x

(4)y′=(lgx-
? 1 ? 2x-3 . xln10

【想一想】解答本题1,2的关键点与解答本题3应用导数的运算

法则求导的注意点是什么?
提示:(1)解题时关键是把函数解析式展开成x的多项式的形 式,然后应用导数运算法则中的加法法则求导. (2)解题时注意把要求导的函数变形为我们熟悉的基本初等 函数的和、差、积、商的形式.

利用导数运算法则求导的简单应用 【技法点拨】 导数运算法则的应用技巧 (1)由常数函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 等基本初等函数经过加、减、乘、除运算得到的简单函数现在 均可用求导公式与导数运算法则求导. (2)选用哪个公式要根据函数解析式的结构特征决定. (3)解决问题时,要注意与函数性质的结合,同时注意函数

与方程、数形结合等思想的应用.

【典例训练】 1.质量为10 kg的物体按s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,动能
1 mv2,则物体在运动4 s后的动能是_________. 2 2.已知函数f(x)=lnx,g(x)= 1 x2+a(a为常数),直线l与函数 2

E=

f(x),g(x)的图象都相切,且直线l与函数f(x)的切点的横坐标

为1,求直线l的方程及a的值.

【解析】1.∵v=s′(t)=6t+1,∴t=4时瞬时速变为 6×4+1=25,∴动能E= 1 ×10×252=3 125(J).
2

答案:3 125 J 2.方法一:由f′(x)|x=1=1,故直线l的斜率为1,切点为 (1,f(1)),即(1,0). ∴l :y=x-1 ①

又∵g′(x)=x=1,切点为(1, +a),
1 1 +a)=x-1,即y=x- +a 2 2 1 比较①和②的系数得- 1 +a=-1,∴a=- . 2 2

1 2

∴l:y-(



方法二:由f′(x)|x=1=1,故直线l的斜率为1,切点为 (1,f(1)),即(1,0).

∴l :y=x-1



又∵直线l与g(x)的图象相切,所以由
? y ? x-1, ? 得 1 x2-x+a+1=0. ? 1 2 2 ? y ? 2 x ? a, ? ∴Δ=1-2(a+1)=0,即a=- 1 . 2

【思考】解答第2题的关键点是什么? 提示:解题时应紧扣已知条件“直线l与函数f(x)、g(x)的图 象都相切”,挖掘出“直线l在两个函数的切点处的导数值相 同”这一隐含条件.

求切线方程 【技法点拨】 求曲线y=f(x)的切线方程的技巧 利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断已知点是否是 切点.若已知点是切点,则该点处的切线斜率就是该点处的导 数;如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线

的斜率公式进行求解.

【典例训练】 1.曲线y=2x-x3过点(1,1)处的切线方程为__________. 2.已知函数f(x)= 2 x3-2ax2+3x(x∈R).若a=1,点P为曲线
3

y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时
的切线方程.

【解析】1.设切点为(x0,y0),
∵y′=2-3x2,∴k=y′|x=x0=2-3x02, ∴切线方程为y-(2x0-x03)=(2-3x02)(x-x0), 由切线过点(1,1), 得1-(2x0-x03)=(2-3x02)(1-x0). 即(x0-1)2(2x0+1)=0. ∴x0=1或x0=- 1 .
2

∴切线方程为x+y-2=0或5x-4y-1=0. 答案:x+y-2=0或5x-4y-1=0

2.设切线的斜率为k,则 k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1, ∴当x=1时,k取最小值为1. 又f(1)= 5 ,∴P(1, 5 ).
3 3 3

∴所求切线的方程为:y- 5 =x-1即3x-3y+2=0.

【想一想】 解答本题1、2的关键点是什么? 提示:(1)解答本题1时应紧扣求“在”曲线上某点处的切线还 是“过”曲线上某点的切线这一关键点进行求解. (2)解答本题2时注意到以点P为切点的切线斜率是点P的横坐标 的函数,问题进而转化到我们熟悉的二次函数的最值上来解决.

导数运算法则的综合应用 【技法点拨】 导数运算法则的综合应用的拓展 利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则,结合导数的几 何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题,解题的关 键是能够熟练求出导数,把问题转化为相对应的知识点,结合 二次函数或基本不等式进行解决.

【典例训练】 1.点P在曲线y=x3-x+2上运动,设动点P处切线的倾斜角为α ,

则α 的取值范围是_____________.
2.已知函数f(x)=lnx,函数g(x)=
1 +af′(x). f ?(x)

若a>0,函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值.

【解析】1.∵y′=3x2-1≥-1,∴tanα≥-1. 又直线倾斜角的取值范围为[0,π),画出正切函数在此范围 上的图象即可得α的取值范围是[0, ? )∪[3? ,π). 答案:[0, ? )∪[3? ,π)
2 4 2 4

2.∵f(x)=lnx,∴f′(x)= 1 ,
x

∴当x>0时,g(x)=x+ a ,
x

∴当a>0,x>0时,g(x)≥2 a , 当且仅当x= a 时取等号. ∴函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2 a ,

∴依题意得2 a =2,∴a=1.

【规范解答】两曲线在公共点处的公共切线

【典例】(12分)已知定义在正实数集上的函数f(x)= 1 x2+2ax,
2

g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,

且在公共点处的切线相同.
(1)若a=1,求b的值; (2)试写出b关于a的函数关系式.

【解题指导】

【规范解答】(1)∵y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0) 处的切线相同, 且f′(x)=x+2,g′(x)= 3 ①,………………………………2分
x

由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②,
?1 2 ? 2 x 0 ? 2x 0 ? 3lnx 0 ? b, ∴? …………………………………4分 ? 3 ?x 0 ? 2 ? , x0 ? ? 由x0+2= 3 得,x0=1,或x0=-3(舍去)③, x0 5 即有b= . …………………………………………………6分 2

(2)∵y=f(x),y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线 相同.
3a 2 且f′(x)=x+2a,g′(x)= x
①,……………………………8分

∴由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②,
?1 2 x 0 ? 2ax 0 ? 3a 2lnx 0 ? b, ?2 即 ? ………………………………10分 ? 2 ? x 0 ? 2a ? 3a , x0 ? ?

解得x0=a或x0=-3a(舍去)③,
2

∴b= 5 a2-3a2lna(a>0). …………………………………12分

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下:(注:此处的①②③见规范解答过程) 在解答过程中,如果漏掉①处即未对两个函数求 失 分 ① 导,而直接出现②处则对于本题虽然结果正确,

但解析不完整,实际考试中,最多给6分,是考试
中常出现的失分点. 在解答过程中,若虽①正确,但不能根据已知条件




② 挖掘出隐含条件进而得到②式,则此种情况在实 际考试中最多给4分.


分 ③

在解答过程中,若正确解出x0,但没有验证增根的情
况,即在③处没有分别舍去x0=-3与x0=-3a,这是因 为没有注意到这两种情况下,不符合函数g(x)的定义 域(0,+∞)而造成解答过程不完整.实际考试中此 种情况一般给10分.是考试中最不该失分的地方.




解 题 启 示

(1)对导数的运算法则要熟练,避免不必要的错误;
(2)在解题的时候,要注意充分挖掘题目中的隐含条 件; (3)在作解答题的时候,要注意解题的规范性,不要 跨步解答或漏掉验证这一步骤而使解答步骤不规范.

【规范训练】(12分)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相 同的切线.用t表示a,b,c. 【解题设问】(1)由题设“点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c的图象的一个公共点”你能得到什么结论?f(t)=0 即a,b,c的关系 与g(t)=0________________.

(2)由题设“两函数的图象在点P处有相同的切线”你又能得
f′(t)=g′(t) 到什么结论?_______________.

【规范答题】∵函数f(x),g(x)的图象都过点(t,0), ∴f(t)=0,即t3+at=0, ……………………………………2分 ∵t≠0,∴a=-t2.……………………………………………4分 g(t)=0,即bt2+c=0,∴c=ab.………………………………6分 又∵f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线, ∴f′(t)=g′(t).

而f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx,

∴3t2+a=2bt. ………………………………………………8分
将a=-t2代入上式得b=t,∴c=ab=-t3,……………………10分

∴a=-t2,b=t,c=-t3. ……………………………………12分

1.下列四组函数中导数相等的是(

)

(A)f(x)=1与f(x)=x
(B)f(x)=sinx与f(x)=-cosx

(C)f(x)=1-cosx与f(x)=-sinx
(D)f(x)=1-2x2与f(x)=-2x2+3 【解析】选D.D中两个函数的导数相等即f′(x)=-4x.其中A、B、 C中均不同.

2.设y=-2exsinx,则y′等于(

)

(A)-2excosx
(C)2exsinx

(B)-2ex(sinx+cosx)
(D)-2exsinx

【解析】选B.∵y′=(-2ex)′·sinx+(-2ex)·(sinx)′
=-2exsinx-2excosx =-2ex(sinx+cosx).

3.对任意的x,有f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数解析式可以 为( ) (B)f(x)=x4+1 (D)f(x)=-x4

(A)f(x)=x4 (C)f(x)=x4-2

【解析】选C.由导数的运算法则可知f′(x)=4x3的有A、B、C, 再验证f(1)=-1的为C.

x2 4.已知曲线y= -3lnx的一条切线的斜率为 1 ,则切点的横 4 2

坐标为_________.
x 3 【解析】y′= - ,令其等于 1 可得x=3或x=-2,但原函数 2 x

2

的定义域为(0,+ ?),故x=3. 答案:3

5.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直 线y=x-3相切,求a,b,c的值. 【解析】∵y′=2ax+b,∴把x=2代入得 4a+b=1 又抛物线过点(1,1)及(2,-1) ∴a+b+c=1 ② ①

4a+2b+c=-1
由①②③联立得a=3,b=-11,c=9.




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