《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.3.3已知三角函数值求角课件_图文


1.3.3

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【学习要求】

已知三角函数值求角

1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.
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2.了解符号 arcsin x,arccos x,arctan x 的含义,并能用这 些符号表示非特殊角. 【学法指导】 1.已知三角函数值求角时,要注意解的多值性.由角 α 的一 个三角函数求角 α 时,所得的角一般情况下不唯一,角的 个数要根据角的取值范围来确定. 2.牢记一些比较常见的特殊角的三角函数值,会在学习中带 来很大的方便.

填一填·知识要点、记下疑难点

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已知三角函数值时角的表示 x∈ ? π π? ?- , ? ? 2 2? 0≤y≤1 x=arcsin y x1=arcsin y; x∈[0,2π] -1≤y≤0 x1=π-arcsin y;

sin x=y (|y|≤1)

x2=π-arcsin y x2=2π+arcsin y

填一填·知识要点、记下疑难点

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cos x=y (|y|≤1)
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x∈[0,π] x=arccos y
? π π? x∈?-2 ,2 ? ? ?

x∈[0,2π] x1=arccos y;x2=2π-arccos y x∈[0,2π] y≥0 y<0 x1=π+arctan y; x2=2π+arctan y

tan x= y(y∈R) tan x= y(y∈R)

x=arctan y

x1=arctan y; x2=π+arctan y

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探究点一
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arcsin a 的含义

对于 arcsin a 要从以下三个方面去理解: ①当|a|≤1 时,arcsin a 表示一个角; ? π π? ? π π? ②这个角在区间?-2,2 ?内取值,即 arcsin a∈?-2,2 ?; ? ? ? ? ③这个角的正弦值等于 a,即 sin(arcsin a)=a. 因此,a 的范围必是|a|≤1,否则 arcsin a 无意义.请你根据 符号 arcsin a 的含义写出下列式子的结果:

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π ? 1? 1 - arcsin = 6 ;arcsin?-2?= 6 ; 2 ? ? π π ? ? 2 3? - ? arcsin = 4 ;arcsin?- ?= 3 ; 2 2? ?

π

π - arcsin 0= 0 ;arcsin(-1)= 2 ; π π ? ? π? 3 ? arcsin?sin 2 ?= 2 ;arcsin?sin 4π?= 4 . ? ? ? ?

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探究点二 arccos a的含义 对于arccos a要从以下三个方面去理解: ①当|a|≤1时,arccos a表示一个角; ②这个角在区间[0,π]内取值,即arccos a∈[0,π];
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③这个角的余弦值等于a,即cos(arccos a)=a. 因此,a的范围也必须是|a|≤1,否则arccos a无意义.例如 arccos π是没有任何含义的.请你根据符号arccos a的含义写出 下列式子的结果: 2 ? 1? 1 π arccos = 3 ;arccos?-2?= 3π ; 2 ? ? π ? 2 2 ? 3π ? arccos = 4 ;arccos?- ?= 4 ; 2 2? ? ? arccos 1= 0 ;arccos(-1)= π ; 5 π ? 3? ? ? π ;arccos 0= 2 . arccos?- ?= 6 2? ?

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探究点三 arctan a 的含义

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对于 arctan a 也要从以下三个方面去理解: ①arctan a 表示一个角; ? π π? ? π π? ②这个角在区间?-2,2 ?内,即 arctan a∈?-2,2 ?; ? ? ? ? ③这个角的正切值是 a, 根据正切函数的值域是 R, 可知 a∈R, 即 tan(arctan a)=a. 请你根据符号 arctan a 的含义写出下列式子的结果: π π - arctan 1= 4 ;arctan(-1)= 4 ;

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π π - arctan 3= 3 ;arctan(- 3)= 3 ; π π ? ? 3 3? - ? arctan = 6 ;arctan?- ?= 6 ; 3 3? ? arctan 0= 0 ;tan(arctan 2)= 2 .

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[典型例题] 3 例 1 已知 sin x= . 2 ? π π? (1)当 x∈?-2,2 ?时,求 x 的取值集合; ? ? (2)当 x∈[0,2π]时,求 x 的取值集合; (3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合.
解 (1)∵y=sin x
? π π? 在?-2,2?上是增函数, ? ?

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π 3 π 且知 sin 3= 2 .∴满足条件的角只有 x=3. ?π? ? ? ∴x 的取值集合为?3?. ? ? ? ?

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3 (2)∵sin x= >0,∴x 为第一或第二象限角 2 ? π? π 3 ?π- ?= 且 sin =sin 3? 2 . 3 ? π 2π ∵在[0,2π]上符合条件的角 x= 或 x= , 3 3 ?π 2π? ? ? ∴x 的取值集合为?3, 3 ?. ? ? ? ?
(3)当 x∈R 时,x 的取值集合为 π 2π {x|x=2kπ+3或 x=2kπ+ 3 ,k∈Z}.

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小结 方程y=sin x=a,|a|≤1的解集可写为{x|x=2kπ+arcsin a, 或(2k+1)π-arcsin a,k∈Z}.也可化简为{x|x=kπ+(-1)karcsin a, k∈Z}.

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1 跟踪训练1 若sin α= ,试根据下列范围,利用符号arcsin x 3 表示角α.
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①若α为锐角,则α=

1 arcsin 3 ;

1 1 arcsin 或 π-arcsin 3 3 ; ②若α为三角形内角,则α= 1 1 ③若α∈[0,2π],则α= arcsin 3或 π-arcsin 3 ; 1 k ④若α∈R,则α= kπ+(-1) arcsin 3,k∈Z .

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1 例2 已知cos x=- . 3 (1)当x∈[0,π]时,求x; (2)当x∈[0,2π]时,求x;
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(3)当x∈R时,求x的取值集合. 1 解 (1)∵cos x=-3,且 x∈[0,π], ? 1? 1 ∴x=arccos?-3?=π-arccos . 3 ? ? 1 (2)∵x∈[0,2π]且 cos x=- <0. 3
∴x 为第二象限角或第三象限角. 1 1 ∴x=π-accos 或 π+arccos . 3 3

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1 (3)当 x∈R 时,x 与 π-arccos 终边相同或者与 3 1 π+arccos 终边相同. 3 1 1 ∴x=2kπ+π-arccos 3或 x=2kπ+π+arccos 3(k∈Z).
∴x
? ? 的取值集合是?x|x=?2k+1?π±arccos ? ? ? 1 ? ,k∈Z?. 3 ? ?

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小结

方程 cos x=a,|a|≤1 的解集可写成{x|x=2kπ±arccos a,

k∈Z}.

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跟踪训练2 已知cos α= ,若α∈[0,2π],则α的集合 ?π 5 ? ? ? ? ? π ? ? ? , π? ?α|α=2kπ± ,k∈Z? 3 ? . ? ? ? ? 是 ?3 3 ? ;若α∈R,则α的集合是 ?

1 2

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例3 (1)已知tan
? π π? α=-2,且α∈?-2,2 ?,求α; ? ?

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(2)已知tan α=-2,且α∈[0,2π],求α; (3)已知tan α=-2,α∈R,求α. ? π π? 解 (1)由正切函数在开区间?-2,2?上是增函数可知,符合条 ? ?
件 tan α=-2 的角只有一个,故 α=arctan(-2).
(2)∵tan α=-2<0,∴α 是第二或第四象限角. ?π ? ?3π ? 又∵α∈[0,2π],由正切函数在区间 ?2,π? 、 ? 2 ,2π? 上是增函 ? ? ? ?
数,知符合tan α=-2的角有两个. ∵tan(π+α)=tan(2π+α)=tan α=-2, ? π ? 且 arctan(-2)∈?-2,0?, ? ?
∴α=π+arctan(-2)或 α=2π+arctan(-2).

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(3)α∈R,则 α=kπ+arctan(-2) (k∈Z).
小结 方程 tan x=a, a∈R 的解集为{x|x=kπ+arctan a, k∈Z}.
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跟踪训练 3 已知 tan α= 2,且 α∈R,则角 α 的集 合 是 α|α=kπ+arctan 2,k∈Z .(用反正切表示)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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3 1. 已知 α 是三角形的内角,sin α= ,则角 α 等于 ( D ) 2 π π A. B. 6 3 5π π 2π π C. 或 D. 或 6 6 3 3

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?π ? 1 2. 若 sin x= ,x∈?2,π?,则 x 等于 4 ? ? 1 1 A.arcsin B.π-arcsin 4 4 π 1 1 C. +arcsin D.-arcsin 2 4 4

( B )

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1 ? π ? 1 -arccos 3 3.若 cos x= ,x∈?-2,0?,则 x= . 3 ? ?
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π 3 -3 4.arcsin(-1)+arctan 3 =

.

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1.理解符号 arcsin x、arccos x、arctan x 的含义. 每个符号都要从以下三个方面去理解, arcsin x 为例来说 以
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明. (1)arcsin x 表示一个角; ? π π? (2)这个角的范围是?-2,2?; ? ? (3)这个角的正弦值是 x,所以|x|≤1. 例如:arcsin 2,arcsin 3都是无意义的. 2.已知三角函数值求角的大致步骤
(1)由三角函数值的符号确定角的象限. (2)求出[0,2π)上的角. (3)根据终边相同的角写出所有的角.


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