18学年高中数学不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.4绝对值的三角不等式学案新人教B版4_5180224264


内部文件,版权追溯 1.4 绝对值的三角不等式 [对应学生用书P13] [读教材·填要点] 绝对值的三角不等式 (1)定理 1:若 a,b 为实数,则|a+b|≤|a|+|b|. 当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)定理 2:设 a,b,c 为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,等号成立?(a-b)(b- c)≥0,即 b 落在 a,c 之间. ①推论 1:||a|-|b||≤|a+b| ②推论 2:||a|-|b||≤|a-b| [小问题·大思维] 1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关系? 提示:|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 2.不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么? 提示:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≥0,左侧 “=”成立的条件是 ab≤0, 且|a|≥|b|; 不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|, 右侧“=” 成立的条件是 ab≤0,左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|. 3.绝对值不等式|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何解释是什么? 提示:在数轴上,a,b,c 所对应的点分别为 A,B,C,当点 B 在点 A,C 之间时,|AC| =|AB|+|BC|;当点 B 不在点 A,C 之间时,|AC|<|AB|+|BC|. [对应学生用书P13] 绝对值的三角不等式的应用 [例 1] (1)以下四个命题: ①若 a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|; ②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1; 1 x 2 ③若|x|<2,|y|>3,则| |< ; y 3 |A|+|B| 1 ④若 AB≠0,则 lg ≥ ( lg|A|+lg|B|). 2 2 其中正确的命题有( A.4 个 C.2 个 D.1 个 ) B.3 个 |a+b| (2)不等式 ≥1 成立的充要条件是________. |a|-|b| [思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题. 解答问题(1) 可利用绝对值的三角不等式定理,结合不等式的性质、基本定理等一一验证;解答问题(2) 应分|a|>|b|与|a|<|b|两类讨论. [精解详析] (1)|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a| =|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确; 1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确; |y|>3,∴ 1 1 < . |y| 3 |x| 2 又∵|x|<2,∴ < .③正确; |y| 3 ?|A|+|B|?2=1(|A|2+|B|2+2|A||B|), ? ? 4 2 ? ? 1 ≥ (2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|, 4 |A|+|B| ∴2lg ≥lg|A||B|. 2 |A|+|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|+lg|B|),④正确. 2 2 (2)当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0, ∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|. ∴必有 |a+b| ≥1. |a|-|b| |a+b| 即|a|>|b|是 ≥1 成立的充分条件. |a|-|b| 当 |a+b| ≥1 时,由|a+b|>0, |a|-|b| 2 必有|a|-|b|>0. 即|a|>|b|,故|a|>|b|是 故所求为:|a|>|b|. [答案] (1)A (2)|a|>|b| |a+b| ≥1 成立的必要条件. |a|-|b| (1)绝对值的三角不等式:|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的几何意义是:三角形任意两 边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边. (2)对|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的诠释: 定理的构 成部分 特征 大小 关系 等号成立的条件 中间部分为|a+b|时, ab≤0, 且|a|≥|b|时, 左端|a|- |b| 可能是负的 ≤中间部分 左边的等号成立;中间部分为 |a - b| 时, ab≥0,且|a|≥|b|时,左边等号成立. 用“+”连接时, ab≥0, 右端取等号, ab≤0, 中间部分 |a±b| ≥左端 ≤右端 且|a|≥|b|时,左端取等号;用“-”连接 时, ab≥0,且 |a|≥|b| 时,左端取等号, 肯定是非负的 ab≤0,右端取等号. 右端|a|+ |b| 是非负的 ≥中间部分 中间部分为|a+b|时,ab≥0,等号成立;中 间部分为|a-b|时,ab≤0,等号成立. 1.(1)若 x<5,n∈N+,则下列不等式: ①|xlg n n |<5|lg |; n+1 n+1 n n <5lg ; n+1 n+1 n ②|x|lg ③xlg <5|lg |; n+1 n+1 n 3 ④|x|lg n n <5|lg |. n+1 n+1 其中,能够成立的有________. |a|-|b| |a|+|b| (2)已知|a|≠|b|,m= ,n= ,则 m,n 之间的大小关系是( |a-b| |a+b| A.m>n C.m=n 解析:(1)∵0< ∴lg B.m<n D.m≤n ) n n+1 <1. n n+1 <0. 由 x<5,并不能确定|x|与 5 的关系, ∴可以否定①②③,而|x|lg n n+1 <0,④成立. (2)∵|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|, |a|-|b| |a-b| ∴m= ≤ =1, |a-b| |a-b| n= |a|+|b| |a|+|b| ≥ =1.∴m≤1≤n. |a+b| |a|+|b| (2)D 利用绝对值的三角不等式证明不等式 答案:(1)④ [例 2] 已知 a,b∈R 且 a≠0, |a -b | |a| |b|

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