2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 8 平面课时作业


课时作业 8

平面

——基础巩固类—— 1.如果直线 a ?平面 α ,直线 b ?平面 α ,M∈a,N∈b,且 M∈l,N∈l,那么( A.l ? α C.l∩α =M B.l ? α D.l∩α =N )

解析:∵M∈a,N∈b,a ? α ,b ? α ,∴M∈α ,N∈α .而 M,N 确定直线 l,根据公 理 1 可知 l ? α .故选 A. 答案:A 2.下列命题中一定正确的是( A.三个点确定一个平面 C.三条相交直线必共面 ) B.三条平行直线必共面 D.梯形一定是平面图形

解析:由公理 2,知梯形是平面图形,故选 D. 答案:D 3.下面给出了四个条件:①空间三个点;②一条直线和一个点;③和直线 a 都相交的两 条直线;④两两相交的三条直线. 其中,能确定一个平面的条件有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 ) D.3 个

解析: ①中空间三点共线时不能确定一个平面. ②中点在直线上时不能确定一个平面. ③ 中两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面.④中三条直线交于一点且不共面时不能确 定一个平面. 答案:A 4.一条直线和这条直线外不共线的三点,最多可确定( A.三个平面 C.五个平面 B.四个平面 D.六个平面 )

解析:直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面,有三个平面,另外,不共线的三 点可以确定一个平面,共可确定四个平面. 答案:B 5.在三棱锥 A-BCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF∩HG=P, 则点 P( )

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A.一定在直线 BD 上 B.一定在直线 AC 上 C.在直线 AC 或 BD 上 D.不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上

解析:如图所示,∵EF ?平面 ABC,HG ?平面 ACD,EF∩HG=P, ∴P∈平面 ABC,P∈平面 ACD. 又∵平面 ABC∩平面 ACD=AC, ∴P∈AC,故选 B. 答案:B 6.如下图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,试根据图形填空: (1)平面 AB1∩平面 A1C1=______; (2)平面 A1C1CA∩平面 AC=______; (3)平面 A1C1CA∩平面 D1B1BD=________; (4)平面 A1C1,平面 B1C,平面 AB1 的公共点为________.

答案:(1)A1B1 (2)AC

(3)OO1 (4)B1
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7.如图所示,A,B,C,D 为不共面的四点,E,F,G,H 分别在线段 AB,BC,CD,DA 上.

(1)如果 EH∩FG=P,那么点 P 在直线________上; (2)如果 EF∩GH=Q,那么点 Q 在直线________上. 解析: (1)若 EH∩FG=P, 那么点 P∈平面 ABD, P∈平面 BCD, 而平面 ABD∩平面 BCD=BD, 则 P∈BD.(2)若 EF∩GH=Q, 则 Q∈平面 ABC, Q∈平面 ACD, 而平面 ABC∩平面 ACD=AC, 则 Q∈AC. 答案:(1)BD (2)AC

8.如图,梯形 ABDC 中,AB∥CD,AB>CD,S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点,画出平 面 SBD 和平面 SAC 的交线,并说明理由.

解:很明显,点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点,即点 S 在交线上,由于 AB>CD, 则分别延长 AC 和 BD 交于点 E,如图所示.∵E∈AC,AC ?平面 SAC, ∴E∈平面 SAC. 同理,可证 E∈平面 SBD. ∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上,连接 SE,直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交
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线. 9.已知 a,b,c,d 是两两相交且不共点的四条直线,求证:a,b,c,d 共面. 证明:(1)无三线共点情况,如图①. 设 a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q, a∩c=R,b∩c=S.因为 a∩d=M, 所以 a,d 可确定一个平面 α . 因为 N∈d,Q∈a,所以 N∈α ,Q∈α . 所以 NQ ? α ,即 b ? α .同理 c ? α , 所以 a,b,c,d 共面.

(2)有三线共点的情况,如图②. 设 b,c,d 三线相交于点 K,与 a 分别交于 N,P,M,且 K?a. 因为 K?a,所以 K 和 a 确定一个平面,设为 β . 因为 N∈a,a ? β ,所以 N∈β ,所以 NK ? β ,即 b ? β . 同理 c ? β ,d ? β ,所以 a,b,c,d 共面. 由(1)(2)知 a,b,c,d 共面. ——能力提升类—— 10.以下四个命题: ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面; ③若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不
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共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确;从条件看出两平面有三个公共点 A,B,C, 但是若 A,B,C 共线,则②不正确;③不正确;此时所得的四边形的四条边可以不在一个平 面上,如空间四边形,④不正确. 答案:B 11.过同一点的 4 条直线中,任意 3 条都不在同一平面内,则这 4 条直线确定平面的个 数是________. 解析:设 4 条直线为 a,b,c,d,则这 4 条直线中每 2 条都确定 1 个平面,因此,a 与 b,a 与 c,a 与 d,b 与 c,b 与 d,c 与 d 都分别确定 1 个平面,共 6 个平面. 答案:6 12.在正方体 AC1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如下图. (1)求证:D、B、E、F 四点共面; (2)作出直线 A1C 与平面 BDEF 的交点 R 的位置.

题图

答图

解:(1)证明:由于 CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为 O,则 OC1 =C1C.同理直线 DE 与 CC1 也相交,设交点为 O′,则 O′C1=C1C,故 O′与 O 重合.由此可证 得 DE∩BF=O,故 D、B、F、E 四点共面(设为 α ). (2)由于 AA1∥CC1,所以 A1、A、C、C1 四点共面(设为 β ).P∈BD,而 BD ? α ,故 P∈α . 又 P∈AC,而 AC ? β ,所以 P∈β ,所以 P∈(α ∩β ).同理可证得 Q∈(α ∩β ),从 而有 α ∩β =PQ.又因为 A1C ? β ,所以 A1C 与平面 α 的交点就是 A1C 与 PQ 的交点.连接 A1C,则 A1C 与 PQ 的交点 R 就是所求的交点.

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