福建省南安一中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题


第Ⅰ卷(选择题
2 1? i

共 50 分)

一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.复数 z ? 在复平面内对应的点位于( B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限 ) D. { x | x ? 1}
[来源:Zxxk.Com]

A.第一象限

2.设全集 U ? R , A ? { x | x ? 0} , B ? { x | x ? 1} ,则 A ? ?U B ? ( A. { x | 0 ? x ? 1} B. { x | 0 ? x ? 1} ) C. a 2 ? b 2 ) C.
9 25

C. { x | x ? 0}

3.如果 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. a ? lg x ? b ? lg x 4.已知 sin( A.
7 25

B. ax 2 ? bx 2 ,则 cos( ? ? 2? ) =( B. ?
7 25

D. a ? 2 x ? b ? 2 x

?
2

??) ?

3 5

D. ? )

9 25

5. m ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? x 2 ? x ? m 有零点”的( “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

6.在等差数列 { a n } 中,若 a 3 ? a 5 ? 2 a10 ? 4 ,则此数列的前 13 项的和等于( A.8 B.13 C.16

D.26 )

7.平面向量 a 、 b 满足 ( a + b )(2 a ? b ) ? ? 4 ,且 a = 2 , b = 4 ,则 a 与 b 的夹角等于( A.
?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

8.已知函数 y ? sin ax ? b ( a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? log a ( x ? b ) 的图象可能是(



1

9.已知偶函数 f ( x ) ,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x e ? ln x ( e 为自然对数的底数) ,则函数 f ( x ) 的零 点不可能落在区间( A. ? ? 1, 0 ? ) B. ? 0,1 ? C. ? ?
? ? 1 1? , ? e e?

D. ?

?1

? ,1 ? ?e ?

10.若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数” ,则在 1~100 这 100 个数中,能称 为“和 平数”的所有数的和是( A.130 B.325 ) C.676 D.1300

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置) 11.若 a ? 0 ,且 ? x d x ? 1 ,则实数 a 的值是
0 a


f (? 1 2 )?

12.若 y ? f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 4 x ,则



? y ? 2, ? 13.已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 3 x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 1, ?



14.已知直线 x ? 2 y ? 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点.若动点 P ( a , b ) 在线段 A B 上,则 a b 的 最大值为 .

15.已知奇函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,数列 ? x n ? 是一个公差为 2 的等差数列,且满足
f ( x8 ) ? f ( x9 ) ? f ( x1 0 ) ? f ( x1 1 ) ? 0,则 x 2012 的值



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. ) 16. (本小题满分 13 分)
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

在锐角 ? A B C 中, A 、 、 所对的边分别为 a 、 、 . 角 b c 向量 m ? ? 1, co s B ? , ? sin B , ? 3 , B C n

?

?

且m ? n . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 ? ABC 面积为 17. (本小题满分 13 分) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项的和 S n ? n 2 ? 2 n ,数列 ? b n ? 是正项等比数列,且满足 a1 ? 2 b1 ,
b3 ( a 3 ? a1 ) ? b1 , n ? N .
*

3 3 2

, a ? 2 ,求 b 的值

(Ⅰ)求数列 { a n }和 {b n } 的通项公式; (Ⅱ)记 c n ?
1 3 a n b n ,求数列的前 n 项的和 T n .

18. (本小题满分 13 分) 函数
f ( x ) ? (s in x ? 3 c o s x ) s in x ? 1 2



(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)将 y ? f ( x ) 的图 象向左平移
?
3

个单位,再将得到的图 象的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐
3 2

标不变)后得到的 y ? g ( x ) 的图象.若 y ? g ( x )( x ? 0 ) 的图象与直线 y ? ? 标由小到大依次是 x 1 , x 2 , ? , x n , ? , 求数 { x n } 的前 2 n 项的和. 19. (本小题满分 13 分)

交点的横



某食品厂需要定期购买食品配料, 该厂每天需要食品配料 2 0 0 千克, 配料的价格为每千克 1.8 元, 每次购买配料需支付运费 236 元.每次购买来的配料还需支付保管费用(若 n 天购买一次,需要 支付 n 天的保管费) ,其标准如下:7 天以内(含 7 天) ,无论重量多少,均按每天 10 元支付; 超出 7 天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每千克每天 0.03 元支付. (Ⅰ)当 9 天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用 p 是多 少元?[来源:Zxxk.Com] (Ⅱ )若该厂 x 天购买一次配料,求该厂在这 x 天中用于配料的总费用 y (元)关于 x 的函数关 ... 系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少? .........

20. (本小题满分 14 分) 椭圆 E :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ?

的一个焦点 F1 ( ? 2, 0 ) ,点 P (1,

14 2

) 在椭圆 E 上.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设点 C 的坐标为 (1, 0 ) ,椭圆 E 的另一个焦点为 F 2 .试问:是否存在椭圆上的点 Q 及以 C 为圆心的一个圆,使圆 C 与直线 Q F1 , Q F2 都相切,如存在,求出 Q 点坐标及圆 C 的方程, 如不 存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分 ) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x ?
a ?1 x

,函数 g ( x ) ? ax ? 9 a ? 1 .
2

(Ⅰ)当 a ? ? 3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
?1 ?

(Ⅱ)当 a ? ? 4 时, A ? ? , 3 ? . ?3 ? (i)求函数 f ( x ) 在 A 上的最大值; (ii)若存在 x1 , x 2 ? A ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 6 成立,求实数 a 的取值范围.

南安一中 2012~2013 学年度上学期期中考高三年数学科试卷参考答案

2 10. 【解析】C.设两个连续偶数为 2 k ? 2 和 2 k ,则 2 k ? 2 ) ? (2 k ) 2 ? 4(2 k ? 1) ,故“和平数”的 (

特 征 是 4 的 倍 数 , 但 不 是 8 的 倍 数 , 故 在 1 ~ 10 0 之 间 , 能 称 为 “ 和 平 数 ” 的 有
4 ? 1 , 4? 3 , 4 ? 5 ,? 4 7, ? ,共 13 个,其和为 4 ? ? , 4 25
1 ? 25 2 ? 13 ? 676 .

11. 【解析】 a ?

2 .?
1

a 0

xdx ?

x

2

2

|0 ?
a

a

2

,由

a

2

? 1 得a ?

. 2 (负值舍去)
1 2

2
1

2

12. 【解析】

1 f ( ) ? 42 ? 2 2

,又因为

f (?

1 )? ? f( ) 2 2

,所以

f (?

) ? ?2



13. 【解析】 11 .作出可行域,如图所示.目标函数变形为 y ? ? 3 x ? z ,平移目标函数线,显然当
? y ? 2, ?x ? y ? 1

直线经过可行域中 A 点时,z 最大,由 ?
zm a x? 3 ? 3 ? 2 ? 1 . 1

得 A (3, 2) , 所 以

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

17. 【解析】 (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? 12 ? 2 ? 1 ? 3 ;????????????????1 分 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ( n 2 ? 2 n ) ? ? ( n ? 1) 2 ? 2( n ? 1) ? ? 2 n ? 1 . ? ? 当 n ? 1 时,满足上式,故 a n ? 2 n ? 1( n ? N * ) .????????????????3 分 正项等比数列中, a1 ? 2 b1 ,即 2 b1 ? 3 ,所以 b1 ?
3 2

.????????????4 分

18. 【解析】 (Ⅰ)

f ( x ) ? (s in x ?

3 c o s x ) s in x ?

1 2

? s in x ?
2

3 c o s x s in x ?

1 2

? ?

1 ? cos 2 x 2 3 2

? 1 2

3 2

s in 2 x ?

1 2

?????????????? ????2 分
?
6 )

s in 2 x ?
3? 2

c o s 2 x ? s in ( 2 x ?

.??????????????4 分
? x ? k? ? 5? 3 (k ? Z )

令 2k?

?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

(k ? Z )

,所以 k ?

?

2? 3

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ? k ?
?

?

?

2? 3

, k? ?

5? ? (k ? Z ) 3 ? ?



???????? ??6 分

(Ⅱ)将 f ( x ) ? s in ( 2 x ? 得到 f ( x ) ? s in [ 2 ( x ?
?
3

?
6

) 的图象向左平移

?
3

个单位后,

)?

?
6

] ? s in ( 2 x ?

?
2

) ? c o s 2 x .?????????????7 分

再将得到的图象的横坐 标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)后得到 y ? g ( x ) ? cos x ,?8 分解法

一:若函数 g ( x ) ? cos x ( x ? 0) 的图象与直线 y ? ?

3 2

交点的横坐标由小到大依次是

x1 、 x 2 、 ? ? ? x n 、 ? 、 x 2 n ,则由余弦曲线的对称性,周期性可知,
x1 ? x 2 2 ??, x3 ? x4 2 ? 2? ? ? ,? , x 2 n ?1 ? x 2 n 2 ? 2 ( n ? 1) ? ? ? , ????10 分

所以 x 1 ? x 2 ? ? ? x 2 n ?1 ? x 2 n ? ( x 1 ? x 2 ) ? ( x 3 ? x 4 ) ? ? ? ( x 2 n ?1 ? x 2 n )
? 2 ? ? 6 ? ? 10 ? ? ? ? (4 n ? 2)? ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2 n ? 1) ? ? 2 ? ????????12 分
n ?1 ? ( 2 n ? 1) ? 2

?

? 2 ? ? 2 n ? .??????????????????13 分
2

解法二:若函数 g ( x ) ? cos x ( x ? 0) 的图象与直线 y ? ?
x1 、 x 2 、 ? ? ? x n 、 ? 、 x 2 n ,则 x 1 ?
2? 3 , x2 ? 4? 3

3 2

交点的横 坐标由小到大依次是

.???????????????10 分

由余弦曲线的周期性可知,
x 3 ? x1 ? 2 ? , x 5 ? x1 ? 4 ? , ? , x 2 n ?1 ? x1 ? 2( n ? 1)? ; x 4 ? x 2 ? 2 ? , x 6 ? x 2 ? 4 ? , ? , x 2 n ? x 2 ? 2 ( n ? 1)? . ??????????????11 分

所以 x 1 ? x 2 ? ? x 2 n ?1 ? x 2 n ? ( x 1 ? x 3 ? ? ? x 2 n ?1 ) ? ( x 2 ? x 4 ? ? x 2 n )
? [ nx 1 ? 2? ? 4 ? ? ? ? 2 ( n ? 1)? ] ? [ nx 2 ? 2 ? ? 4 ? ? ? ? 2 ( n ? 1)? ] ? n ( x 1 ? x 2 ) ? [1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)] ? 4 ? ??????????????????12 分
? n( 2? 3 ? 4? 3 )? ( n ? 1) n 2 ? 4 ? ? 2 n ? .??????????????????13 分
2

当 0 ? x ? 7 时, f ( x ) ? 370 ?

236 x

f ( x ) 是 ( 0 , 7 ] 上的减函数,
2826 7 ? 403 5 7

当且仅当 x ? 7 时, f ( x ) 有最小值 当 x ? 7 时, f ( x ) ? 3 x ? 当且仅当 x ?
144 x
5 7

(元) ;????????????10 分

432 x

? 3 2 1 ? 3( x ?

144 x

) ? 321 ? 393 ,

,即 x ? 1 2 时取等号.?????????????????10 分[来源 , 所以当 x ? 12 时 f ( x ) 有最小值 393 元.???? ??????12 分
[来源:Z#xx#k.Com]

因为 393 ? 403

答:该厂 1 2 天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最小.??????????13 分

(Ⅱ)假设存在椭圆上的一点 Q ( x 0 , y 0 ) ,使得直线 Q F1 , Q F2 与以 C 为圆心的圆相切, 则 C 到直线 Q F1 , Q F2 的距离相等. 由于 F1 ( ? 2 , 0 ),
F 2 ( 2 ,0 )

所以直线 Q F1 为 y 0 x ? ( x 0 ? 2) y ? 2 y 0 ? 0 , 直线 Q F 2 为 y 0 x ? ( x 0 ? 2) y ? 2 y 0 ? 0 .
| 3 y0 | ( x0 ? 2 ) ? y0
2 2

???????? 8 分

?

| y0 | ( x0 ? 2 ) ? y0
2 2

,???? 9 分

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

化简整理,得 8 x 0 ? 40 x 0 ? 32 ? 8 y 0 ? 0 . 因为点在椭圆上,所以 x 0 ? 2 y 0 ? 8 , 解得 x 0 ? 2 或 x 0 ? 8 (舍)
2 2

2

2

????? 10 分

?????????? 12 分

当 x 0 ? 2 时, y 0 ? ? 2 , r ? 1 , 所以椭圆上存在点 Q ,其坐标为 ( 2 , 2 ) 或 ( 2 , ? 2 ) , 使得直线 Q F1 , Q F2 与以 C 为圆心的圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 相切.? ?????? 14 分

(ii)对于函数 g ( x ) ? ax ? 9 a ? 1 ,由于 a ? 0 ,所以 g ( x ) 在 ? , 3 ? 上单调递减, 3
2

?1 ?

? ?


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