(课堂设计)2014-2015高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值学案2 新人教A版必修5


1.3.1 单调性与最大(小)值(二)
自主学习

1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析,理解函数最大值、最小值的定义. 2.会利用函数的单调性求函数的最值.

1.函数的最大值、最小值的定义 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M); (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(最小值). 2.函数 f(x)=x +2x+1 (x∈R)有最小值,无最大值.若 x∈[0,1],则 f(x)最大值为 4,最小值为 1. 1 3.函数 f(x)= 在定义域上无最值.(填“有”或“无”)
2

x

对点讲练

利用单调性求函数最值

【例 1】 已知函数 f(x)=

x2+2x+3 (x∈[2,+∞)), x

(1)求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围. 分析 求最值问题往往依赖于函数的单调性,由于这个函数并不是我们所熟悉的函数, 可考虑先判断一下单调性,再求最值. 解 (1)任取 x1,x2∈[2,+∞),

3 且 x1<x2,f(x)=x+ +2,

x

则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?1- ∵x1<x2,∴x1-x2<0

? ?

x1x2? ?

3 ?

又∵x1≥2,x2>2,∴x1x2>4,1-

3

x1x2

>0

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
1

故 f(x)在[2,+∞)上是增函数. 11 ∴当 x=2 时,f(x)有最小值,即 f(2)= . 2 (2)∵f(x)最小值为 f(2)= 11 , 2

11 ∴f(x)>a 恒成立,只须 f(x)min>a,即 a< . 2 规律方法 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法, 特别是当函数图象不好作 或作不出来时, 单调性几乎成为首选方法. 另外 f(x)>a 恒成立, 等价于 f(x)min>a, f(x)<a 恒成立,等价于 f(x)max<a. 变式迁移 1 求函数 f(x)=

x 在区间[2,5]上的最大值与最小值;若 f(x)<a 在[2,5] x-1

上恒成立,求 a 的取值范围. 解 任取 2≤x1<x2≤5,

则 f(x1)=

x1 x2 ,f(x2)= , x1-1 x2-1

x2 x1 x1-x2 f(x2)-f(x1)= - = , x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1?
∵2≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0. ∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1). ∴f(x)=

x 在区间[2,5]上是减函数. x-1

2 ∴f(x)max=f(2)= =2. 2-1

f(x)min=f(5)=

5 5 = . 5-1 4

f(x)<a 恒成立,等价于 a>f(x)max,
即 a>2.

闭区间上二次函数的最值问题

【例 2】 函数 f(x)=x -4x-4 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值. 分析 本题需要先求 f(x)的最小值,关键是分析其对称轴 x=2 与区间[t,t+1]的位 置关系.

2

2



(1)f(x)=x -4x-4=(x-2) -8.

2

2

当 t>2 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数, ∴g(t)=f(t)=t -4t-4; 当 t≤2≤t+1,即 1≤t≤2 时,g(t)=f(2)=-8; 当 t+1<2,即 t<1 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数, ∴g(t)=f(t+1)=t -2t-7.
2 2

从而 g(t)=

t -2t-7 ?t<1?, ? ? ?-8 ?1≤t≤2?, ? ?t2-4t-4 ?t>2?.
(2)g(t)的图象如图所示,由图象易知 g(t)的最小值为-8. 规律方法 (1)含有参数的二次函数的值域与最值问题,主要考虑其顶点(对称轴)与定 义域区间的位置关系,由此进行分类讨论. (2)二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系:①定义域区间在对称轴右 侧;②定义域区间在对称轴左侧;③定义域区间在对称轴的两侧. 变式迁移 2 求 f(x)=x -2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 解
2

2

f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为 x=a.

①当 a<0 时,由图①可知,

f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.
②当 0≤a<1 时,由图②可知,

f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.
③当 1≤a≤2 时,由图③可知,

f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.
④当 a>2 时,由图④可知,

f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
3

1.求函数的最值,若能作出函数的图象,由最值的几何意义不难得出. 2.运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法,特别是函数图象作不出来时,单调 性几乎成为首选方法. 3.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y=f(x)的草图,然后根据 图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取 得.

课时作业

一、选择题 1.函数 f(x)=2x -6x+1 在区间[-1,1]上的最小值为( A.9 答案 B 2.函数 f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值,最小值分别为( ) B.-3 7 C. 4 D. 11 4
2

)

A.f(2),f(-2) 答案 C

?1? B.f? ?,f(-1) ?2?

?1? ? 3? C.f? ?,f?- ? ?2? ? 2?

?1? D.f? ?,f(0) ?2?

? ?2x+6, x∈[1,2], 3.函数 f(x)=? ?x+7, x∈[-1,1? ?

则 f(x)的最大值与最小值分别为(

)

A.10,6 C.8,6 答案 A 解析 画图象可知. 4.函数 f(x)= A. 4 5

B.10,8 D.以上都不对

1 的最大值是( 1-x?1-x? 5 B. 4 3 C. 4

) 4 D. 3
4

答案 D 解析 f(x)= 1 4 ≤ . ?x-1?2+3 3 ? 2? 4 ? ? ) B.最小值是-4,最大值是 0 D.没有最大值也没有最小值

5.函数 y=|x-3|-|x+1|的( A.最小值是 0,最大值是 4 C.最小值是-4,最大值是 4 答案 C 解析 y=|x-3|-|x+1| -4 ?x≥3? ? ? =?-2x+2 ?-1≤x<3? ? ?4 ?x<-1? 二、填空题

作出图象可求.

6. 函数 y=-x +6x+9 在区间[a, b](a<b<3)有最大值 9, 最小值-7, 则 a=________,

2

b=__________.
答案 -2 0 解析 y=-(x-3) +18,∵a<b<3, ∴在区间[a,b]上单调递增,即-b +6b+9=9,得 b=0, -a +6a+9=-7,得 a=-2. 7.已知 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间[1,5]上的最小值为 f(5),则 a 的取值范围为 ________. 答案 a≤-4 解析 由对称轴方程为 x=1-a, ∵区间[1,5]上的最小值为 f(5),∴1-a≥5,得 a≤-4. 8.若定义运算 a⊙b=? 答案 (-∞,1] 解析 由题意知 x⊙(2-x)表示 x 与 2-x 两者中的较小者, 借助 y=x 与 y=2-x 的图 象,不难得出,f(x)的值域为(-∞,1].
?b,a≥b ? ? ?a,a<b
2 2 2 2

,则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域是________.

三、解答题 9.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[-5,5].
5
2

(1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=x -2x+2=(x-1) +1,
2 2

∵x∈[-5,5],故当 x=1 时,f(x)的最小值为 1. 当 x=-5 时,f(x)的最大值为 37. (2)函数 f(x)=(x+a) +2-a 图象的对称轴为 x=-a. ∵f(x)在[-5,5]上是单调的, ∴-a≤-5,或-a≥5. 即实数 a 的取值范围是 a≤-5,或 a≥5. 10.已知函数 f(x)=
2 2

x2+2x+a ,x∈[1,+∞). x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 解 1 1 (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2 2 2x

设 1≤x1<x2,则 f(x1)-f(x2) =?x1+

? ?

1 1 ? +2?-? ?x2+2x2+2? 2x1 ? ? ? ?

=(x1-x2)+? =

? 1 - 1 ?=(x -x )+x2-x1 ? 1 2 2x1x2 ?2x1 2x2?

?x1-x2??2x1x2-1? , 2x1x2

∵1≤x1<x2, ∴x1-x2<0,2x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数. 7 ∴f(x)min=f(1)= . 2 (2)方法一 在区间[1,+∞)上,f(x)= 成立. 设 y=x +2x+a,x∈[1,+∞),y=x +2x+a=(x+1) +a-1 递增,∴当 x=1 时,
2 2 2

x2+2x+a 2 >0 恒成立,等价于 x +2x+a>0 恒 x

ymin=3+a,
于是当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)恒成立,故 a>-3. 方法二 在区间[1, +∞)上 f(x)=

x2+2x+a 2 >0 恒成立等价于 x +2x+a>0 恒成立. 即 x
6

a>-x2-2x 恒成立.
又∵x∈[1,+∞),a>-x -2x 恒成立, ∴a 应大于函数 u=-x -2x,x∈[1,+∞)的最大值. ∴a>-x -2x=-(x+1) +1.当 x=1 时,u 取得最大值-3,∴a>-3.
2 2 2 2

7


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