「精品」安徽省郎溪中学直升部2018-2019学年高二数学上学期期中试题


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郎溪中学直升部高二学段期中考试数学试题

(考试时间:120分钟 总分:150分)

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

1. 已知集合 A ? {x | y ? x} , B ? {y | y ? 2 x ? x},则 A ? B ?( )

A {0,1}

B (0,1)

C [0,1]

D?

2.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3) 、 B(2,?5,1) 、 C(3,7, ?) ,若→AB⊥→AC,则 λ 等

于( )

A.28

B.-28

C.14

D.-14

3. 有一人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是( )

A.至多有 1 次中靶

B.2 次都中靶

C.2 次都不中靶

D.只有 1 次中靶

4. 已知 sin α cos α =18,且54π <α <3π2 ,则 cos α -sin α 的值为( )

3 A.- 2

3 B. 2

3 C.-4

3 D. 4

5.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更

相减损术”.执行该程序框图,若输入 a, b 分别为 14,18,则输出的

a?( )

A.0

B.2

C.4

D.14

6.若一个几何体的三视图,其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形,

尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 2 3 3

B. 3 3 2

C. 3

D. 2 3

7.经过点 P(2,?2) 且与双曲线 C:x22-y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是( )

x2 y2 A. 4 - 2 =1

y2 x2 B. 2 - 4 =1

x2 y2 C. 2 - 4 =1

y2 x2 D. 4 - 2 =1

1

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8.若两个正实数

x,

y 满足

1 x

?

4 y

? 1 ,且不等式

x?

y 4

?

m2 ? 3m 有解,则实数 m

的取值范围为(

)

A.(?1,4)

B.(?4,1)

C.(??,?1) ? (4,??)

D.(??,0) ? (3,??)

9.如果数据 x1, x2 ,…, xn 的平均数为 x ,方差为 s2 ,则 3x1 ? 5 ,3x2 ? 5 ,…, 3xn ? 5 的平均数和
方差分别为( )

A. x , s2

B. 3x ? 5 , s2

C. 3x ? 5 , 9 s2

D. x , 9 s2

10.

已知曲线 C1 : y ? cosx , C2 : y

? sin(2x ?

2? ) ,则下面结果正确的是( 3

)

A.把

C1

上各点的横坐标伸长到原来的

2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

? 6

个单位

长度,得到曲线 C2

B.把

C1

上各点的横坐标伸长到原来的

2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移

? 12

个单位

长度,得到曲线 C2

C.把 C1

上各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

? 6

个单位

长度,得到曲线 C2

D.把

C1

上各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移

? 12

个单位

长度,得到曲线 C2

11. 已知等比数列{an}的公比为 q,则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

12. 若定义在 R 上的偶函数 y = f (x) 满足 f (x ?1) = 1 ,且当 x ? (0,1]时, f (x) = x ,函数 f (x)

g

(

x)

=

?log 3 ??2x+1

x

( x>0) ,则函数 h(x) = f (x) ? g(x) 在区间[-4,4]内的零点的个数为(
(x ? 0)

)

A.2

B.3

C.4

D.5

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.用分层抽样法从100 名学生中抽取 n (0< n <100)人进行评教,男生被抽到的概率是 2 ,则女生 3
被抽到的概率是_____ 14.椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,左、右焦点分别为 F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,

2

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|F1B|成等差数列,则此椭圆的离心率为______. 15.若命题 p:曲线a-x2 2-6-y2 a=1 为双曲线,命题 q:函数 f(x)=(4-a)x 在 R 上是增函数,且 p
∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则实数 a 的取值范围是________.

16.不等式组

?x ??x

? ?

y ?1 2y ?

4

的解集记为

D

.有下面四个命题:

① ?(x, y) ? D, x ? 2y ? ?2 ,

② ?(x, y) ? D, x ? 2y ? 2 ,

③ ?(x, y) ? D, x ? 2y ? 3 ,
其中真命题的序号是________.

④ ?(x, y) ? D, x ? 2y ? ?1.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算过程。 17.(10 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产
能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据.

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

^

^

^

(Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y =b x+a ;

(Ⅱ)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(Ⅰ)求出的线性回归方程

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5, 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86 )

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

n

n

^
b

?

? (xi ? x)(yi ?
i ?1

n
?

(

x

i

?

2
x)

y)

?

? xi yi ? nx y
i ?1

n
?

xi2

?

n

2
x



i ?1

i ?1

^

^

a ? y?bx.

18.(12 分) 已知向量 a ? (?2,1) , b ? (x, y) .
(Ⅰ)若 x,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a · b =-1 的概率;
(Ⅱ)若 x,y 在连续区间[1,6] 上取值,求满足 a · b ? 0 的概率.

3

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19.(12 分) △ABC 中, a, b, c 是 A,B,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且 cos B ? ? b . cos C 2a ? c
(Ⅰ)求 B 的大小;
(Ⅱ)若 a =4, S ? 5 3 ,求 b 的值.

20.(12 分) 已知数列{an } 满足: Sn ? 1 ? an (n ? N * ) ,其中 S n 为数列{an } 的前 n 项和. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若数列{bn }满足: bn

?

n an

(n ?

N * ) ,求数列{bn}的前

n

项和

Tn.

21.(12 分)如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=3 5,AD=6,BD 是对角线,过点 A 作 AE⊥BD,垂足 为 O,交 CD 于 E,以 AE 为折痕将△ADE 向上折起,使点 D 到点 P 的位置,且 PB= 41. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCE; (Ⅱ)求二面角 E?AP?B 的余弦值.
22.(12 分) 已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C. (Ⅰ) 求动点 C 的轨迹方程;
(Ⅱ) 过点 F 的直线 l2 交动点 C 的轨迹于 P,Q 两点,交直线 l1 于点 R,求 RP · RQ的最小值.
4

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参考答案
一、 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。本大题共 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分。

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 C

D

C

B

B

D

B

C

CD

DD

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卷上

13. 2 3

1 14. 2

15.(-∞,2]∪[3,6)

16.①②

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题 10 分)

解:(Ⅰ)由对照数据计算得, x =3+4+4 5+6=4.5, y =2.5+3+4 4+4.5=3.5,

4

∑xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,

i=1 4

∑x2i=32+42+52+62=86,

i=1

所以由最小二乘法确定的系数为

4

∑xiyi-4 x · y

^
∴b =i=1 4

66.5-4×3.5×4.5 = 86-4×4.52 =0.7,

∑xi2-4 x 2

i=1

^

^

a = y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35.

^
∴线性回归方程为y =0.7x+0.35.
(Ⅱ)根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为
^
y =0.7×100+0.35=70.35,

∴耗能降低了 90-70.35=19.65(吨标准煤)

18.(本小题 12 分) 解:(Ⅰ)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=36 个;

由 a · b =-1 有-2x+y=-1,

所以满足 a · b =-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5)共 3 个.

故满足

a

·

b

=-1

31 的概率为36=12.

5

(Ⅱ)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为 Ω ={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};

满足 a · b <0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,且-2x+y<0};

画出图形,

矩形的面积为

S

矩形=25,阴影部分的面积为

S

1 阴影=25-2×2×4=21,

故满足 a · b <0 的概率为2251.

19. (本小题 12 分)
解:(Ⅰ)由 cos B ? ? b ? cos B ? ? sin B cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C
? 2sin Acos B ? cos BsinC ? ?sin BcosC ? 2sin Acos B ? ?sin BcosC ?cos Bsin C

?2sin Acos B ? ?sin(B ? C) ? 2sin Acos B ? ?sin A

? cos B ? ? 1 , 又0 ? B ? ? ,? B ? 2 ?

2

3

(Ⅱ)由a ? 4, S ? 5 3有S ? 1 ac sin B ? 1 ? c ? 3 ? c ? 5

2

22

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? b2 ? 16 ? 25 ? 2? 4? 5? 3 ? b ? 61 2

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20. (本小题 12 分)
解:(Ⅰ)? Sn ? 1 ? an ①

? Sn?1 ? 1 ? an?1



②-①得 an?1 ? ?an?1 ? an

? an?1

?

1 2

an ,(n ?

N*)

又n

? 1时, a1

?

1?

a1 ? a1

?

1 2

? an

?

1 ? ( 1 )n?1 22

?

(1)n ,(n ? N *) 2

(Ⅱ) bn

?

n an

? n ? 2n ,(n ? N * )

6

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ③

? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ④

? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1

③-④得

? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1

1? 2

整理得:Tn ? (n ? 1)2n?1 ? 2, n ? N *

21.(本小题 12 分) 解:(Ⅰ)证明:由已知得 AB=3 5,AD=6, ∴BD=9. 在矩形 ABCD 中,∵AE⊥BD, ∴Rt△AOD∽Rt△BAD, ∴DAOD=ABDD,∴DO=4,∴BO=5.

在△POB 中,PB= 41,PO=4,BO=5, ∴PO2+BO2=PB2, ∴PO⊥OB.又 PO⊥AE,AE∩OB=O, ∴PO⊥平面 ABCE. (Ⅱ)∵BO=5, ∴AO= AB2-OB2=2 5. 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,4), A(2 5,0,0),B(0,5,0),

PA =(2 5,0,-4), PB =(0,5,-4). 设 n1=(x,y,z)为平面 APB 的法向量.

?n1· PA =0, 则?
?n1· PB =0,

即??2 5x-4z=0, ?5y-4z=0.

取 x=2 5得 n1=(2 5,4,5).

又 n2=(0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量,

∴cos〈n1,n2〉=|nn1|1··n|2n2|=

4 =4 61×1

6161,

故二面角 E?AP?B 的余弦值为4 6161.
22.(本小题 12 分) 解:(Ⅰ)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离,

7

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∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴动点 C 的轨迹方程为 x2=4y. (Ⅱ)由题意知,直线 l2 方程可设为 y=kx+1(k≠0), 与抛物线方程联立消去 y,得 x2-4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 又易得点 R 的坐标为???-2k,-1???,
∴ RP · RQ=???x1+2k,y1+1???·???x2+2k,y2+1??? =???x1+2k??????x2+2k???+(kx1+2)(kx2+2) =(1+k2)x1x2+???2k+2k???(x1+x2)+k42+4 =-4(1+k2)+4k???2k+2k???+k42+4 =4???k2+k12???+8.
∵k2+k12≥2,当且仅当 k2=1 时取等号,
∴ RP · RQ≥4×2+8=16,即 RP · RQ的最小值为 16.
养成良好的学习惯,有利于激发生积极性和主动;形策略提高效率培自能力创新精神造使终身受益Mr.Johnsadevbupifltc,在教师讲课之前己先独立地阅读内容。初步理解是上做接知识准备过程些由没预对老一堂要无所坐等wygF加油就会功命不息

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