概率统计案例好题


概率统计案例好题
1.【2012 高考辽宁文 19】(本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了 100 名观众进行调查, 其中女性有 55 名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ,已知“体育迷”中有 10 名女性。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关? 非体育迷 男 女 合计 (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷” ,已知“超级体育迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率。 体育迷 合计

附 ?2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 )2 , n1? n2? n?1n?2

2.【2012 高考湖南文 5】设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系, 根据一组样本数据(xi,yi) (i=1,2,?,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? =0.85x-85.71,则下 y
1

列结论中不正确的是 ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 3.【2012 高考新课标文 3】在一组样本数据(x1,y1)(x2,y2) , ,?, n,yn) (x (n≥2,x1,x2,?,xn 不全 1 相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y=2x+1 上,则这组样本数据的样本 相关系数为 (A)-1 (B)0 1 (C)2 (D)1

4.以下四个命题,其中正确的是__________. ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样 的抽样是分层抽样; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1;
^ ^

③在回归直线方程y=0.2x+12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量y平均增加 0.2 单 位; ④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K (χ )的观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系”的把 握程度越大.
2 2

5. (2011 年福建质检)某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、 乙两个“平行班”, 每班 50 人. 陈 老师采用 A、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了了解教学效果,期末考 试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低 于 90 分为“成绩优秀”.

(1)在乙班样本的 20 个个体中, 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个, 求抽出的两个均“成绩优 秀”的概率; (2)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有 90%的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有 关.

6..四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分 别得到以下四个结论: ① y 与 x 负相关且 ? ? 2.347 x ? 6.423 ; y ③ y 与 x 正相关且 ? ? 5.437 x ? 8.493 ; y ② y 与 x 负相关且 ? ? ?3.476 x ? 5.648 ; y ④ y 与 x 正相关且 ? ? ?4.326 x ? 4.578 . y
2

其中一定不正确的结论的序号是 ... A.①② B.②③ C.③④ D. ①④

7.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

? ? ? 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y ? bx ? a .若某同学根据上表中前两组数据 (1,0) 和
(2,2) 求得的直线方程为 y ? b?x ? a? ,则以下结论正确的是(
)

? ? A. b ? b?, a ? a?

? ? B. b ? b?, a ? a?

? ? C. b ? b?, a ? a?

? ? D. b ? b?, a ? a?

8. (2013 年高考福建卷(文) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名. ) 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样 的方法,从中抽取了 100 名工人,先 统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以 下 ” 分 为 两 组 , 在 将 两 组 工 人 的 日 平 均 生 产 件 数 分 成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直 方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下 组”工人的频率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2 ? 2 的列联表, 并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附表:

9.(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 9 分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各 2 分) 从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄 yi (单位:千元)的数 据资料,算得

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
3

(Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,

其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ? ? bx ? a . y ? ? 10.(本小题满分 12 分) 近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可 引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 女 合计 20 10 30 5 15 20 25 25 50

(Ⅰ)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽 6 人,其中男性抽多少人? (Ⅱ)在上述抽取的 6 人中选 2 人,求恰有一名女性的概率; (Ⅲ)为了研究心肺疾病是否与性别有关,请计算出统计量 K ,你有多大的把握认为心肺疾病与 性别有关?大气污染会引起各种疾病,试浅谈日常生活中如何减少大气污染. 下面的临界值表供参考:
2

P( K ? k )
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式 K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

4

1. 【答案】

【解析】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、古典概型,考查分析解决问题的能力、 运算求解能力,难度适中。准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。求概率时列举基本事件 一定要做到不重不漏,此处极容易出错。 2.【答案】D 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是找不正确 的答案,易错. 3. 【答案】D 2 2 4. 解析:①是系统抽样;对于④,随机变量 K (χ )的观测值 k 越小,说明两个变量有关系的把握程 度越小. 答案:②③ 5.解:(1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件 A. 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个的基本事件为(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99), 共 15 个. 而事件 A 包含基本事件: (93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99), 共 10 个. 10 2 所以所求概率为 P(A)= = . 15 3
5

(2)由已知数据得 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 根据列联表中数据,得 1 19 20 乙班(B 方式) 5 15 20 总计 6 34 40

K2(χ 2)=

40×? 1×15-5×19? 6×34×20×20

2

≈3.137,

由于 3.137>2.706,所以有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关. 6. 【答案】D 7. 【答案】C 8. 【答案】解:(Ⅰ)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 60 ? 0.05 ? 3 (人), 记为 A1 , A2 , A3 ; 25 周岁以下组工人有 40 ? 0.05 ? 2 (人),记为 B1 , B2 从 中 随 机 抽 取 2 名 工 人 , 所 有 可 能 的 结 果 共 有 10 种 , 他 们 是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A2 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) 其 中 , 至 少 有 名 “ 25 周 岁 以 下 组 ” 工 人 的 可 能 结 果 共 有 7 种 , 它 们

7 10 (Ⅱ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 在 抽 取 的 100 名 工 人 中 ,“ 25 周 岁 以 上 组 ” 中 的 生 产 能 手 60 ? 0.25 ? 15 (人),“ 25 周岁以下组”中的生产能手 40 ? 0.375 ? 15 (人),据此可得 2 ? 2 列联表 如下: 生产能手 非生产能手 合计 15 45 60 25 周岁以上组 15 25 40 25 周岁以下组 30 70 100 合计
是: ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .故所求的概率: P ? 所以得: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 9.

6

10. (Ⅰ)解:在患心肺疾病人群中抽 6 人,则抽取比例为 ∴男性应该抽取 20 ?

6 1 ? 30 5

1 ? 4人 5

………………………………….4 分

(Ⅱ) 在上述抽取的 6 名患者中, 女性的有 2 人, 解: 男性 4 人。 女性 2 人记 A, B ; 男性 4 人为 c, d , e, f , 则从 6 名患者任取 2 名的所有情况为: ( A, B) 、 ( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、

( B, e) 、 ( B, f ) 、 (c, d ) 、 (c, e) 、 (c, f ) 、 ( d , e) 、 (d , f ) 、 (e, f ) 共 15 种情况,其中恰有 1 名女性
情况有:

( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) ,共 8 种情况,
故上述抽取的 6 人中选 2 人,恰有一名女性的概率概率为 P ?
2

8 15

………………….8 分

(Ⅲ)解:∵ K ? 8.333 ,且 P(k 2 ? 7.789) ? 0.005 ? 0.5% , 那么,我们有 99.5% 的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的. 低碳生活,节能减排,控制污染源,控制排放. (回答基本正确就得分) ……….10 分 …12 分

7


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