2017-2018学年湖南省衡阳县高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案_图文


2017 年下学期期末质量检测参考答案 高二数学(理科) 一、选择题: (本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题所给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 D 5 C 6 D 7 D 8 D 9 A 10 D 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷对应题号的横线上) 11. ? 2 12.5 13.30 14. 1 2 15. 6 4 三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 50 分) 16.(本小题 10 分) 解: (1)? a n ?1 ? 1 1 a n ,且 a3 ? 1 ,? a1 ? 0 ,? 数列{ an }是公比为 的等比数列, 3 2 1 1 1 a3 ? a1 ? ( ) 2 ? 1 ,? a1 ? 9 , a n ? 9 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?3 …………………………5 分 3 3 3 (2)由(1)知 bn ? 3 ? n , ? bn?1 ? bn ? ?1,又 b1 ? 2 ,? 数列 {bn } 是首项为 2,公差为 ? 1 的等差数列, n(2 ? 3 ? n) ? n 2 ? 5n Sn ? ? …………………………………………………………10 分 2 2 17.(本小题 10 分) 解: (1)当 a ? ?1 时,原不等式化为 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?1? 5 ?1? 5 或x ? 2 2 ? 不等式的解集为 { x | x ? ?1? 5 ?1? 5 或x ? } ………………………4 分 2 2 x2 (2)由已知得:对 ?x ? (1,??) , a ? 恒成立 x ?1 令 f ( x) ? x2 (x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 1 1 ? x ?1? ?2?4 ( x ? 1) , f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1 当且权当 x ? 2 时取等号, 故 a ? 4 ……………………………………………10 分 18.(本小题 10 分) 解: (1)? (b ? c)2 ? a 2 ? 3bc ,即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc 在 ?ABC 中,由余弦定理得 cos A ? 又 0 ? A ? ? ,? A ? 2? 3 b2 ? c2 ? a2 1 ?? 2bc 2 ……………………………………………………5 分 1 b a ? ? ,即 sin B sin A sin B 3 1 ,? sin B ? , 2? 2 sin 3 (2)在 ?ABC 中,由正弦定理得 又0 ? B ? ? 2 ,? B ? ? 6 ,? C ? ? 6 , S ?ABC ? 3 1 ? ? 3 ? 1 ? sin ? …………10 分 2 6 4 19.(本小题 10 分) 解: (1)证明:? AA1C1C 是边长为 4 的正方形,? AA 1 ? AC , z 又 AA1 ? AB , AC ? AB ? A ,? AA1 ? 平面 ABC , ? AA1⊥BC………………………4 分 y (2)在 ?ABC 中,有 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,? AB ? AC x 分别以 AB, AC, AA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A1 (0,0,4),C1 (0,4,4), B(3,0,0) , A1C1 ? (0,4,0), A1 B ? (3,0,?4) , 设平面 A1 BC1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ?4 y1 ? 0 , ?3 x1 ? 4 z1 ? 0 取 x1 ? 4 ,则 n1 ? (4,0,3) ,同理得平面 BC1 B1 的法向量 n2 ? (4,3,0) 设二面角 A1 ? BC1 ? B1 的平面角为 ? ,则 cos? ? 20.(本小题 10 分) 解: (1)由已知 2a ? 4 ? a ? 2 ,又点 P (1, n1 ? n2 | n1 | ? | n2 | ? 16 ……………………10 分 25 3 ) 在椭圆上, 2 3 2 ( ) 1 x2 ? ? 2 2 ? 1 ,? b 2 ? 1 ,故椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ………………………4 分 4 b 4 (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 得: ( 1 ? 4k 2 ) ? 8mkx? 4(m2 ? 1) ? 0 2 ? ? y ?1 ?4 △=64m k ﹣16(1+4k ) (m ﹣1)>0 ? 1+4k ﹣m >0 且 2 2 2 2 2 2 ∵直线 OM,ON 的斜率之积等于 ? 1 , 4 ? ,即: 2m 2 ? 4k 2 ? 1 又 O 到直线 MN 的距离为 所以 S ?OMN , (定值) , ……………………………………………………………………………………………………10 分

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