人教A版高中数学必修四课件:1-4-2 正弦函数、余弦函数的性质(二)4


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质( 二) 【知识提炼】 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [-1,1] ________ [-1,1] ________ 正弦函数 ? ? [2k? ? , 2k? ? ] 在 2 2 _______________ ? 3 _ 单调 性 [2k? ? ,2k? ? ?] 2 2 余弦函数 [2kπ-π,2kπ] 在 [2kπ,2kπ+π] ________________ (k∈Z)上递增,在 ________________ 2kπ (k∈Z)上递增, ? 在 2 ? 2k? _______________ (k∈Z)上递减. ? ? ? 2k? 2kπ+π __ 2 (k∈Z)上递减. 【即时小测】 1.判断 (1)存在角α ,使得cosα =1.1.( ) (2)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函 数.( ) (3)在区间[0,2π ]上,函数y=cosx仅当x=0时取得 最大值1.( ) 【解析】(1)错误.因为-1≤cosα≤1,所以不存在 角α使cosα=1.1. (2)错误.正弦函数、余弦函数在定义域内都不具有 单调性. (3)错误.在区间[0,2π]上,函数y=cosx当x=0与 x=2π时取得最大值1. 答案:(1)× (2)× (3)× 2.在下列区间中,使函数y=sinx为增函数的是( ) A.[0,π ] ? ? C. [? , ] 2 2 ? 3? [ , B. ] 2 2 D.[π ,2π ] 2 2 ? ? 【解析】选C.由正弦曲线知y=sinx ? , 在[ ]上是 增函数. 3.函数y=3-2cosx的最大值为________,此时 x=________. 【解析】因为-1≤cosx≤1, 所以当cosx=-1时ymax=3-2×(-1)=5. 此时x=2kπ+π,k∈Z. 答案:5 2kπ+π,k∈Z ? 4? 4.函数 y ? sin x( ? x ? ) 6 3 6 的值域为_______. 3 ? 4? 【解析】画出函数 y ? sin x( ? x ? ) ? 由图象可知,当 x= 2 ? 4? 所以函数 y ? sin x( ? x ? ) 6 3 3 的图象,如图: 2 4 ?,当x= 3 时ymax=1 时, ? , ymin= 3 的值域为 [? , 1]. 2 3 答案: [? , 1] 2 5.函数y=cosx在区间[-π ,a]上为增函数,则a的范 围是________. 【解析】y=cosx在区间[-π,0]上为增函数,故由 题意知[-π,a]?[-π,0],所以-π<a≤0. 答案:(-π,0] 【知识探究】 知识点1 正弦函数、余弦函数的单调性 观察图形,回答下列问题: 问题1:正弦函数、余弦函数的单调递增(减)区间是 唯一的吗? 【总结提升】 对正弦函数、余弦函数单调性的四点说明 (1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函 数,但存在单调区间. (2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π ,所 以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间,加上 2kπ ,(k∈Z)后,仍是单调区间,且单调性相同. (3)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间 (或单调性)是求值域(或最值)的关键一步. (4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单 调性时,要注意使用复合函数的判断方法来判断. 知识点2 正弦函数、余弦函数的最值 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:对于x∈R,sinx和cosx的取值是否也是任意 实数? 问题2:函数y=sinx,x∈D的最大值必为1吗? 【总结提升】 对正弦函数、余弦函数最值的三点说明 (1)明确正、余弦函数的有界性,即|sinx|≤1, |cosx|≤1. (2)函数y=sinx,x∈D,(y=cosx,x∈D)的最值不一 定是1或-1,要依赖函数定义域D来决定. (3)形如y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0)的函数的最值 通常利用“整体代换”,即令ω x+φ=Z,将函数转 【题型探究】 类型一 正弦函数、余弦函数的单调性 4 ? 【典例】(2015·淮安高一检测)已知函数 f(x)= 2 sin( +2x)+1,求函数f(x)的单调递增区间. 【解题探究】本例中函数与以下三个函数有什么关 ? 系? 4 2 ①u= +2x;②t=sinu;③y= t+1 提示:①代入②,②代入③可得本题中函数. ? 【解析】令μ= 为[- ? ? ? +2kπ],k∈Z, ? ? 2k? ? ? 2x ? ? 2k?, 2 4 2 由? 3? ? k? ? x ? ? ? k?,k ? Z. 8 8 ? 得 2sin( ? 2x) ? 1 4 ? 所以函数 f(x)= 8 ? 2 4 ? +2x,函数y=sin μ的单调递增区间 2 +2kπ, 3? 8 的单调递增区间是[- +kπ, 【延伸探究】 1.(变换条件)将本例函数改为 2cos( ? ? 2x) ? 1 4 “f(x)= ”,结果又如何? ? ? 【解析】f(x)= 2cos( ? 2x) ? 1 ? 2cos(2x ? ) ? 1 ? 令t=2x4 4 4 ,函数y=cos t的单调递增区间为[- π+2kπ,2kπ],k∈Z. ? 由-π+2kπ≤2x 4 8 8 ≤2kπ, 得? 3? ? k? ? x ? k? ? ?,k ? Z. ? 所以函数f(x)= 2cos( ? 2x) ? 1 ? [ 8 4 3? 的单调递增区间为 ? 8 +kπ, +kπ],k∈Z. 2.(增加条件)本例函数后增加x∈[0,π ],其他 条件不变,结果又如何? 3? ? 【解析】设A=[0,π]

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