陕西省宝鸡市2015届高三教学质量检测(一)数学理试题(扫描版) (1)


2015 年宝鸡市高三质量检测(一)
一. 数学(理科)卷 选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,每小题只有一个答案符合要求。 )

数学(理科)答案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A卷 B卷

C A

A B

A C

C A

B B

B C

D A

D B

D C

A D

A D

D D

第 II 卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.) 13. 1
14. 3
16. -2<k<1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 15. ×2015 + ×2015 + ×2015=1 +2 +3 +4 +…+2015 3 2 6

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {a } 的首项为 a ,公差为 d ,由题意, 2 a7 ? a1a5 ,………2 分 n 1 即 (a1 ? 6d )2 ? a1 (a1 ? 4d ) ,又 得

a3 ? a1 ? 2d ? 5 ( d ? 0 )………4 分

a1 ? 9, d ? ?2 ,故 a ? ?2n ? 11 .………6 分 n

(Ⅱ)令 Sn ? a1 ? a3 ? a5 ???? a2n?1 ,由(1)知 a2n?1 ? ?4n ? 13 ,………8 分 故 ?a2n?1? 是首项为 9,公差为-4 的等差数列. ………10 分 ∴ Sn ?

n n (a1 ? a2 n ?1 ) ? (?4n ? 22) ? ?2n 2 ? 11n .………12 分 2 2

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵AB⊥平面 ACD,AB∥DE,∴DE⊥平面 ACD, ∵AF ? 平面 ACD,∴DE⊥AF.又∵AC=AD=CD,F 为 CD 中点, ∴AF⊥CD.∵DE? 平面 CDE,CD? 平面 CDE,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE.…………………6 分 (Ⅱ)解法 1:∵AB∥DE,AB? / 平面 CDE,DE? 平面 CDE,∴AB∥平面 CDE, 设平面 ABC∩平面 CDE= l ,则 l ∥AB.即平面 ABC 与平面 CDE 所成的二面角的棱为直线 l . ∵AB?平面 ADC,∴ l ?平面 ADC.∴ l ?AC, l ?DC. ∴?ACD 为平面 ABC 与平面 CDE 所成二面角的平面角.

∵AC=AD=CD,∴?ACD=60?, ∴平面 ABC 和平面 CDE 所成的小于 90?的二面角的大小为 60?. ………12 分 解法 2:如图,以 F 为原点,过 F 平行于 DE 的直线为 x 轴,以直线 FC,FA 为 y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系.∵AC=2,∴A(0,0, 3),设 AB ? x ,B(x,0, 3),C(0,1,0)

AB ? ? x,0,0 ? , AC ? 0,1, ? 3 ,设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ? a, b, c ? ,
则由 AB ? n ? 0 , AC ? n ? 0 ,解得 a ? 0, b ? 3c ,不妨取 c ? 1 ,则 n ? 0, 3,1 , ∵又 AF?平面 CDE,∴平面 CDE 的一个法向量为 FA ? 0, 0, 3 , ∴ cos ? FA, n ??

?

?

?

?

?

?

FA ? n FA ? n

?

1 . 2

∴平面 ABC 与平面 CDE 所成的小于 90?的二面角的大小为 60?.……………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (I)ξ 得可能取值为 0,1,2;由题意 P(ξ =0)=
1 2 C4 C2 1 ? …………3 分 3 C6 5 3 2 1 C4 C4 C2 3 1 , P( ξ =1)= ? ? , 3 3 C6 5 C6 5

P(ξ =2)=

∴ξ 的分布列、期望分别为: ξ p 0 1 2

1 5

3 5

1 5

Eξ =0×

1 3 1 +1× +2× =1. …………6 分 5 5 5

(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C. …………8 分
2 1 男生甲被选中的种数为 C5 ? 10 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为 C4 ? 4.

1 C4 4 2 ∴P(C)= 2 ? ? .…………11 分 C5 10 5

在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 20. (本小题满分 12 分)

2 .……12 分 5

解:(Ⅰ)设圆 C 的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,……………………1 分
2 2

1? E ? F ? 0 ? ? 2 则 ?(3 ? 2 2) ? (3 ? 2 2) D ? F ? 0 ? 2 ?(3 ? 2 2) ? (3 ? 2 2) D ? F ? 0

? D ? ?6, ? ,解得 ? E ? 8, ? F ? 7. ?

?圆C : x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 7 ? 0 .……………………6 分

(Ⅱ)设直线 x ? y ? a ? 0 与圆 C 交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A, B 坐标满足方程组

? x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 7 ? 0 ,可得 2 x2 ? 2(a ? 7) x ? a2 ? 8a ? 7 ? 0 ……① ? x? y?a ?0 ?
? x1 ? x2 ? 7 ? a, ? 则? a 2 ? 8a ? 7 ,……………………8 分 x x ? . ? 1 2 ? 2
a 2 ? 6a ? 7 . ………9 分 由 y ? ? x ? a 得 y1 y2 ? (? x1 ? a)(? x2 ? a) ? x1 x2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2
2

∵ OA ? OB , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? a2 ? a ? 7 ? 0 . ………11 分 以上关于 a 的二次方程没有实数根,故这样的实数 a 不存在在..………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) . ………………2 分 x x ①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . ………………4 分 1 ②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) .………………6 分 a a
(Ⅱ)解法 1:由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max .………………8 分

g ( x)max ? 2
由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 ,故不符合题意.)………………10 分

1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a
故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) ,解得 a ? ?

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(? a) , ………11 分 ?a

1 .………………12 分 e3

解法 2:由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max , g ( x)max ? 2 对任意 x ? (0,??) , f(x) ? 2 恒成立 , 即 a ?

2 ? ln x

x

………………9 分

设 h(x) ?

2 ? ln x

x
3

,则 h (x) ?
?

?

ln x ? 3

x

2

,令 h (x) ? 0 得 x=e .………………10 分
3

?

当0 ? x ? e

时, h (x) ? 0 ,则 h(x)单调递减;

当 x ? e 时, h ?(x) ? 0 ,则 h(x)单调递增,即 h(x)min ? h(e ) ? ?
3

3

1

e3

? a ? ?

1

e3

.………………12 分

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

证明:如图所示, (I)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. …………2 分 ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠CDF=∠ABC.又∠ADB 与∠EDF 是对顶角,…………4 分 ∴∠ADB=∠EDF.又∠ADB=∠ACB,∴∠EDF=∠CDF. …………6 分 (Ⅱ)由(1)知∠ADB=∠ABC.又∵∠BAD=∠FAB,…………8 分 ∴△ADB∽△ABF,∴ = ,∴AB =AF·AD. …………10 分 23. (本小题满分 10 分)
解:(1)圆心坐标为?-

AB AD AF AB

2

? ?

2 2? ,- ?,…………2 分 2 2 ?

设圆心的极坐标为(ρ ,θ ), 则ρ = 2?2 ? 2?2 ? ?- ? +?- ? =1, ? 2? ? 2?

5 所以圆心的极坐标为?1, π?.…………5 分 ? 4 ?

(Ⅱ)直线 l 的极坐标方程为 ρ ?

2 2 ? 2 ? sinθ + cosθ ?= , 2 ?2 ? 2

∴ 直线 l 的普通方程为 x+y-1=0,…………7 分

∴圆上的点到直线 l 的距离 2 2 ? ? ?- +rcosθ - +rsinθ -1? 2 ? 2 ? 2

d=



即 d=

?- 2+ 2rsin?θ +π ?-1? ? ? ? 4? ? ? ? ?
2

.

∴圆上的点到直线 l 的最大距离为

2+ 2r+1 =3, 2

∴ r=

4- 2 .…………10 分 2

24. (本小题满分 10 分) 解:(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|
-3, x≤2, ? ? =?2x-7, 2<x<5, ? x≥5. ?3, 当 2<x<5 时,-3<2x-7<3. 所以-3≤f(x)≤3. …………5 分

(Ⅱ)由(1)可知, 当 x≤2 时,f(x)≥x -8x+15 的解集为空集; 当 2<x<5 时,f(x)≥x -8x+15 的解集为{x|5- 3≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x -8x+15 的解集为{x|5≤x≤6},
综上,不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集为{x|5- 3≤x≤6}.…………10 分
2

2

2

2


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