2014届高三数学一轮复习


[知识能否忆起]

1.空间向量及其有关概念
名称 定义 过空间任意一点O作与向量a、b相等的向量 OA 、 夹角 ,记作 OB ,则∠ AOB 叫作向量 a 、 b 的 向量 的夹 〈a,b〉,规定 0≤〈a,b〉≤π,〈a,b〉=π 2 角 时,向量a、b垂直,记作 a⊥b ,〈a,b〉=0或π 时,向量a、b平行,记作 a∥b

名称

定义

直线的 若l是空间一直线,A、B是直线l上任意两点, 方向向 则称 AB 为直线l的 方向向量 .显然,与 AB 平 量 法向量 单位向 量 行的任意非零向量a也是直线l的方向向量 平面的 如果直线l垂直于平面α,那么把 直线l的方向向

量a 叫作平面α的法向量
a 对于任意一个非零向量a,我们把 |a| 叫做向量
a的单位向量,记作a0.a0与a同向

2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理: 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在 实数λ,使得 a=λb .
(2)空间向量基本定理: 如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是 空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得 a= λ1e1+λ2e2+λ3e3 一个 基底 . .把e1,e2,e3叫作这个空间的

3.线性运算的运算律

(1)加法交换律: a+b=b+a ; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) ;
(3)数乘向量分配律:λ(a+b)=λa+λb ; (4)向量对实数加法的分配律: a(λ+μ)=λa+μa
(5)数乘向量的结合律:λ(μa)=(λμ)a .



4.空间向量的数量积
(1)定义: 空间两个向量a和b的数量积等于 |a||b|cos〈a,b〉 ,
b . 记作 a·

(2)运算律: ①交换律:a· b=b· a;
b+a· c ; ②分配律:a· (b+c)= a· b(λ∈R) . ③结合律:λ(a· b)= (λa)·

5.空间向量的坐标运算
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a∥b?a=λb?a1= λb1 ,a2= λb2,a3= λb3 (λ∈R);

(2)a⊥b?a· b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量); a b +a b +a b (3)a· b= 1 1 2 2 3 3 ;
(4)|a|= a· a=
2 3 a2 + a + a 1 2 3 ;

a· b (5)cos〈a,b〉= = |a||b|

a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 + a + a · b + b + b 1 2 3 1 2 3 .

6.利用直线的方向向量与平面的法向量,可以判定 直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.
(1)设直线l1的方向向量v1,l2的方向向量v2. 则l1∥l2? v1∥v2 .l1⊥l2? v1⊥v2 .
(2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为n,则l ∥α? v⊥n .l⊥α? v∥n .

(3)设平面α的法向量n1,β的法向量为n2,则α∥β? n1∥n2 ,α⊥β? n1⊥n2 .

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知空间四边形OABC中, OA =a, OB
=b, OC =c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中 点,则 MN = 1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2
1 1 1 C. a+ b- c 2 2 2

(
2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2

)

2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2 1 2 解析:显然 MN = ON - OM = ( OB + OC )- OA . 2 3

答案:B

2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ 的值可以是 ( )

1 A.2, 2

1 1 B.- , 3 2

C.-3,2 D.2,2 解析:由a∥b?a=mb即
?λ+1=6m, ? ?0=m?2μ-1?, ?2=2mλ, ? 1 ∴λ、μ可以是2, . 2

答案:A

3.(课本习题改编)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c= (-4,-6,2),则下列结论正确的是 ( )

A.a∥c,b∥c C.a∥c,a⊥b

B.a∥b,a⊥c D.以上都不对

解析:∵c=(-4,-6,2)=2a,∴a∥c.又a· b=0,故a⊥b.
答案:C

4.在四面体O-ABC中, OA =a, OB =b, OC =c,D为 BC的中点,E为AD的中点,则 OE =________(用a, b,c表示).

1 1 解析:如图, OE = OA + OD 2 2 1 1 1 = OA + OB + OC 2 4 4 1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4
1 1 1 答案: a+ b+ c 2 4 4

5.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①( A1 A + A1 D1 + ( A1 B1 - A1 A )=0;③向量 AD1 A1 B1 )2=3 A1 B1 2;② A1C · 与向量 A1 B 的夹角是60° ;④正方体ABCD-A1B1C1D1的 体积为| AB · AA1 · AD |.其中正确命题的序号是 ________. 解析:设正方体的棱长为1,①中( A1 A + A1 D1 + A1 B1 )2

=3 A1 B1 2=3,故①正确;②中 A1 B1 - A1 A = AB1 ,由于 AB1⊥A1C,故②正确;③中A1B与AD1两异面直线所成角 为60° ,但 AD1 与 A1 B 的夹角为120° ,故③不正确;④中 | AB · AA1 · AD |=0.故④也不正确.

答案:①②

1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般
用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度,一般 用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数 量积为零;求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量 的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.

2.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的
分解. 3.几何体中向量问题的解决,选好基底是关键.

空间向量的线性运算

[例1]

如图,在平行六面体ABCD

-A1B1C1D1中G为△A1BD的重心,设 AB =a, AD =b, AA1 =c,试用a,b,c表 示 AC1 , AG .

[自主解答]

AC1 = AB + BC + CC1

= AB + AD + AA1 =a+b+c.
AG = AA1 + A1G

1 = AA1 + ( A1 D + A1 B ) 3 1 1 = AA1 + ( AD - AA1 )+ ( AB - AA1 ) 3 3 1 1 1 = AA1 + AD + AB 3 3 3 1 1 1 = a+ b+ c. 3 3 3

本例条件不变,设 A1C1 与 B1D1 交点为 M,试 用 a,b,c 表示 MG . 解:如图, MG = MA1 + A1G 1 1 =- ( A1 B1 + A1 D1 )+ ( A1 D + A1 B ) 2 3 1 1 1 1 =- a- b+ ( AD - AA1 )+ ( AB - AA1 ) 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 =- a- b+ b- c+ a- c 2 2 3 3 3 3 1 1 2 =- a- b- c 6 6 3

用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,以
图形为指导是解题的关键,要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则及四边形 法则.

1.如图所示,已知空间四边形OABC,其对 角线为OB、AC,M、N分别为OA、BC 的中点,点G在线段MN上,且 MG =2
GN ,

若 OG =x OA +y OB +zOC ,则x,y,z的值分

别为________.

1 2 解析:∵ OG = OM + MG = OA + MN 2 3 1 2 = OA + ( ON - OM ) 2 3 1 2 2 = OA + ON - OM 2 3 3 1 2 1 2 1 = OA + × ( OB + OC )- × OA 2 3 2 3 2 1 1 1 = OA + OB + OC 6 3 3 1 1 1 ∴x,y,z的值分别为 , , . 6 3 3 1 1 1 答案: , , 6 3 3

空间向量的数量积的应用

[例2]

如图所示,直三棱柱ABC-

A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠ BCA=90° ,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、 A1A的中点.

(1)求BN的长; (2)求向量 BA1 与 CB1 的夹角的余弦值; (3)求证: A1 B ⊥ C1 M .

[自主解答]

(1)| BN |2= BN · BN

=( BA + AN )· ( BA + AN ) =| BA |2+| AN |2+2 BA · AN =2+1=3, ∴| BN |= 3.
CB 1=( BA + AA1 )· (2)∵ BA1 · ( CB + BB1 ) CB + BA · CB + AA1 · = BA · BB1 + AA1 · BB1

= 2· 1· cos 135° +0+0+4=3,

又∵| BA1 |2=( BA + AA1 )2 =| BA|2+2 BA · AA1 +| AA1 |2 =2+0+4=6,∴| BA1 |= 6. 又∵|CB1 |2=( CB + BB1 )2=|CB |2+2 CB · BB1 +| BB1 |2

BA1 · CB1 ∴cos〈 BA1 , CB1 〉= | BA1 || CB1 | 3 30 30 = = ,∴向量 BA1 与 CB1 的夹角的余弦值为 . 10 6· 5 10

(3)证明: A1 B · ( C1 A1 + A1 M ) C1 M =( A1 A + AB )· = A1 A · C1 A1 + A1 A · A1 M + AB · C1 A1 + AB · A1 M 2 =0+0+1· 2· cos 135° + 2· · cos 0° =0. 2 ∴ A1 B ⊥ C1 M .

1.求向量m和n的夹角,首先应选择合适的基底,将目 标向量m和n用该组基底表示出来,再求他们的数量积及自 m· n 身长度,最后利用公式cos〈m,n〉= 求得. |m||n|

2.在向量性质中,|a|2=a· a是向量与实数相互转化的工 具,运用此公式,可使线段长度的计算问题转化成两个相等 向量的数量积的计算问题.

2.(2013· 沧州月考)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2), C(-3,0,4),设a= AB ,b= AC ,
(1)若|c|=3,且c∥ BC ,求向量c; (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值; (3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;

解:(1)c=(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2). ∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1. 又|a|= 12+12+02= 2, |b|= ?-1?2+02+22= 5 a· b 10 ∴cos〈a· b〉= =- . |a||b| 10

(3)由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1, ∴(ka+b)· (ka-2b) =k2a2-ka· b-2b2 =2k2+k-10=0. 5 ∴k=2或- . 2

利用空间向量证明平行或垂直

[例3]

(2012· 长沙模拟)已知AB⊥

平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为 等边三角形,边长为2a,AD=DE=2 AB,F为CD的中点. (1)求证:AF∥平面BCE;

(2)求证:平面BCE⊥平面CDE.

[自主解答] 依题意,以AC 所在的直线为x轴,AB所在的直 线为z轴,过点A且垂直于AC的直 线为y轴,建立如图所示的空间直 角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a), D(a, 3a,0),E(a, 3a,2a).
?3 ∵F为CD的中点,∴F? ?2a, ? ? 3 ? a,0?. 2 ?

(1)易知, AF

?3 ? = ? a, ?2

? 3 ? a,0? , BE =(a, 3 a,a), 2 ?

BC =(2a,0,-a), 1 ∵ AF = ( BE + BC ),AF?平面BCE, 2
∴AF∥平面BCE. ?3 ? 3 ? (2)∵ AF =? a, a,0? , CD =(-a, 3a,0), ED = ? 2 ?2 ?

(0,0,-2a),

CD =0, AF · ∴ AF · ED =0,
∴ AF ⊥ CD , AF ⊥ ED ,即AF⊥CD,AF⊥ED. 又CD∩ED=D,∴AF⊥平面CDE. 又AF∥平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.

利用直线的方向向量与平面的法向量,可以判定直线与 直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直. (1)设直线l1的方向向量v1=(a1,b1,c1),l2的方向向量v2 =(a2,b2,c2). 则l1∥l2?v1∥v2?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R). l1⊥l2?v1⊥v2?a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)设直线l的方向向量为v=(a1,b1,c1),平面α的法向 量为n=(a2,b2,c2),则l∥α?v⊥n?a1a2+b1b2+c1c2=0. l⊥α?v∥n?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2). (3)设平面α的法向量n1=(a1,b1,c1),β的法向量为n2= (a2,b2,c2),则α∥β?n1∥n2,α⊥β?n1⊥n2.

3.(2013· 汕头模拟)如图所示的长 方体ABCD-A1B1C1D1中,底 面ABCD是边长为2的正方形, O为AC与BD的交点,BB1= 2, M是线段B1D1的中点.

(1)求证:BM∥平面D1AC;
(2)求证:D1O⊥平面AB1C.

证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则点 O(1,1,0)、D1(0,0, 2), ∴ OD1 =(-1,-1, 2), 又点B(2,2,0),M(1,1, 2), ∴ BM =(-1,-1, 2), ∴ OD1 = BM , 又∵OD1与BM不共线, ∴OD1∥BM. 又OD1?平面D1AC,BM?平面D1AC, ∴BM∥平面D1AC.

(2)连接OB1.∵ OD1 · (1,1, 2 )= OB1 =(-1,-1, 2 )·
AC =(-1,-1, 2)· 0, OD1 · (-2,2,0)=0,

∴ OD1 ⊥ OB1 , OD1 ⊥ AC , 即OD1⊥OB1,OD1⊥AC, 又OB1∩AC=O,∴D1O⊥平面AB1C.

[典例]

(2012· 济宁模拟)在空间四边形ABCD中, ( )

CD + AC · BC = AB · DB + AD ·

A.-1 C.1

B.0 D.不确定

[常规解法] 如图,令 AB =a, AC = b, AD =c,
CD + AC · BC 则 AB · DB + AD ·

=a· (c-b)+b· (a-c)+c· (b-a) =a· c-a· b+b· a-b· c+c· b-c· a=0.

[答案] B

与空间几何体有关的向量运算问题,当运算的结果

与几何体的形状无关时,可构造特殊的几何体(如正四
面体、正方体等),利用特殊几何体的边角关系,使运 算能够快速准确的解答,提高做题速度和效率.

[巧思妙解] 如图,在空间四边形 ABCD中,连接对角线AC,BD,得三 棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等, 即为正四面体,∵正四面体的对棱互相 垂直,
CD =0, AC DB =0, ∴ AB ·

BC =0. AD ·
CD + AC · BC =0. ∴ AB · DB + AD ·

针对训练

平面α的法向量为m,向量a、b是平面α之外的两 条不同的直线的方向向量,给出三个论断: ①a⊥m;②a⊥b;③m∥b.以其中的两个论断作 为条件,余下一个论断作为结论,写出所有正确的命题

________.

解析:构造正方体如图1,

①②?/ ③,如图2可知②③?①,①③?②都正确.

答案:①③?②,②③?①

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2011· 上海高考)设A1,A2,A3,A4,A5是空 间中给定的5个不同的点,则使 MA1 + MA2 +

MA3 + MA4 + MA5 =0成立的点M的个数为

A.0 C.5

B.1 D.10

(

)

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(四十七)”

2.已知在一个60°的二面角的棱上, 如图有两个点A,B,AC,BD分别 是在这个二面角的两个半平面内垂

直于AB的线段,且AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,
则CD的长为________.

解析:设 BD =a, AB =b, AC =c, 由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6, 〈a,b〉=90° ,〈b,c〉=90° ,〈a,c〉=60° , | CD |2=| CA + AB + BD |2=|-c+b+a|2 =a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c=68, 则| CD |=2 17.

答案:2 17 cm

3.已知如右图所示,平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠C1CD=∠C1CB=∠BCD=60°. (1)求证:C1C⊥BD; CD (2)当的 值是多少时,能使A1C⊥ CC1 平面C1BD?请给出证明.
解:(1)证明:取 CD =a, CB =b, CC1 =c, 由已知|a|=|b|,且〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° , (a-b)=c· a- c · b BD = CD - CB =a-b, CC1 · BD =c· 1 1 = |c||a|- |c||b|=0,∴ C1C ⊥ BD ,即C1C⊥BD. 2 2

(2)若A1C⊥平面C1BD, 则A1C⊥C1D, CA1 =a+b+c, C1 D =a-c. ∴ CA1 · (a-c)=0. C1 D =0,即(a+b+c)· 整理得:3a2-|a||c|-2c2=0,

(3|a|+2|c|)(|a|-|c|)=0, ∴|a|-|c|=0,即|a|=|c|. CD |a| 即当 = =1时,A1C⊥平面C1BD. CC1 |c|

4.如图所示,平面PAD⊥平面ABCD, ABCD为正方形,△PAD是直角三角 形,且PA=AD=2,E、F、G分别是

线段PA、PD、CD的中点.求证:PB
∥平面EFG. 证明:∵平面PAD⊥平面ABCD, 且ABCD为正方形, ∴AB、AP、AD两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空

间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、

D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0). ∴ PB =(2,0,-2), FE =(0,-1,0),
FG =(1,1,-1),

设 PB =s FE +t FG , 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), ?t=2, ? ∴?t-s=0, ?-t=-2, ? 解得s=t=2.

∴ PB =2 FE +2 FG , 又∵ FE 与 FG 不共线,∴ PB 、 FE 与 FG 共面. ∵PB?平面EFG,∴PB∥平面EFG.


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