湖北省枣阳一中2014-2015学年高二数学下学期第三次月检考试试题 文


枣阳一中 2014-2015 学年度高二下学期第三次月检测文科数学试 题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 的离心率是( )

)

A.

B.

C.



D. 的中心在原点,焦点在 ;则 B. C. 轴上, 与抛物线 ) 的准线交于

3.等轴双曲线 两点, A. 4.已知椭圆 率是( A. ) B.

的实轴长为( D.

的一个焦点与抛物线

的焦点重合,则该椭圆的离心

C.

D.

5.点 P 是以

为焦点的椭圆上的一点,过焦点



的外角平分线的垂线,

垂足为 M 点,则点 M 的轨迹是( ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 6.椭圆 的焦距为 ( )

D.圆

A.10

B.5

C.

D.

7.过椭圆 右焦点,若 A. B.

(

)的左焦点



轴的垂线交椭圆于点 )





,则椭圆的离心率为( C. D.

1

8.已知椭圆:

,左右焦点分别为

,过

的直线 交

椭圆于 A,B 两点,若 A.1 B. C.

的最大值为 5,则 D.

的值是 (

)

9.设

分别是椭圆:

的左、右焦点,过

倾斜角为

的直线 与该椭圆相交于 P,

两点,且

.则该椭圆的离心率为(



A.

B.

C.

D.

10.椭圆

的右焦点为

,椭圆

与 轴正半轴交于

点,

与 A.

轴正半轴交于

,且 B.

,则椭圆

的方程为(

)

C.

D.

二、填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知双曲线 的左,右焦点分别为 ,点 P 在双

曲线的右支上,且 12 .已知直线 交抛物线

,则此双曲线的离心率 e 的取值范围是________. 于 两点.若该抛物线上存在点 ,使得

为直角,则 的取值范围为________.

13. 抛物线 两点,若

的焦点为 F, 其准线与双曲线 为等边三角形,则
2

相交于 . .

14. f ( x) ? x( x ? c) 在 x ? 1 处有极小值,则实数 c 为

15.双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦点坐标是_____________. 4

2

三、解答题(75 分) 16. (本小题 满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 x2 ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A, B 两点, M 是线段 AB 的中点, 过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 17. (12 分)已知命题 p :方程

??? ? ??? ?

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆; 9-2k k

x2 y 2 命题 q :方程 ? ? 1 表示双曲线,且离心率 e ? ( 2, 3) , 2 k
若命题 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 k 的取值范围。 1 8. (本小题满分 12 分) 已知 A、B、P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上不同的三点,且 A、B 连线经过坐标原点, a 2 b2

若直线 PA 、PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ?

2 ,求双曲线的离心率; 3
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,直线 a 2 b2

19.(本题满分 14 分)如图,已知 F 为椭圆

l 过点 F 且与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐进线 l1 , l2 分别交于点 M , N ,与椭圆交于点 a2 b2

A, B .

y
N

O

M B

A F

x

x

(I)若 ?MON ?

?
3

,双曲线的焦距为 4。求椭圆方程。

(II)若 OM ? MN ? 0 ( O 为坐标原点) , FA ?

???? ? ???? ?

??? ?

1 ???? AN ,求椭圆的离心率 e 3

3

20. (本小题 12 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 E :

x2 y 2 ? ?1 内 4 3

uu u r uuu r 一点 P (1,1) 的一条直线与椭圆交于点 A, C ,且 AP ? ? PC ,其中 ? 为常数.

(1)求椭圆 E 的离心率; (2)当点 C 恰为椭圆的右顶点时,试确定对应 ? 的值; (3)当 ? ? 1 时,求直线 AC 的斜率. 21. (本小题满分 14 分)已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2 线 PF1 与圆 C 相切.

有一个公共点 A(3,1) ,F1.F2 分别 是椭圆的左.右焦点,直

y

P

A F2

F1

O

C Q

x

(1)求 m 的值与椭圆 E 的方程;

??? ? ???? (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的范围.

4

参考答案 1.C 【解析】设过点(0,1)斜率为 k 的直线方程为 y=kx+1. 由 得 k x +(2k-4)x+1=0.(*)
2 2

当 k=0 时,(*)式只有一个根; 2 2 当 k≠0 时,Δ =(2k-4) -4k =-16k+16, 由Δ =0,即-16k+16=0 得 k=1. 所以 k=0,或 k=1 时,直线与抛物线只有一个公共点, 又直线 x=0 和抛物线只有一个公共点.选 C. 2.C 【解析】因为 线为椭圆 是 2 和 8 的等比中项,所以 ,离心 率为 ,当 ,所以 ,当 时,圆锥曲 ,离心

时,圆锥曲线为双曲线

率为 3.C

,所以综上选 C.

【解析】 设等轴双曲线方程为 则 方程为 4. D 【解析】抛物线的焦点坐标为 即 5.D 【解析】如图,由题意,延长 ,故有 交 。所以椭圆的离心率为 , 把坐标 ,即

, 抛物线的准线为 代入双曲线方程得
2

, 由|AB|=



, 所以双曲线

,所以 a =4,a=2,所以实轴长 2a=4,选 C.

,所以椭圆中的 ,选 D

。所以



延长线于 Q ,得 ,连接 OM,知 OM 是三角形

,由椭圆的定义知 的中位线.

∴OM=a,即点 M 到原点的距离是定值,由此知点 M 的轨迹是圆,故选 D

6.D 【解析】由题意知 ,选 D. 7.B 【解析】由题意知点 P 的坐标为( , ),或( , ) ,因为 ,那么 ,所以 ,所以 ,即焦距为

,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为

,选 B.

8.D 【解析】由题意知 为 5,所以 ,所以 的最小值为 3,当且仅当 ,代入椭圆方程得 因为 的最大值

轴时,取得最小值,此时 ,又 ,所以

,即 9.B 【解析】直线 设

,所以

,解得

,所以

,选 D.

斜率为 1,设直线 的方程为 ,则 两点坐标满足方程组

,其中

.

化简得

,则



因为,所以

.



,故



所以椭圆的离心率 10.C 【解析】 , ,

,选 B.



,选 C.

11. (1,

] ,设 ,即 ,即 .又 e>1, ] . , , .

【解析】根据双曲线定义 则 |,故 3r=2a,即

根据双曲线的几何性质, 即 ,即 e≤

故双曲线的离 心率 e 的取值范围是(1, 故填(1, 12. 【解析】根据题意不妨设 ∴ ]

,则





为直角,点 C 与点 A 不同,∴

∴ ∵ ∴ 13.6 【解析】由题意知等边 ∴等边 的边长为

的高即为 p,

∴A 或 B 点坐标为( 14.1 【解析】

,-

)代入双曲线方程得(

) +(-

2

) =3

2

p=6

试题分析:因为 f ( x) ? x( x2 ? 2cx ? c2 ) ? x3 ? 2cx2 ? c2 x ,所以 f ?( x) ? 3x ? 4cx ? c ,
2 2





f(

? x)

? x2 (

在 )x x c? 1

















f ?(1) ? 3 ? 4c ? c2 ? 0 ? (c ? 3)(c ?1) ? 0 ? c ? 1 或 c ? 3
若 c ? 1 , f ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? ( x ?1)(3x ?1) ,当

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, 3

f ?( x) ? 0 , 所 以 x ? 1 是 函 数 f ( x) ? x( x ? c)2

的极小值点,符合要求;若 c ? 3 ,

f ?( x) ? 3x2 ?12x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3)

,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 3 时,

f ?( x ) ? 0,所以 x ? 1 是函数 f ( x) ? x( x ? c)2 的极大值点,不符合要求;综上可知 c ? 1 .
考点:函数的极值与导数. 15. (? 5,0) , ( 5,0) 【解析】 试题分析:由双曲线的标准方程可知,该双曲线的焦点在 x 轴上,且 a ? 2, b ? 1 ,所以

c ? a 2 ? b2 ? 5

,所以该双曲线的焦点坐标为 (? 5,0) .

考点:双曲线的标准方程及其几何性质. 16. (Ⅰ)证明见解析. (Ⅱ)存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 . 【解析】20.解法一: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 2x12 ) , B( x2, 2 x22 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2x
2

??? ? ??? ?

得 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 , 由韦达定理得 x1 ? x2 ?

k , x1 x2 ? ?1 , 2

? x N ? xM ?

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,? N 点的坐标为 ? , ? . 2 4 ?4 8 ?
k2 k? ? ? m? x ? ? , 8 4? ?

设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y ?

将 y ? 2 x2 代入上式得 2 x ? mx ?
2

mk k 2 ? ?0, 4 8

? 直线 l 与抛物线 C 相切,

? mk k 2 ? ?? ? m2 ? 8 ? ? ? ? m2 ? 2mk ? k 2 ? (m ? k )2 ? 0 ,? m ? k . 4 8? ?
即 l ∥ AB . (Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 ,则 NA ? NB ,又? M 是 AB 的中点,

??? ? ??? ?

1 | AB | . 2 1 1 1 由(Ⅰ)知 yM ? ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? 2 ? kx2 ? 2) ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4] 2 2 2 ?| MN |?

? k2 1 ? k2 ? ? ? 4? ? ? 2. 2? 2 ? 4
? MN ? x 轴,?| MN |?| yM ? yN |?
2 2

k2 k 2 k 2 ? 16 ?2? ? . 4 8 8
2

| x1 ? x2 |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 又 | AB |? 1 ? k ?
1 2 ?k? ? 1 ? k ? ? ? ? 4 ? (?1) ? k ? 1? k 2 ? 16 . 2 ?2?
2 2

?

k 2 ? 16 1 2 ? k ? 1? k 2 ? 16 ,解得 k ? ?2 . 8 4

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 .
2 解法二: (Ⅰ)如图,设 A( x1, 2x12 ),B( x2, 2x2 ) ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2x2 得

??? ? ??? ?

k 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 .由韦达定理得 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? ?1 . 2

? k k2 ? x1 ? x2 k N ? ,? 点的坐标为 ? , ? .? y ? 2x2 ,? y? ? 4 x , ? x N ? xM ? 2 4 ?4 8 ?
? 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 ?
k ? k ,? l ∥ AB . 4

(Ⅱ)假设存在实数 k ,使 NA?NB ? 0 . 由(Ⅰ)知 NA ? ? x1 ? , 2 x1 ?
2

??? ? ??? ?

??? ? ? ?

k 4

? ? k 2 ? ??? k k2 ? 2 , NB ? x ? , 2 x ? ? ? 2 ? ,则 2 8? 4 8? ?

??? ? ??? ? ? k ?? k ? ? 2 k 2 ?? 2 k 2 ? NA?NB ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? ? 2 x1 ? ?? 2 x2 ? ? 4 ?? 4? ? 8 ?? 8? ? k ?? k? ? k 2 ?? 2 k 2 ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ? x12 ? ?? x2 ? ? 4 ?? 4? ? 16 ?? 16 ? ?
k ?? k? ? k ?? k ?? ? ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ???1 ? 4 ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4 ?? 4? ? 4 ?? 4 ?? ? ?

? k k2 ? ? k2 ? ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ???1 ? 4 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? ? 4 16 ? ? 4? ? ? k k k2 ? ? k k2 ? ? ? ?1 ? ? ? ???1 ? 4 ? (?1) ? k ? ? ? 4 2 16 ? ? 2 4? ?

? k2 ?? 3 ? ? ? ?1 ? ?? ?3 ? k 2 ? 16 ? ? 4 ? ?
? 0,
? ?1 ?

3 k2 ? 0 ,??3 ? k 2 ? 0 ,解得 k ? ?2 . 4 16

即存在 k ? ?2 ,使 NA?NB ? 0 . 17. ? 0, 2? ? ?3, 4? 【解析】 试题分析:1.判断含有逻辑联结词的命题的真假,关键是对逻辑联结词“且” “或” “非”含

??? ? ??? ?

义的理解.2.解决该类问题的基本步骤:(1)弄清构成复合命题中简单命题 p 和 q 的真假; (2)明确其构成形式;(3)根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假.3.对于已知命 题的真假求字母范围的问题,需将条件转化为相关的不等式(组)来求解. 试题解析:若 p 为真,则 9 ? 2k ? k ? 0 ,解得 0 ? k ? 3 若 q 为真,则 e ? 1 ?

b2 k ? 1 ? ? ( 2, 3) ,解得 2 ? k ? 4 2 a 2

由题意可知,p,q 一真一假。 当 p 真 q 假时 ?

?0 ? k ? 3 ?k ? 0或k ? 3 ,则 0 ? k ? 2 ;当 q 真 p 假时 ? ,则 3 ? k ? 4 , k ? 2 或 k ? 4 2 ? k ? 4 ? ?

综上所述,k 的取值范围是 ? 0, 2? ? ?3, 4? 考点:含有逻辑联结词的命题的真假问题 18. e ?

c b2 2 15 ? 1? 2 ? 1? ? a a 3 3
设A?m, n?, P?x0 , y0 ?则B?? m,?n?
2

【解析】本试题主要是考查了双曲线的性质的运用。 根 据 已 知 条 件 得 到 然 后 表 示

k PA ? k PB ?

y0 ? n y0 ? n y0 ? n2 b2 2 ? ? ? ? x0 ? m x0 ? m x0 ? m2 a 2 3

,进行求解。

解: 设A?m, n?, P?x0 , y0 ?则B?? m,?n?

? A、B、P在双曲线上 ? x y m2 n2 ? 2 ? 1.........( 1) 02 ? 02 ? 1.......... ( 2) 2 a b a b 2 2 2 x ? m 2 y0 ? n 2 y0 ? n 2 b 2 (2) ? (1)得:0 2 ? ? ? 2 2 a b2 x0 ? m 2 a
2 2

k PA ? k PB ?

y0 ? n y0 ? n y0 ? n2 b2 2 ? ? ? ? x0 ? m x0 ? m x0 ? m2 a 2 3

2

?e?

c b2 2 15 ? 1? 2 ? 1? ? a a 3 3

19.19、 (本小题满分 14 分) 解: (I)? ?MON ?

?
3

, M , N 是直线 l 与双曲线两条渐近线的交点, 即 a ? 3b ??????2 分

?

b ? 3 ? tan ? a 6 3



? 双曲线的焦距为 4,? a 2 ? b 2 ? 4 ????????4 分

解得, a ? 3, b ? 1
2 2

? 椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ????5 分 3

(II)解:设椭圆的焦距为 2c ,则点 F 的坐标为 (c,0)

?OM ? ON ? 0 ,
? 直线 l1 的斜率为 ?

? l ? l1

b a ,? 直线 l 的斜率为 , b a a ? 直线 l 的方程为 y ? ( x ? c ) ????????????????7 分 b

a ? ? y ? b ( x ? c) 由? b ? y? x a ?
设 A( x, y), 由 FA ?

? a2 x ? ? c 解得 ? ab ?y ? c ?

即点 N (

a 2 ab , ) c c

1 1 a 2 ab AN , 得 ?x ? c, y ? ? ( x, ? y ) 3 3 c c

? 1 a2 x ? c ? ( ? x) ? 3 c 即? ? y ? 1 ( ab ? y) 3 c ?
? 点 A 在椭圆上,?

? 3c 2 ? a 2 x ? ? 4c ? ? y ? ab 4c ?

A(

3c 2 ? a 2 ab , ) 4c 4c

??10 分。

(3c 2 ? a 2 ) 2 a2 ? ?1 16a 2 c 2 16c 2

????????????12 分

? (3c 2 ? a 2 ) 2 ? a 4 ? 16a 2 c 2
9e 4 ? 10e 2 ? 2 ? 0

,? (3e 2 ? 1) 2 ? 1 ? 16e 2

e2 ?

5? 7 9

?e ?

5? 7 3

椭圆的离心率是 e ? 分 【解析】略 20. (1) 【解析】

5? 7 。 3

-----------------------------------14

1 5 3 ; (2) ; (3) ? . 2 7 4

2 2 试题分析: (1) a ? 4, b ? 3 ,所以 c 2 ? 1 ,即 a ? 2, c ? 1 ,离心率 e ?
? ?

c ; (2)得 a

出直线 PC 方程, 与椭圆方程联立,得到 A 点坐标, 代入 AP ? ? PC

, 得 到 ? 的值; (3)

当 ? ? 1 时,点 P 为 AC 的中点,利用点差法求得斜率. 试题解析: 解: (1)a 2 ? 4, b 2 ? 3 , 所以 c 2 ? 1 , 即 a ? 2, c ? 1 , 离心率 e ? 分 (2)因为 C (2, 0) ,所以直线 PC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,

c 1 . 4 ? a 2

? y ? ?x ? 2 2 12 ? 由 ? x2 y 2 ,解得 A( , ) , 6分 7 7 ? ? 1 ? 3 ?4 ??? ? ??? ? 5 代入 AP ? ? PC 中,得 ? ? . 8分 7 ??? ? ??? ? (3)因为 ? ? 1 ,所以 AP ? PC ,设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,
则 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 , 10 分



x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3















( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 4 3




x1 ? x2 y1 ? y2 ? ?0 4 3

,从而

y1 ? y2 3 3 ,即 k AC ? ? . ?? 4 x1 ? x2 4

12 分

考点:1.椭圆方程和性质;2.直线方程与椭圆方程联立;3.点差法. 21.解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 . ∵m<3, ∴m=1. 圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 ∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴
11 1 , 或k ? 2 2
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5

. .

解得 k ? 当 k=

.当 k=

36 11 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意舍去. 11 2

1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, 2

∴c=4.F1(-4,0) ,F2(4,0) .2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2

, a ? 3 2 ,a =18,
2

x2 y 2 ? ?1 . 18 2 ??? ? ???? (Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y ) , AQ ? ( x ? 3, y ? 1)

b2=2.椭圆 E 的方程为:



??? ? ???? AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6
而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y |

.∵

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 , 18 2

,∴-18≤6xy≤18. 的取值范围是[0,36].

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6xy
x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].

??? ? ???? ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6

的取值范围是[-12,0].

【解析】略


相关文档

湖北省枣阳一中2014-2015学年高二数学下学期第三次月检考试试题 理
湖北省枣阳一中2014-2015学年高二下学期第三次月检考试文数试题
湖北省枣阳一中2014-2015学年高二下学期第三次月检考试理数试题
湖北省枣阳一中2014-2015学年高一数学下学期第三次月检考试试题
湖北省枣阳一中2014-2015学年高一数学下学期第三次月检考试试题资料
湖北省枣阳一中2014-2015学年高二历史下学期第三次月检考试试题
湖北省枣阳一中2014-2015学年高二英语下学期第三次月检考试试题
湖北省枣阳一中2014-2015学年高二政治下学期第三次月检考试试题
湖北省枣阳一中2014-2015学年高一下学期第三次月检考试数学试题
湖北省枣阳一中2014-2015学年高一政治下学期第三次月检考试试题
电脑版