2017学年数学必修三:3.1.3 概率的基本性质2_图文


3.1.3 概率的基本性质

1.了解事件间的各种关系,会判断事件间的关系.
2.理解互斥事件、对立事件的概念,能正确区分互斥事件、对

立事件.
3.了解两个互斥事件的概率加法公式,并会应用它求某些事件 的概率.

1.事件的关系与运算
定义
事 件 的 关 系 一般地,对于事件A与 事件B,如果事件A发 包含 发生 生,则事件B一定_____, 关系 称事件B包含事件A(或 事件A包含于事件B) B?A 或 _____ A?B _____

表示法

图示

定义 互斥 事 件 的 关 系 对立 事件 不可能 若A∩B为_______ 事件 则称事件A _____, 与事件B互斥 不可能 若A∩B为_______ 事件 必 _____,A∪B为 ___

表示法 A∩B=? 若_______, 则A与B互斥

图示

A∩B=? 若_______,

事件

然事件 那么称事 且A∪B=U,则 _______, 件A与事件B互为对 A与B对立 立事件

定义 若某事件发生当且仅 事件A发生或事件B 当_________________ 发生 则称此事件为 _____, 事件A与事件B的并事 件(或和事件) 若某事件发生当且仅 事件A发生且事件B 当_________________ 发生 则称此事件为 _____, 事件A与事件B的交事 件(或积事件)

表示法

图示

并事 事 件

A∪B 或 _____ A+B ____


的 运 算 交事 件

A∩B 或 _____ AB ___

2.概率的几个基本性质 [0,1] (1)概率的取值范围为______. 必然事件 的概率为1,___________ 不可能事件 的概率为0. (2)_________ (3)概率的加法公式:若事件A与事件B为互斥事件,则P(A∪B) P(A)+P(B) =__________. 1-P(B) A∪B (4)若A与B互为对立事件,则P(A)=_______,P(_____)=1,

A∩B P(_____)=0.

1.抽查10件产品,设事件A:至少有两件次品,则与A互斥的事件 为( ) B.恰有一件次品 D.至少两件正品

A.恰有两件次品 C.恰有两件正品

【解析】选B.事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生.

2.掷骰子的游戏中,向上的数字是1或2的概率是

.

【解析】事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2” 为互斥事件,且二者发生的概率都是 , 所以“向上的数字是1或2”的概率是 1 ? 1 ? 1 . 答案:
1 3 6 6 3 1 6

3.有一人在打靶中连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对 立事件是 .

【解析】连续射击2次,结果有三种情况:2次都不中,中1次,中 2次.至少有1次中靶包括“中1次,中2次”两种情况. 答案:2次都不中

4.已知A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,P(B)= 【解析】因为A,B为互斥事件,由互斥事件概率的加法公式得 P(B)=0.7-0.4=0.3. 答案:0.3

.

5.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为 2 ,且P(A)=2P(B),
5

则P( A )=_______.

【解析】因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为
所以P(A)+P(B)= 1 ? 2 ? 3 .
5 5

2 , 5

又因为P(A)=2P(B),
1 2 所以P(A)= 2 , 5 3 5

所以P(A)+ P(A)=

3 , 5

所以P(A)=1-P(A)= 1 ? 2 ? 3 .
5 5

答案:

一、事件的关系与运算 在抛掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件:C1={出现1 点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5 点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数 大于4},D3={出现的点数小于6},E={出现的点数小于7},F={出 现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇

数}.结合上述事件探究下面的问题.

探究1:上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是 不可能事件?

提示:E是必然事件;F是不可能事件;其余是随机事件.
探究2:如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?反之,成立吗?

在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?
提示:如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,D3,E,H,反之,

如果事件D1,D3,E,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.所以
从集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的真子集,集合C1与集合

D1相等.

探究3:请指出如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪
个事件发生?

提示:如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
即G是C2与C4及C6的和事件.

探究4:如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?
提示:如果事件D2与事件H同时发生,就意味着事件C5发生,即C5 是D2与H的积事件(交事件).

探究5:事件G与事件H能同时发生吗?它们两个事件有什么关系? 提示:事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.即G与H是 对立事件.

探究6:观察互斥事件与对立事件的集合表示,思考下面的问题:

互斥事件一定是对立事件吗?对立事件一定是互斥事件吗? 提示:从互斥事件与对立事件的图示表示可以看出 ,对立事件 一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.

【探究总结】 1.事件关系的判断方法 (1)要考虑试验的前提条件,无论是包含、相等,还是互斥、对 立,其发生的条件都是一样的. (2)考虑事件间的结果可考虑利用Venn图分析. (3)对于较难判断关系的,也可列出全部结果,再进行分析.

2.互斥事件与对立事件的两个关注点 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件,一般适用于两个或多个 事件之间. (2)对立事件是两个事件之间必有一个发生,它仅适用于两个事 件之间.

二、互斥事件与对立事件的概率 探究1:结合互斥事件的概率加法公式,探究下面的问题: P(A∪B)=P(A)+P(B) (1)该公式的适用范围是什么? 提示:该公式只适用于事件A与事件B互斥的情形,若事件A与事 件B不互斥,则不能利用该公式计算事件发生的概率.

(2)如果事件A与事件B互为对立事件,则P(A∪B)的值是多
少?P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系?由此可得到什么结论?

提示:事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,则
P(A∪B)=1.又P(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(A)=1-P(B).

探究2:若P(A∩B)=0,则事件A与事件B是什么关系?
提示:若事件A与事件B互斥,则A∩B为不可能事件,此时有

P(A∩B)=0.特别地,当事件A与事件B至少有一个是不可能事件
时,A∩B=?,此时也有P(A∩B)=0.

【探究总结】概率加法公式的应用 (1)运用互斥事件的概率公式解题时,首先要分清事件间是否互 斥,其次要学会把一个事件分为几个互斥事件和的情况. (2)利用对立事件的概率公式解题时,一定要分清事件、对立事 件到底是什么事件,不能重复和遗漏.该公式常用于“至 多”“至少”型问题的求解.

【拓展延伸】多个互斥事件概率计算公式 一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么事件“A1∪A2∪… ∪An”发生的概率,等于这n个事件分别发生的概率和,即 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

类型一

事件概念和关系的理解与判断

1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人, 每人分得一张,那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红 牌”是( A.对立事件 C.必然事件 ) B.互斥但不对立事件 D.不可能事件

2.在某大学数学系图书室中任选一本书.设A={数学书};B={中 文版的书};C={2013年后出版的书}.问: (1)A∩B∩ C 表示什么事件? (2)在什么条件下有A∩B∩C=A? (3) C ?B表示什么意思? (4)若 A =B,是否意味着图书室中数学书都不是中文版的? 【解题指南】根据互斥、对立事件的概念判断.

【自主解答】1.选B.因为事件“乙分得红牌”与“甲分得红

牌”不可能同时发生,又不是必有一个发生,故两事件是互斥但
不对立事件.

2.(1)A∩B∩ C ={2013年或2013年前出版的中文版的数学书}.
A

(2)在“图书室中所有的数学书都是2013年后出版的且为中文

版”的条件下才有A∩B∩C=A.
(3) C ?B表示2013年或2013年前出版的书全是中文版的.

(4)是. A =B意味着图书室中非数学书都是中文版的,而且所有
的中文版的书都不是数学书.同时A =B又可等价成 B =A,因而也

可解释为:图书室中所有数学书都不是中文版的,而且所有外
文版的书都是数学书.

【规律总结】 事件关系的两种判断方法 (1)用定义进行判断:互斥事件、对立事件的定义是判断两事 件是不是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的方法 . 由对立事件定义可知:对立事件首先是互斥事件 ,并且其中一 个一定要发生.但两个事件是互斥事件时不一定是对立事件 ,解 题时务必要弄清两种事件间的关系.

(2)用结果进行判断:只要找出各个事件包含的所有结果,它们 之间能否同时发生便很容易知道,这样便可判定两事件是否互 斥.在互斥的前提下,看两事件中是否必有一个发生,就可判断 是否为对立事件.

【拓展延伸】事件与集合间的对应关系
符号 Ω 概率论 必然事件 集合论 全集

?
ω

不可能事件
试验的可能结果

空集
Ω中的元素

A
A

事件
事件A的对立事件

Ω的子集
集合A的补集

符号 A?B A=B A∪B或

概率论 事件B包含事件A 事件A与事件B相等 事件A与事件B的并 事件A与事件B的交

集合论 集合B包含集合A 集合A与集合B相等 集合A与集合B的并 集合A与集合B的交

A+B
A∩B

A-B
A∩B=?

事件A与事件B的差
事件A与事件B互斥

集合A与集合B的差
集合A与集合B的交集为空集

【变式训练】 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而 不对立的两个事件是( )

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

【解析】选C.选项A,B中的两事件,都不是互斥事件,都可能同 时发生;D中的两个事件是对立事件;C中的两个事件不能同时发 生,但可同时不发生,所以C中的两个事件互斥而不对立.

类型二

求互斥、对立事件的概率

1.抛掷一枚骰子,观察掷出骰子的点数,设事件A为“出现奇
数点”,事件B为“出现2点”,已知P(A)= 1 ,P(B)= 1 ,出
2 6

现奇数点或2点的概率之和为(
A. 1 2 B. 5 6 C. 1 6 D. 2 3

)

2.一盒中装有各色球12只,其中5只红球、4只黑球、2只白球、 1只绿球.从中随机取出1球,求取出1球是红球或黑球的概率.

【解题指南】1.先判断两事件互斥,再根据互斥事件的概率加 法公式计算. 2.首先把复杂的事件正确地分解为一些互斥事件的和,再根据 概率的加法公式求解.

【自主解答】1.选D.记“出现奇数点或2点”为事件C,因为事

件A与事件B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)= 1 ? 1 ? 2 .故选D.
2 6 3

2.方法一:从12只球中任取1球是红球有5种取法,是黑球有4种 取法,是红球或黑球共有5+4=9种不同取法,任取1球有12种取法. 所以任取1球是红球或黑球的概率为P1= 9 ? 3 .
12 4

方法二:(利用互斥事件求概率)记事件A1={任取1球为红球};
A2={任取1球为黑球};A3={任取1球为白球};A4={任取1球为绿 球},则 P(A1)= 5 ,P(A2)= 4 ,P(A3)= 2 ,P(A4)= 1 .
12 12 12 12

根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式 得,取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= 5 ? 4 ? 3 .
12 12 4

方法三:(利用对立事件求概率)由方法二知,取出1球为红球或 黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件 为A3∪A4,所以任取1球是红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)= 1 ? 2 ? 1 ? 9 ? 3 .
12 12 12 4

【延伸探究】题2改为求“取出1球是红球、黑球或白球”的 概率. 【解析】方法一:从12只球中任取1球是红球有5种取法,是黑 球有4种取法,是白球有2种取法.从而取出的球是红球、黑球 或白球的概率为 5 ? 4 ? 2 ? 11 .
12 12

方法二:(利用互斥事件求概率)记事件A1={任取1球为红 球};A2={任取1球为黑球};A3={任取1球为白球};A4={任取1球为 绿球},则
4 1 P(A1)= 5 ,P(A2)= ,P(A3)= 2 ,P(A4)= . 12 12 12 12

根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式得, 取出1球为红球、黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 5 ? 4 ? 2 ? 11 .
12 12 12 12

方法三:(利用对立事件求概率)由方法二知,A1∪A2∪A3的对立 事件为A4,由对立事件概率公式得,取出1球为红球、黑球或白 球的概率为P(A1∪A2∪A3)=1- P(A4)= 1 ? 1 ? 11 .
12 12

【规律总结】 1.求互斥事件或对立事件的概率的方法及注意点 (1)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件化为 一些彼此互斥的事件的和;二是先求该事件的对立事件的概率. (2)注意点:采用方法一,一定要注意将事件拆分为若干互斥事 件,不能重复和遗漏;采用方法二,一定要找准其对立事件,否则 容易出现错误.

2.利用概率的加法公式求概率的步骤 (1)确定各个事件是两两互斥的. (2)求出各个事件分别发生的概率. (3)利用公式求事件的概率.

【变式训练】 经统计,某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下: 排队 人数 5人及5人 以上

0 0.1

1 0.16

2 0.3

3 0.3

4 0.1
. .

概率

0.04

(1)至多2人排队等候的概率是 (2)至少3人排队等候的概率是

【解析】记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则

A,B,C彼此互斥,
(1)至多2人排队等候的概率为:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)至少3人排列等候的概率为: 1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44. 答案:(1)0.56 (2)0.44


相关文档

2017-2018学年高中数学必修三习题:第三章3-1-3-1-3概率的基本性质 含答案 精品
2016-2017学年高中数学 第三章 概率 3.1-3.1.3 概率的基本性质练习 新人教版必修3
2017-2018学年高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性质 新人教A版必修3
2017-2018学期高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质课件新人教A版必修3
2016-2017学年高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性质课时作业 新人教版必修3
2016-2017学年高中数学 第3章 概率 3.1.3 概率的基本性质课时作业 新人教a版必修3
2017-2018学年高中数学必修三习题:第三章3.1-3.1.3概率的基本性质 Word版含答案
2017-2018学年高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性质教案 新人教A版必修3
2017-2018学年高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性质课件 新人教A版必修3
电脑版