2019年高中理科数学一轮复习:函数的图象知识总结与习题演练


2019 年高中理科数学一轮复习:函数的图象知识总结与习题演练 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周 期性、对称性等). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连 线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=-f(x). ②y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(-x). ③y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― →y=-f(-x). ④y=ax(a>0 且 a≠1)― ― ― ― ― ― →y=logax(x>0). (3)翻折变换 ①y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去 ②y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(|x|). 关于y轴对称的图象 (4)伸缩变换 ①y=f(x) 1 a>1,横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 a → 1 0<a<1,横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变 a y=f(ax). ②y=f(x) a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变 → 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变 保留y轴及右边图象,并作其 保留x轴及上方图象 关于y=x对称 关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称 y=af(x). 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)将函数 y=f(x)的图象先向左平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位得到函数 y=f(x+1)+1 的图象.( ) ) (2)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同.( (3)函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点对称.( ) (4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ ) B.(-1,0) D.直线 x=-1 ) 已知函数 y=|x-1|,则其图象关于________对称( A.(1,0) C.直线 x=1 x-1,x>1, ? ? 解析:选 C.y=|x-1|=?0,x=1, 其图象如图所示.故选 C. ? ?-x+1,x<1. 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= ( ) +1 A.ex C.e B.ex D.e - -1 -x+1 -x-1 - 解析:选 D.曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e x,将 y=e x 向左平移 1 个单位长度得到 y=e -(x+1) ,即 f(x)=e -x-1 . 函数 y=f(x)在 x∈[-2, 2]上的图象如图所示, 则当 x∈[-2, 2]时, f(x)+f(-x)=________. 解析:由 f(x)的图象知 f(x)为奇函数,则 f(x)+f(-x)=0. 答案:0 若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意 a=|x|+x, ? ?2x,x≥0, 令 y=|x|+x=? 图象如图所示,故要使 a=|x|+x 只有一解,则 a>0,即实数 a 的 ?0,x<0, ? 取值范围是(0,+∞). 答案:(0,+∞) 作函数的图象 [典例引领] 分别作出下列函数的图象. (1)y=2x 2; + (2)y=|lg x|; x+2 (3)y= . x-1 【解】 (1)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图所示. ? ?lg x,x≥1, (2)y=? ?-lg x,0<x<1. ? 图象如图所示. 3 3 (3)因为 y=1+ ,先作出 y= 的图象,将其图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单 x x-1 x+2 位,即得 y= 的图象,图象如图所示. x-1 x+2 将本例(3)的函数变为“y= ” ,函数的图象如何? x+3 x+2 1 1 解:y= =1- ,该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 个单位,再向上平移 1 个单 x x+3 x+3 位得到,如图所示. 函数图象的画法 [提醒] (1)画函数的图象一定要注意定义域. (2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应 注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 分别作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|(x+1); 1?|x| (2)y=? ?2? . 解:(1)当 x≥2,即 x-2≥0 时, 1 2 9 x- ? - ; y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=? ? 2? 4 当 x<2,即 x-2<0 时, 1 2 9 x- ? + . y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-? ? 2? 4 ?x-1? -9,x≥2, ? ?? 2? 4 所以 y=? 1 9 x- ? + ,x<2. -? 2 ? ? ? 4 ? 2 2 这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图). x 1?x ?1? 图象中 x≥0 的部分,加上 y=?1? (2)作出 y=? 的图象,保留 y = ?2? ?2? ?2? x 1?|x| 的图象中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分,即得 y=? ?2? 的图象,如图 中实线部分. 函数图象的辨识 [典例引领] sin x (1)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数 y=1+x+ 2 的部分图象大致为( x ) (2) 函数 f(x) = ( ) ax+b 的图象如图所示,则下列结论成立的是 (x+c)2 A.a>0,b>0,c<0

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