数学《3.3.4导数的应用》学案(第4课时) 新人教版选修1-1


§3.3.4 导数的应用(第 4 课时)
[自学目标]: 利用导数作为工具体会并研究导数在解决实际问题中的作用 掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系,并能利用椭圆的有关性质解决实际问题. [重点]: 会求函数的单调区间,极值,最大值最小值。 [难点]: 导数综合问题的处理 [教材助读]: (1)导数与函数单调性的关系(若函数 y ? f ?x ? 在某个区间上可导) 若 f ' ?x ? ? 0则 若 f ' ?x ? ? 0则

f ? x ?为____________ f ? x ?为___

若 f ' ?x ? ? 0则 f ? x ?为___ (2)可导函数的极值

函数y ? f ?x ?在点x ? a处的函数值 _______ 比它在x ? a附近其他点的函数值都小?大?,
f ' ?a ? ? 0而且在点x ? a附近左侧 ________

做函数y ? f ?x ?的极小?大?值点, _____叫做
[预习自测]

?________?, 右侧 ______?________?, 则a叫 函数y ? f ?x ?的极小?大?值;

4 1.当x ? 0时,f ?x ? ? x ? 的单增区间是?____? x
A (0, 2) B ( 2, ? ?) C (0, 2) D (2, ??)

2.若函数f ?x ? ?

x2 ? a , 在x ? 1处取得极值,则a ? ____ x ?1
3

3,已知函数 f ? x ? ? x ? 12 x ? 8 在区间 ? ?3,3? 上的最大值与最小值分别为 M 和 m, 则 M-m= ___ 请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,带课堂上与老师和同学探 究解决。

-1-

[合作探究 展示点评] 探究一:导数在求区间极值最值中的应用 已知函数 f ?x ? ? x 3 ? 3x ? 2 1).求函数 y ? f ?x ?的单调区间 2).求函数 y ? f ?x ?的极值及对应 x 的值

3).求函数 y ? f ?x在区间 ?? 2,3? 上的最大值 ?

探究二:导数在应用问题中的应用 用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后 把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是 多少?

[当堂检测] 1.下列函数在 (?∞, ∞) 内为单调函数的是( ? A. y ? x 2 ? x B. y ? x )

) C. y ? e? x D. y ? sin x

2.函数 y ? x ln x 在区间 (0, 上是( 1)

A.单调增函数B.单调减函数 ? 1? ?1 ? 1 C.在 ? 0, ? 上是单调减函数,在 ? ,? 上是单调增函数 ? e? ?e ?

-2-

? 1? ?1 ? D.在 ? 0, ? 上是单调增函数,在 ? ,? 上是单调减函数 1 ? e? ?e ?

3.

y ? 2 x 2 ? ln x( x ? 0) 的单调增区间为

. ,

4.函数
b?

2 f ( x) ? a l n x? b x ? 3 的 极 值 点 为 x1 ? 1 , x2 ? 2 , 则 a ? x



[拓展提升] 1.函数 f ( x) ? ( x ? 2) ( x ? 1) 的极大值点是(
2 3

) D. x ? ?2 )

A. x ? ?

4 5

B. x ? 1

C. x ? ?1

2.已知函数

f ( x) ? x3 ? px 2 ? qx 的图象与 x 轴相切于 (1 0) ,极大值、极小值为( ,
4 ,极小值为 0 27 5 27

A.极大值为

B.极大值为 0,极小值为 ? D.极大值为

4 27

C.极大值为 0,极小值为 ? 3.函数 A.0 4.函数

5 ,极小值为 0 27

π y ? x ? 2cos x 在 ?0, ? 上取最大值时, x 的值为( ? ?

B.

π 6

? 2? π C. 3



D.

π 2

f ( x) ? ax3 ? x 2 ? x ? 5 在 (?∞, ∞) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ?



5.函数

f ( x) ? x5 ? 5x 4 ? 5x3 ? 1 在 [?1, 上的值域为 2]



★6.在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形, 然后折成一个正三棱柱,尺寸如图 2 所示.当 x 为 多少时时, 正三棱柱的体积最大,最大值是多少?

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