江苏省苏北四市2012届高三第一次调研测试


江苏省苏北四市2012届 江苏省苏北四市2012届高三第一次调研测试 2012 数 学
必做题部分 注意事项: 注意事项: 1.考试时间120分钟,试卷满分160分.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡 上规定的地方. 2.答题时,请使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字迹工整,笔迹清楚. 3. 请按照题号在答题卡上各题的答题区域 (黑色线框) 内作答, 超出答题区域书写的答案无效. 请 保持卡面清洁,不折叠,不破损. 填空题: 本大题共14小题,每小题5 14小题 共计70 70分 一、填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置 上. 1.已知集合

A = {?1 , 0 , 1 , 2}



B = { x x 2 ? x ≤ 0}

,则 A I B = .





2.复数 z = (1 + i ) (1 + 2 i ) ( i 为虚数单位)的实部是 ▲ 3.运行如 图的算法,则输出的结果是 ▲ 第4题图 .

x←0 While x<20 x ← x+1 x ← x2 End While Print x
第3题图

4.某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率

分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是[96,106],若样本中净重在 [96 , 100) 的产品 个数是24,则样本中净重在 [98 , 104) 的产品个数是 ▲ .

?1 ? ?1 ? f ( x) = log 2 x , x ∈ ? , 2 ? ? , 2? x 则使得 f ( x0 ) ≥ 0 ?2 ? , 5. 已知函数 若在区间 ? 2 ? 上随机取一点 0 ,
的概率为 ▲ .

π
6.已知 a , b 是非零向量,且 a , b 的夹角为 3 ,若向量 7. 已知曲线 f ( x) = x sin x + 1 在点 2 ▲ .
2

p=

a b + | a | | b | ,则 p =





(

π

, 1)

处的切线与直线 ax ? y + 1 = 0 互相垂直, 则实数 a =

8.由命题“存在 x ∈ R ,使 x + 2 x + m ≤ 0 ”是假命题,求得 m 的取值范围是 (a , + ∞) , 则实数 a 的值是 ▲ .

π π π π π f ( x) = sin(ω x + ) (ω > 0) f( )= f( ) ( , ) f ( x) 在区间 6 2 内有最 3 2 ,且 9.已知函数 ,若 6 ω= ▲ . 大值,无最小值,则
10.连续两次掷一颗质地 均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩

a = ( m , n ) b = ( 3 , ? 3) 具),记出现向上的点数分别为 m , n ,设向量 , ,则 a 与 b 的夹 角为锐角的概率是 ▲ .
11.在数列 则

{an }

中,已知 .

a1 = 2 , a2 = 3

a a ?a ,当 n ≥ 2 时, n +1 是 n n ?1 的个位数,
?1 ,] 3

a2010 =



12.已知函数

f ( x) = x 2 ? 2 x , ∈ [ a , ] x b
2 2

的值域为 [

,则 b ? a 的取值范围是 ▲



x y + 2 = 1 (a > 0 , b > 0) 2 F (?c , ,F2 (c , ,若椭圆上 0) 0) b 13.已知椭圆 a 的左、右焦点分别为 1 c sin ∠PF1F2 = a sin ∠PF2 F1 P
存在点 (异于长轴的端点),使得 值范围是 ▲ . ,则该椭圆离心率的取

f ( x) = x3 ? 3 x ? t + 1

14.已知t为常数,函数 在区间 上的最大值为2,则实数 t= ▲ . 解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分 18-20每题16分 共计90 每题14 每题16 90分 二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分,18-20每题16分,共计90分. 请在答题卡指定 的区域内作答, 解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 的区域内作答, 解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

[ ?2 , 1]

a b = 3 cos B , 15.设△ABC的三个内角A,B,C对边分别是a,b,c,已知 sinA
(1)求角 B ; (2)若 A 是△ABC的最大内角,求 cos( B + C ) + 3 sin A 的取值范围. 16.如图①, E , F 分别是直角三角形 ABC 边 AB 和 AC 的中点, ∠B = 90 ,沿 EF 将三
o

角形 ABC 折成如图②所示的锐二面角

A1 ? EF ? B ,若 M 为线段 A1C 中

点.

求证:

A EB ; (1)直线 FM // 平面 1 A1 FC ⊥ A1 B C
(2)平面 平面



A B C E F
图①

B C E F M A1
图②

17.已知数列 (1)若 S 4 ,

{a n }

是等比数列,

Sn

为其前 n 项和.

S10 , S 7 成等差数列,证明 a1 , a7 , a4 也成等差数列; 3 21 S3 = S6 = 2 2, 16 , bn = λ an ? n ,若数列 {bn } 是单调递减数列,求实数 λ 的取值范 (2)设
围.

18.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了 新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最 多为600吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为:

y=

1 2 x ? 200 x + 80000 2 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使 每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多 少 元才能使该单位不亏损?

19.在矩形 ABCD 中,已知 AD = 6 , AB = 2 ,E、F为 AD 的两个三等分点, AC 和 BF 交于 点 G , ?BEG 的外接圆为⊙ H .以 DA 所在直线为 x 轴,以 DA 中点 O 为坐标原点,建立如 图所示的平面直角坐标系. (1)求以F、E为焦点, DC 和 AB 所在直线为准线的椭圆的方程; (2)求⊙ H 的方程; (3)设点 P(0 , b) ,过点P作直线与⊙ H 交于M,N两点,若点M恰好是线段PN的中点,求实数 b 的取 值范围.

[来源:21世纪教育网]

21世纪教育网

20.已知正方形 ABCD 的中心在原点,四个顶点都在函数 (2)若正方形 ABCD 唯一确定,试求出 b 的值.

f ( x) = ax3 + bx ( a > 0 )

图象上.

(1)若正方形的一个顶点为 (2 , 1) ,求 a , b 的值,并求出此时函数的单调增区间;

二、 解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分 18-20每题16分 共计90 每题14 每题16 90分 解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分,18-20每题16分,共计90分.

a b = 15.(1)在△ABC中,由正弦定理,得 sin A sin B , . a b = 3 cos B ,所以 sin B = 3 cos B , 又因为 sinA
所以 tan B =
π B= 3 , 又因为 0 < B < π , 所以 3.

……………2分

……………4分

……………6分

(2)在△ABC中, B + C = π ? A ,

π 2sin( A ? ) 6 , 所以 cos( B + C ) + 3 sin A = 3 sin A ? cos A = π 2π π π π A? 6<2, 由题意,得 3 ≤ A < 3 , 6 ≤

……… 10分

A?

所以sin(

1 π π ∈ [ ,1) A? 6) 2 6 ) ∈ [1 , 2) , ,即 2sin(
………………14分

所以 cos( B + C ) + 3 sin A 的取值范围 [1 , 2) .

17. (1)设数列

{a n } 的公比为 q ,

因为 S 4 ,

2a1 1 ? q 10 a 1? q4 a 1? q7 = 1 + 1 1? q 1? q 1? q , 所以 3 6 因为 q ≠ 0 ,所以 1 + q = 2q . …………………………………………4分
所以 所以

(

S10 , S 7 成等差数列,所以 q ≠ 1 ,且 2S10 = S 4 + S 7 .

)

(

)

(

)

a1 + a1q 3 = 2a1q 6 ,即 a1 + a4 = 2a7 . a1 , a7 , a4
也成等差数列. ………………………………………………6分

3 21 S6 = 2, 16 , (2)因为 3 a1 (1 ? q ) 3 = 1? q 2 ,……………………① 所以
S3 =

a1 1 ? q 6 21 = 1? q 16 ,……………………②

(

)

由② ÷ ①,得

1 + q3 =

7 1 q=? 8 ,所以 2 ,代入①,得 a1 = 2 .

18. (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

y 1 80000 = x+ ? 200 x 2 x …………………………………………………4分

1 80000 x? ? 200 = 200 2 x , 1 80000 x= x ,即 x = 400 时, 当且仅当 2 ≥2
才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元.…………………8分 (2)设该单位每月获利为 S , 则 S = 100 x ? y …………………………………………………………………10分

1 1 = 100 x ? ( x 2 ? 200 x + 80000) = ? x 2 + 300 x ? 80000 2 2

1 = ? ( x ? 300) 2 ? 35000 2 400 ≤ x ≤ 600 ,所以当 x = 400 时, S 有最大值 ?40000 . 因为 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损.…………16分

(3)

(x , y ) (2 x0 , 2 y0 ? b) 设 M 点的坐标为 0 0 ,则 N 点的坐标为 ,
?( x0 ? 2) 2 + ( y0 ? 1)2 = 2 , ? ? 2 2 M , N 均在⊙ H 上,所以 ?(2 x0 ? 2) + (2 y0 ? b ? 1) = 2 , ? 因为点 8 x + 4(1 ? b) y0 + b 2 + 2b ? 9 = 0 , 由②-①×4,得 0
所以点

① ②


M ( x0 , y0 ) 在直线 8 x + 4(1 ? b) y + b 2 + 2b ? 9 = 0 ,………………12分 M ( x0 , y0 )
在⊙ H 上,

又因为点

(2, 到直线 8 x + 4(1 ? b) y + b + 2b ? 9 = 0 的距离 1) 所以圆心 H
2

16 + 4(1 ? b) + b 2 + 2b ? 9 64 + 16(1 ? b) 2

≤ 2
,………………………………14分

20. (1)因为一个顶点为 (2,1) ,所以必有另三个顶点 (?2, ?1) , (1, ?2) , (?1, 2) ,
3 将 (2,1) , (1, ?2) 代入 y = ax + bx ,得

a=

5 17 b=? 6, 6 . …………………4分

f ( x) =
所以

5 3 17 x ? x 6 6 .

17 17 1 x> x<? f ′( x) = (15 x 2 ? 17) ′ 15 或 15 , 6 因为 ,令 f ( x ) > 0 ,得 17 17 (? ∞, ? ) ( , + ∞) 15 和 15 所以函数 f ( x) 单调增区间为 .……………………6分 (2)设正方形 ABCD 对角线 AC 所在的直线方程为 y = kx ( k ≠ 0) ,则对角线 BD 所在的直

1 y=? x k . 线方程为 ? y = kx, k ?b ? x2 = y = ax3 + bx, 解得 a , 由?


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