2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 直线、平面平行的判定及性质

§8.4

直线、平面平行的判定及性质

[高考调研 考纲解读 ?以立体几何的定义、公理 和定理为出发点，认识和 理解空间中线面平行、面 面平行的判定定理与有关 性质.

明确考向] 考情分析 ?线面平行、面面平行的判 定及性质是命题的热点． ?着重考查线线、线面、面 面平行的转化及应用．题 型多为选择题与解答题.

知识梳理 1.直线与平面平行 (1)判定定理：

文字语言 1 如果平面□____的一 判 条直线和这个平面内 定 的一条直线平行，那 定 么这条直线和这个平 理 面平行(简记为线线平 行?线面平行).

图形语言

符号语言

2 □

? ? ??l ? ?

∥α

(2)性质定理： 文字语言 如果一条直线和一个平 性 面平行，经过这条直线 质 的平面和这个平面相 定 交，那么这条直线就和 理 3 □____平行(简记线面 平行?线线平行). ?a∥b 4 □ ? ? ? ? ? 图形语言 符号语言

2.平面与平面平行 (1)判定定理： 文字语言 如果一个平面内有两条 判 5 □____的直线都平行 6 □ 图形语言 符号语言 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

定 于另一个平面，那么这 定 两个平面平行(简记为 理 “线面平行?面面平 行”) ?α∥β

(2)两平面平行的性质定理： 文字语言 性 如果两平行平面同 9 □ 图形语言 符号语言 ? ? ?? ? ?

7 时和第三个平面□ 质 定 ____，那么它们的 理 8 □____平行

a∥b

1 答案： □ 外 α；a?β；α∩β＝b ∥β；b∥β ＝b

2 3 4 □ l?α；a?α；a∥l □ 交线 □ a∥ 5 6 □相交 □a?α；b?α；a∩b＝P；a

7 8 9 □ 相交 □ 交线 □ α∥β；α∩γ＝a；β∩γ

名师微博 ●三种转化 平行关系的转化 平面与平面平行的判定与性质和直线与平面平行的判定 与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如 图．

性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助 平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线 线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．

●两个防范 (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否 则，会出现错误． (2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直 线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行.

基础自测 1.已知α∥β，a?α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中 ( ) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线

解析：因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为 符合条件的直线．

答案：D

2．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是 ( ) A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α B．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交 C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

解析：A中n与α可能相交，B中n与α可能平行，D中m、 n可能相交，C中m即m、n所在平面与α的交线．

答案：C

3．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命 题为( )

A．若a∥β，α∥β，则a∥α B．若α∥β，a?α，则a∥β C．若α∥β，a?α，b?β，则a∥b D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b

解析：A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可 能异面，B中α∥β，a?α，则a与β无公共点，∴a∥β.

答案：B

4．在四面体ABCD中，M、N分别为△ACD和△BCD的 重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________．

解析：∵M、N分别为△ACD与△BCD的重心， ∴MN∥AB.∴MN∥面ABC，MN∥面ABD.

答案：面ABC、面ABD

5．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重 合的平面，现给出六个命题： a∥c? ? ? ?a∥b； ① b∥c? ? ∥β； a∥γ? ? ? ?a∥b； ② b∥γ? ? α∥c? ? ? ?α ③ β∥c? ?

α∥γ? ? ? ?α∥β； ④ β∥γ? ? ∥a.

a∥c? ? ? ?α∥a； ⑤ α∥c? ?

a∥γ? ? ? ?α ⑥ α∥γ? ?

其中所有正确命题的序号是__________．

解析：①三线平行公理； ②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行 或异面； ③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行； ④面面平行传递性； ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平 面可平行或直线在平面内；

⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平 面可平行也可能直线在平面内，故①④正确．

答案：①④

考点一

直线与平面平行的判定与性质

[例1]

如图所示，已知P、Q是正方体ABCD－A1B1C1D1的

面A1B1BA和面ABCD的中心． 证明：PQ∥平面BCC1B1.

证明：方法一，如图①，取B1B中点E，BC中点F，连接 PE、QF、EF，

①

∵△A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，∴PE綊

1 2

A1B1. 1 同理QF綊2AB.

又A1B1綊AB，

∴PE綊QF.

∴四边形PEFQ是平行四边形． ∴PQ∥EF.

②

又PQ?平面BCC1B1，EF?平面BCC1B1， ∴PQ∥平面BCC1B1. 方法二，如图②，连接AB1，B1C. ∵△AB1C中，P、Q分别是AB1和AC的中点，∴PQ∥ B1C. 又PQ?平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1， ∴PQ∥平面BCC1B1.

方法点睛 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线 平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需 作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或 过已知直线作一平面找其交线.

变式训练1 如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是 矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

证明：取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM 1 ＝ CD. 2

1 又∵AE∥CD且AE＝2CD， ∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形．

∴AF∥ME，又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE， ∴AF∥平面PCE.

考点二

平面与平面平行的判定与性质

[例2]

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分

别为所在边的中点． 求证：平面MNP∥平面A1C1B.

证明：连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥ D1C. 又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B. 而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在 平面A1C1B内． ∴平面MNP∥平面A1C1B.

方法点睛

证明面面平行的方法有：①面面平行的定

义；②面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③利用垂直 于同一条直线的两个平面平行；④两个平面同时平行于第三 个平面，那么这两个平面平行；⑤利用“线线平行”、“线 面平行”、“面面平行”的相互转化．

变式训练2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F， G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.

证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共 面． (2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.

∴A1E∥平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.

考点三

线面平行中的探索问题

[例3]

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面

ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使 DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请 说明理由．

解析：存在点E，且E为AB的中点． 下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF, B1C1 DF∥

∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1. ∵B1C1与AB1是相交直线， ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF， ∴DE∥平面AB1C1.

方法点睛

解决探索性问题一般要采用执果索因的方

法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结 论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件， 则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)， 则不存在．

变式训练3 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的 正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内有BE⊥PC于 6 E，且BE＝ 3 a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.

解析：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接 AG，在AB上取点F，使AF＝EG，则F即为所求作的点．

EG∥CD∥AF，EG＝AF， ∴四边形FEGA为平行四边形． ∴FE∥AG. 又AG?平面PAD，FE?平面PAD， ∴EF∥平面PAD. 又在△BCE中， CE＝ BC －BE ＝ 3 ＝ 3 a.
2 2

2 2 a －3a
2

在Rt△PBC中，BC2＝CE· CP， a2 ∴CP＝ ＝ 3a. 3 3a EG PE PC－CE 2 又∵CD＝PC＝ PC ，∴EG＝AF＝3a. ∴点F为AB的一个三等分点.

答题模板构建(五) 立体几何中的探索性问题 [试题] (2012· 太原模拟，12分)如图，在四棱锥S－

ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠ 2 BAD＝90° ，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝3.

(1)求四棱锥S－ABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．

2 规范解答：(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝ 3 ，SA＝ 2，∴AD＝3.(3分) 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形， 且SA＝AB＝BC＝2， 1 1 VS－ABCD＝3×SA×2×(BC＋AD)×AB 1 1 10 ＝3×2×2×(2＋3)×2＝ 3 .(6分)

(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥ 平面SAB.(8分)

取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近点A的三等分 点为F，连接CE，EF，BF， 2 2 则EF綊3AD，BC綊3AD，

∴BC綊EF.∴CE∥BF.

又∵BF?平面SAB，CE?平面SAB， ∴CE∥平面SAB.

模板建构：对于探索问题，书写步骤的格式有两种： 一种是： 第一步，探求出点的位置． 第二步，证明符合要求． 第三步，给出明确答案． 第四步，反思回顾．查看关键点．易错点和答题规范．

另一种是：从结论出发，“要使什么成立”，“只须使 什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法.