2018版高中数学第一章解三角形1.2应用举例三课件新人教A版必修5_图文


第一章 解三角形 §1.2 应用举例(三) 学习 目标 1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题. 2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 (2)三角形面积公式的推广 a+b+c 答案 bsin A 答案 1 1 1 1 则 S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=2cr+2br+2ar=2(a+b+c)r. 答案 60°或120° 解析 1 3 S=2bcsin A=2, 1 3 3 ∴2· 2· 3· sin A=2,∴sin A= 2 , 又∵A∈(0°,180°),∴A=60°或120°. 解析答案 (2) 在 △ABC 中 , A = 30° , AB = 2 , BC = 1 , 则 △ABC 的 面 积 等 3 2 于 . 解析 a c 由正弦定理sin A=sin C, csin A 2· sin 30° ∴sin C= a = = 1 , 1 又∵C∈(0°,180°),∴C=90°, ∴b= c2-a2= 22-12= 3. 1 3 ∴S△ABC=2×1× 3= 2 . 解析答案 知识点二 多边形的面积 对于多边形的有关几何计算问题,特别是面积问题可以利用“割补法” 将多边形转化为三角形,利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解 决. 返回 题型探究 重点突破 解 π 4 2π 因为角 A, B, C 为△ABC 的内角, 且 B=3, cos A=5, 所以 C= 3 -A, 3 sin A=5. 于是 sin ?2π ? ? - A C=sin? ? ?= 3 ? ? 3 +4 3 3 1 2 cos A+2sin A= 10 . 解析答案 (2)求△ABC的面积. 3+4 3 3 解 由(1)知 sin A=5,sin C= 10 , π 又因为 B=3,b= 3, bsin A 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 a= sin B =5. 3+4 3 36+9 3 1 1 6 于是△ABC 的面积 S=2absin C=2×5× 3× 10 = 50 . 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 1 如图所示,已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB = 2 , BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 若△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a- b)2,a+b=2,求面积S的最大值. 解析答案 1 3 解 由题意可知2absin C= 4 ×2abcos C. π 所以 tan C= 3,因为 0<C<π,所以 C=3. 解析答案 (2)求sin A+sin B的最大值. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m =(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形; 证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B. a b ∴a· 2R=b· 2R(2R 为△ABC 外接圆直径), ∴a2=b2,∴a=b, ∴△ABC为等腰三角形. 解析答案 解 由题意可知m· p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理得4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, ∴(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4或-1(舍), 1 1 π ∴S△ABC=2absin C=2· 4· sin 3= 3. 故△ABC 的面积为 3. 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2= 4,C=120°,则△ABC的面积为( C ) 3 A. 3 解析 2 3 B. 2 C. 3 D.2 3 将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立, 1 解得 ab=4,∴S△ABC=2absin C= 3. 解析答案 1 2 3 4 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,B=45°, S△ABC=2,则△ABC的外接圆直径为( C ) A.4 3 解析 B.60 C.5 2 D.6 2 1 1 2 ∵S△ABC=2ac· sin B=2c· sin 45° = 4 c=2, 2 2 2 ∴c=4 2,∴b =a +c -2accos 45° =25, ∴b=5. b ∴△ABC 的外接圆直径为sin B=5 2. 解析答案 1 2 3 4 3.设A是△ABC中最小的内角,则sin A+cos A的取值范围是( D ) A.(- 2, 2) C.(1, 2) 解析 π sin A+cos A= 2sin(A+4). B.[- 2, 2 ] D.(1, 2 ] π ∵A 为△ABC 中最小内角,∴A∈(0,3), π π 7 π 2 ∴A+4∈(4,12π),∴sin(A+4)∈( 2 ,1], ∴sin A+cos A∈(1, 2 ]. 解析答案 1 2 3 4 解析答案 课堂小结 1.三角形面积计算的解题思路 1 1 1 对于此类问题, 一般要用公式 S=2absin C=2bcsin A=2acsin B 进行求 解,可分为以下两种情况: (1)若所求面积为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形, 转化为求三角形的面积. (2)若所给条件为边角关系,则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及 夹角,再利用三角形面积公式进行求解. 2.与面积有关的三角形综合问题的解题思路 选取适当的面积公式,结合正弦、余弦定理

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