高三数学模拟考试数列综合应用


数列综合应用
考纲要求: (1)熟练掌握等差数列、等比数列的前 n 项和公式; (2)掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。 (3)能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应问题。 一、数列求和 数列求和的常用方法 1、公式法 (1)直接利用等差数列、等比数列的前 n 项公式求和; ①等差数列的前 n 项和公式: Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d ? na1 ? 2 2
???????q ? 1 q?1 .

?na1 , ? ②等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? a1 ? anq a1 (1 ? q n ) ? 1?q ? 1?q ?
(2)一些常见的数列的前 n 项和: 1 1? 2 ? 3 ? 4 ? ○
2 2 2 2 1 ?2 ?3 ? ○

n(n ? 1) ; 2 n(n ? 1)(2n ? 1) ? n2 ? ; 6 ?n?

3 2?4?6? ○ 4 1? 3 ? 5 ? ○ 5 1 ?2 ?3 ? ○
3 3 3

? 2n ? n(n ? 1) ;

? 2n ? 1 ? n2 ;

? n3 ? [

n(n ? 1) 2 n2 (n ? 1)2 ] ? 2 4

2、倒序相加法 如果一个数列 ?an ? 的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和即是用此法 推导的。 3、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的, 那么这个数 列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的; 4、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和; 注: 用裂项相消法求数列前 n 项和的前提是: 数列中的每一项均能分裂成一正一负两项, 这是用裂项相消法的前提。 5、分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成, 则求和时可用分组求 和法,分别求和而后相加减; 6、并项求和法 一个数列的前 n 项和中, 可两两结合求解, 则称之为并项求和。 形如 an ? (?1)n f (n) 类 型,可采用两项合并求解。

二、数列的综合应用 1、数列综合应用题的解题步骤: (1)审题——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题; (2) 分解——把整个大题分解成几个小题或几个"步骤",每个小题或每个”步骤”分别 是数列问题、函数问题、解析几何问题 、不等式问题等。 (3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤” ,从而得到整个问题的解答; 具体解题步骤用框图表示如下:

2、数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加 (或减少)的量就是公差; (2)等比数列:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比数列 模型,这个固定的数就是公比。

注:银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是: 单利公式——设本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 n,则本利和 an ? a(1 ? rn) ,属于 等差模型; 复利公式——设本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 n,则本利和 an ? a(1 ? r )n ,属于 等比模型。 (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变 化时,应考虑是 an 与 an+1 的递推关系,还是 前 n 项和 Sn 与前 n+1 项和 Sn+1 之间的递推 关系。 (一)分组转化求和

1 ? 1,
例 1 求数列

1 1 1 ? 4, 2 ? 7, ? , n ?1 ? 3n ? 2 a a a 的前 n 项和:

变式 1 已知数列: 1, (1 ? ), (1 ?

1 2

1 1 1 1 1 ? ),?, (1 ? ? ??? n ?1 ),?, 则其前 n 项和 2 4 2 4 2

Sn =_____.
(二)错位相减法求和 例 2 求和:

变式 2(2012 江西高考)已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? ? 大值为 8 。 (1) 确定常数 k ,求 an ; (2)求数列 ?

1 2 n ? kn ( k ? N ? ) ,且 Sn 的最 2

? 9 ? 2a n ? ? 的前 n 项和 Tn n ? 2 ?

(三)裂项相消求和 常见的拆项公式有: (1)

1 1 1 ? ? ; n ? n ? 1? n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ); n ?n ? k ? k n n ? k 1 1 1 ? ( ? ); ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ; n ? n ? 1?? n ? 2 ? 2 n ? n ? 1? ?n ? 1??n ? 2 ?
1 n ? n?k ? 1 ( n ? k ? n ). k

(2)

(3)

1

(4)

(5)

例 3 设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, Sn ? nan ? n(n ? 1)(n ? 1,2,3, ?) (1) 求证:数列 ?an ?为等差数列,并求 an ; (2) 若数列 ?

?

1 ? 100 的最小正整数 n 是多少? ? 的前 n 项和 Tn ,问满足 Tn ? 209 ? a n a n ?1 ?

变式 3 求数列

的前 n 项和.

(四)其他 例 4(2012,湖北)已知等差数列 ?an ?前三项的和为 ? 3 ,其前三项的积为 8, (1) 求等差数列 ?an ?的通项公式; (2) 若 a2 ,a 3 , a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项和为 Sn 。

? ?

(五)等差数列、等比数列的综合问题 例 5 在等比数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,公比 q ? 0 ,设 bn ? log2 an ,且 b1 ? b3 ? b5 ? 6, b1b3b5 ? 0 . (1) 求证: 数列 ?bn ?为等差数列; (2) 求 ?bn ?的前 n 项和为 Sn 及 ?an ?的通项 an .

(六)数列与函数的综合应用 例 6 设函数 f ( x ) ?

x ? sin x 的所有正的极小值从小到大排成的数列为 ?xn ?. 2

(1) 求数列 ?xn ?的通项公式; (2) 设 ?xn ?的前 n 项和为 Sn ,求 sin Sn .

(七)数列与不等式的综合应用 例 7 设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2 等差数列.(1)求 a1 的值; (3)证明:对一切正整数 n ,有
n?1

? 1, n ? N ? ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成

(2) 求数列 ?an ?的通项公式;

1 1 1 3 ? ??? ? . a1 a2 an 2


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