2012届高考文科数学临考练兵测试题17


2012 届新课标版高考临考大练兵(文 17)

第 I 卷(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z}, N ? {x | x ? 1},则M N ?

A.{x | ?3 ? x ? 1}

B.{x | 0 ? x ? 2}

C.{?3, ?2, ?1, 0,1}

D.{?2, ?1, 0}

2.要得到函数 y ? sin 2x 的图象,只需将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象 3

A.向右平移 ? 个单位长度 6

B.向左平移 ? 个单位长度 6

C.向右平移 ? 个单位长度 3

D.向左平移 ? 个单位长度 3

3.过抛物线 y2 ? 4x( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 P(x1, y1) 、 Q(x2 , y2 ) 两点,若

x1 ? x2 ? 2 ,则| PQ |等于

A.4

B.5

C.6

D.8

4.若平面向量 a ? (?1, 2) 与 b 的夹角是 180°,且| b |? 3 5 ,则 b 的坐标为

A. (3, ?6)

B. (?6,3)

C. (6, ?3)

D. (?3, 6)

5 . 如 果 不 等 式 f (x) ? ax2 ? x ? c ? 0(a, c ? R) 的 解 集 为 {x | ?2 ? x ? 1} , 那 么 函 数 y ? f (?x) 的大致图象是

6.设 m 、 r 是两条不同的直线,? 、 β 为两个不同的平面, 则下列四个命题中不.正.确.的



A. m ? ?, n ? ?且? ? ? ,则m ? n

B. m //?, n ? ?且? ? ? ,则m // n

C. m ? ?, n // ?且? // ? ,则m ? n

D. m ? ?, n ? ?且? // ? ,则m // n

7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何题的

表面积是

A. 5?

B. 6?

C. 7?

D. 8?

8.阅读右侧的算法框图,输出的结果 S 的值为

A.48

B.56

C.60

D.62

9.直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 2x ?1 ? 0 有两个不同交点的一

个充分不必要条件是

A. ?3 ? m ?1

B. ?4 ? m ? 2

C. 0 ? m ?1

D. m ? 1

10.函数 f (x) 满足 f (x ? 2) ? 3 f (x),且 x ? R ,当 x ?[0, 2]时, f (x) ? x2 ? 2x ? 2 , 则 x ?[?4, ?2] 时, f (x) 的最小值为

A. ? 1 9

B. ? 1 3

C. ?1

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分)

注意事项:

1.答第Ⅱ卷前,考生务必将密封线内的项目填写清楚。

2.第Ⅱ卷用蓝、黑色墨水的钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

二、填空题:(每小题 4 分,共 24 分)

D. 1 9

11.如过复数 ( 2 ? ai)i(a ? R) 的实部与虚部是互为相反数,则 a 的
值等于_________。 12.统计某校 1000 名学生的数学学业水平测试成绩,得到样本频率
分布直方图如右图,规定不低于 60 分为及格,不低于 80 分为 优秀,则及格人数是_______,优秀率为________。

?x ?2 ? 0

13.已知

x



y

满足约束条件

? ?

y

?1

?

0

??x ? 2 y ? 2 ? 0

则 z ? x ? y 的最大值为_______________。

14.如图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点。过 P 作⊙ O 的切线,切点为

C, PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径 AB ? ____________。

15.若函数 f (x) ? x3 ? 6bx ? 3b 在( 0,1 )内有极小值,则实数 b 的取值范
围是_______。 16.观察下表:
1 234 34567 4 5 6 7 8 9 10 …………
则第__________行的各数之和等于 20092 。
三、解答题:(17~20 题,每小题 12 分,第 21、22 题 14 分,共计 76 分) 17.(本题满分 12 分)

已知在锐角 ?ABC

中,角

A,

B, C

对边分别为

a,b, c



tan

B

?

a2

?

3ac c2 ?

b2

(1)求 ?B ;

(2)求函数 f (x) ? sin 2x ? 2sin B cos 2x(x ?[0, ? ]) 的最小正周期及单调递减区间; 2

18.(本题满分 12 分)
如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,AD ? PA ? 2 ,CD ? 2 2 ,E 、F 分别 是 AB、 PD 的中点。 (I)求证: AF // 平面 PCE ; (Ⅱ)求证:平面 PCE ? 平面 PCD ; (Ⅲ)求四面体 PEFC的体积
19.(本题满分 12 分) 现有编号分别为 1,2,3 的三个不同的政治基本题和一道政治附加题:另有编号分别为
4,5 的两个不同的历史基本题和一道历史附加题。甲同学从这五个基本题中一次随即抽取 两道题,每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的。
(1)用符号( x, y )表示事件“抽到的两题的编号分别为 x 、 y ,且 x ? y ”共有多少个
基本事件?请列举出来: (2)求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于 8 但不小于 4 的概率。 (3)甲同学在抽完两道基本题之后又抽取一道附加题,做对基本题每题加 5 分,做对政
治附加题加 10 分,做对历史附加题加 15 分,求甲同学得分不低于 20 分的概率。

20.(本题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? 2 ? a ln x(x ? 0) , x
(1)令 a ?1,求函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程; (2)若 f (x) 在[1, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围。

21.(本题满分 14 分)

设 数 列 {bn} 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 bn ? 2 ? 2Sn ; 数 列 {an} 为 等 差 数 列 , 且

a5 ? 14, a7 ? 20 。

(1)求数列 {bn } 的通项公式;

(2)若 cn

?

an

?bn (n

? 1, 2,3…),Tn

为数列{cn}的前 n

项和,求证: Tn

?

7 2



22.(本题满分 14 分)

已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的左、右焦点,右焦点 F2 (c, 0) 到上顶

点的距离为 2,若 a2 ? 6c

(1)求此椭圆的方程;

(2)点 A 是椭圆的右顶点,直线 y ? x 与椭圆交于 M 、 N 两点( N 在第一象限内),



P

、Q

? 是此椭圆上两点,并且满足 ?
?|

NP NP

|

?

|

NQ NQ

|

? ? ? F1F2 ?

?

0 ,求证:向量

PQ



AM



线

参考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 D

B

A

A

C

B

C

B

C

D

二、填空题:(每小题 4 分,共 24 分)

11. 2

12.800,20%

13.2

14.4

15. (0, 1 ) 2

16.1005

三、解答题:(17~20 题,每小题 12 分,第 21、22 题 14 分,共计 76 分)

17.(本题满分 12 分)

解:(1)在 ?ABC 中,利用余弦定理, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ,

代入 tan B ?

a2

3ac ? c2 ? b2

得, sin B

?

3 2

而 ?ABC 是锐角三角形,所以角 B ? ? ·························5 分 3

(2) f (x) ? sin 2x ? 2sin B cos 2x ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 2sin(2x ? ? ) 3

周期T ? ?

因为 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 3? ? 2k?

2

32

所以 ? ? 2k? ? 2x ? 7? ? 2k?, k ? Z ··························8 分

6

6

当 k ? 0 时, ? ? x ? 7? , 又 0 ? x ? ? ;

12 12

2

所以, f (x) 在 x ?[0, ? ] 上的单调减区间为[ ? , ? ] ·········12 分

2

12 2

18.(本题满分 12 分)

解(I)设 G 为 PC 的中点,连结 FG, EG ,

F 为 PD 的中点, E 为 AB 的中点,

//
?FG ==

1

CD,

AE

// ==

1

CD

2

2

//
?FG == AE,? AF // GE

?GE ? 平面PEC,

? AF // 平面PCE;·····················································4 分

(Ⅱ) PA ? AD ? 2,? AF ? PD

?PA ? 平面ABCD,CD ? 平面ABCD

? PA ? CD

AD ? CD,PA AD ? A,?CD ? 平面PAD,

AF ? 平面PAD,? AF ? CD

PD CD ? D,? AF ? 平面PCD,

?GE ? 平面PCD,

GE ? 平面PEC,?平面PCE ? 平面PCD; (Ⅲ)由(Ⅱ)知 GE ? 平面PCD,所以EG为四面体PEFC的高,
又GF // CD,所以GF ? PD

EG ? AF ? 2,GF ? 1 CD ? 2 2
1 S?PCF ? 2 PD ? GF ? 2

得四面体PEFC的体积V

?

1 3

S?PCF

? EG

?

22 3

19.(本题满分 12 分)

解:(1)共有 10 个等可能性的基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5),(4,5)。

(2)记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于 8 但不小于 4”为事件 A

由(1)可知事件共含有 7 个基本事件,列举如下:(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),

(2,4),(2,5),(3,4)? P( A) ? 7 10

(3)记事件 B“做对政治附加题同时还需做对两道基本题”

记事件 C“做对历史附加题同时还需至少做对一道基本题”

记事件 D“甲同学得分不低于 20 分” P(D) ? P(B) ? P(C)

P( B)? 1 ? 1 P( C)? 3 ? 3 P( D)? 1 ? 3 ? 1

2? 2? 2 8

2? 2? 2 8

88 2

20.(本题满分 12 分)

(1)与由

f

(x)

?

x2

?

2 x

?

a ln

x, 得f

?(x)

?

2x

?

2 x2

?

a x

切线的斜率 k ? f ?(2) ? 4 切点坐标 (2,5 ? ln 2)

所求切线方程 y ? (5 ? ln 2) ? 4(x ? 2) ································5 分

(2)若函数为[1, ??) 上单调增函数,



f

(x)

?

0在[1,+?)上恒成立,即不等式

2x

?

2 x2

?

a x

?

0 在[1, ??)

上恒成立。

也即 a ? 2 ? 2x2 在[1, ??) 上恒成立 x

令?(x)

?

2 x

?

2x2

,上述问题等价于

a

?

? ( x)max

而?(x) ? 2 ? 2x2 为在[1, ??) 上的减函数, x

则?(x)max ? ?(1) ? 0 ,于是 a ? 0 为所求 ···························12 分

21.(本题满分 14 分)

解(1)由 bn

?

2?

2Sn ,令n

? 1,则b1

?

2?

2S1, 又S1

?

b1, 所以b1

?

2 3

b2

?

2?

2(b1

?

b2 ),则b2

?

2 9

当n ? 2时,由bn ? 2 ? 2Sn ,可得bn ? bn?1 ? ?2(Sn ? Sn?1) ? ?2bn

即 bn ? 1 bn?1 3

所以?bn?是以b1

?

2 3

为首项,1 3

为公比的等比数列,于是bn

?

2

?

1 3n

(2)数列{an}为等差数列,公差 d

?

1 2

(a7

?

a5 )

?

3, 可得an

?

3n

?1

从而 cn

?

an

? bn

?

2(3n ?1) ?

1 3n

?Tn

?

2[2 ? 1 3

?

5?

1 32

?8?

1 33

?…?

(3n ?1) ?

1 3n

],

1 3

Tn

?

2[

2 ? 1 ? 5? 1 ?…? (3n ? 4) ? 1 ? (3n ?1) ? 1 ]

32

33

3n

3n?1

?

2 3

Tn

?

2[3? 1 3

? 3?

1 32

? 3?

1 33

?…? 3?

d 3n

?

1 3

? (3n ?1) ?

1] 3n?1

从而 Tn

?

7 2

?

7 2

1 ? 3n

?

n 3n?1

?

7 2

22.(本题满分 14 分)

?a2 ? 6c

解:(1)由题知:

? ?a

?

2

??a2 ? b2 ? c2

?a2

?

? ???b2

? ?

4 4 ;所以;
3

x2 4

3y2 ?
4

? 1 ·····4



? (2)因为: ?
?

|

NP NP

|

?

|

NQ NQ

|

? ?? ?

F1F2

?

0 ,从而

|

NP NP

|

?

|

NQ NQ

|



?PNQ

的平分线平行,

所以 ?PNQ 的平分线垂直于 x 轴;

?y ? x



? ?

x

2

?? 4

? 3y2 4

;得M (?1, ?1); N(1,1); ?1

不妨设 PN 的斜率为 k ,则 QN 的斜率 ?k ;因此 PN 和 QN 的方程分别为:

y ? k(x ?1) ?1、 y ? ?k(x ?1) ?1;其中 k ? 0 ; ···········8 分

? y ? k(x ?1) ?1



? ?

x

2

3y2

?? 4 ? 4 ? 1

得; (1? 3k 2 )x2 ? 6k(k ?1)x ? 3k 2 ? 6k ?1 ? 0(*)

因为 N(1,1) 在椭圆上;所以 x ?1是方程 (*) 的一个根;

从而;

xp

3k 2 ? 6k ?1 ? 1? 3k 2 ;

············································10



同理: xQ

?

3k 2 1

? 6k ? ? 3k 2

1

;从而直线

PQ

的斜率

kPQ

?

yp xP

? yQ ? xQ

?

1; 3

又 A(2, 0) 、 M (?1, ?1) ;所以 kAM

?

1 3

;所以

kPQ

?

kAM ; 所以向量 PQ 与 AM



线。········································································14 分

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