【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第13章 选修4-5 第2节 不等式的证明


第十三章

选修 4-5

第二节

一、选择题 1.若实数 x,y 适合不等式 xy>1,x+y≥-2,则( A.x>0,y>0 C.x>0,y<0 [答案] A 1 [解析] x,y 异号时,显然与 xy>1 矛盾,所以可排除 C、D.假设 x<0,y<0,则 x< . y 1 ∴x+y<y+ ≤-2 与 x+y≥-2 矛盾,故假设不成立. y 又 xy≠0,∴x>0,y>0. 2.已知 x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则 M 与 N 的大小关系是( A.M≥N C.M=N [答案] A [解析] M-N=x2+y2+1-(x+y+xy) 1 = [(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)] 2 1 = [(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故 M≥N. 2 1 16x 3.(2014· 南昌第一次模拟)若 x>1,则函数 y=x+ + 2 的最小值为( x x +1 A.16 C .4 [答案] B 1 16x 1 16 [解析] y=x+ + 2 =x+ + ≥2 16=8,当且仅当 x=2+ 3时等号成立. x x +1 x 1 x+ x 二、填空题 1 1 4.若 < <0,则下列四个结论: a b b a a2 ①|a|>|b|;②a+b<ab;③ + >2;④ <2a-B. a b b 其中正确的是________. [答案] ②③④ [解析] 取特殊值 a=-1,b=-2,
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)

B.x<0,y<0 D.x<0,y>0

)

B.M≤N D.不能确定

)

B.8 D.非上述情况

代入验证得②③④正确. s?m+n? 2s 5.若 T1= ,T2= ,则当 s,m,n∈R+时,T1 与 T2 的大小为________. 2mn m+n [答案] T1≤T2 s?m+n? 4nm-?m+n?2 -s?m-n?2 2s [解析] 因为 - =s· = ≤0. 2mn m+n 2mn?m+n? 2mn?m+n? 所以 T1≤T2. 1 6.设 0<x<1,则 a= 2x,b=1+x,c= 中最大的一个是________. 1-x [答案] c [解析] 由 a2=2x,b2=1+x2+2x>a2,a>0,b>0, 得 b>A. 1-?1-x2? 1 x2 又 c-b= -(1+x)= = >0, 1- x 1-x 1-x 得 c>b,知 c 最大. 三、解答题 1 1 7.已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< , 3 6 求证:|y|< 5 . 18

[解析] 因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)| ≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 由题设知|x+y|< ,|2x-y|< , 3 6 2 1 5 5 从而 3|y|< + = ,所以|y|< . 3 6 6 18 1 1 8.(2014· 新课标Ⅰ)若 a>0,b>0,且 + = ab a b (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 1 1 2 [解析] (1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等号成立. a b ab 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6.

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一、选择题 1.已知 a>0,且 M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则 M 与 N 的大小关系是( A.M≥N C.M≤N [答案] B [解析] 取两组数:a,a+1,a+2 与 a2,(a+1)2,(a+2)2,显然 a3+(a+1)3+(a+2)3 是 顺序和;而 a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2 是乱序和,由排序不等式易知此题中,“顺序 和”大于“乱序和”.故应选 B. 2.若长方体从一个顶点出发的三条棱长之和为 3,则其对角线的最小值为( A.3 1 C. 3 [答案] B [解析] 不妨设长方体同一顶点出发的三条棱长分别为 a,b,c,则 a+b+c=3,其对角 线长 l= a2+b2+c2≥ 故选 B. t+2 t 3. (2015· 黄冈模拟)若不等式 2 ≤a≤ 2 在 t∈(0,2]上恒成立, 则 a 的取值范围是( t t +9 1 A.[ ,1] 6 1 4 C .[ , ] 6 13 [答案] B a≥ , ? ? t+9 t 由已知? 1 1 ? ?a≤ t +2? t ? ,
2

) B.M>N D.M<N

)

B. 3 D. 3 3

1 ?a+b+c?2= 3, 当且仅当 a=b=c=1 时, 对角线长取得最小值 3, 3

)

2 B.[ ,1] 13 1 D.[ ,2 2] 6

1

[解析]

对任意 t∈(0,2]恒成立,

a≥? ? , ? ? t+9 t 于是只要当 t∈(0,2]时,? 1 1 ? ?a≤[ t +2? t ? ]
max 2

1

min,

9 1 1 13 记 f(t)=t+ ,g(t)= +2( )2,可知两者都在(0,2]上的单调递减,f(t)min=f(2)= ,g(t)min t t t 2 =g(2)=1,

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2 所以 a∈[ ,1],选 B. 13 二、填空题 x+y x y 4.设 x>0,y>0,M= ,N= + ,则 M、N 的大小关系是________. 2+x+y 2+x 2+y [答案] M<N x+y x y x y [解析] N= + > + = =M. 2+x 2+y 2+x+y 2+x+y 2+x+y 5.若 a,b∈R+,且 a≠b,M= [答案] M>N [解析] ∵a≠b,∴ ∴ ∴ a b + b>2 a, + a>2 b, b a a b + ,N= a+ b,则 M、N 的大小关系为________. b a

a b + b+ + a>2 a+2 b. b a a 1 + > a+ b.即 M>N. b a

6.(2014· 陕西高考)设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2的最小值 为________. [答案] 5

[解析] 解法 1:在平面直角坐标系 aob 中,由条件知直线 ma+nb=5 与圆 a2+b2=5 有 公共点, ∴ 5 ≤ 5,∴ m2+n2≥ 5, m2+n2

∴ m2+n2的最小值为 5. 解法 2:由柯西不等式: a2+b2· m2+n2≥ma+nb, ∴ m2+n2≥ 三、解答题 7.已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 + (2)若 a,b,c∈R ,且 + + =m. a 2b 3c 求证:a+2b+3c≥9. [分析] (1)应用绝对值不等式的解法确定 m 的值; (2)利用柯西不等式证明. [解析] (1)因为 f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0 等价于|x|≤m,
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5 = 5. 5

由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 + (2)证法一:由(1) + + =1,又 a,b,c∈R , a 2b 3c 1 1 1 2b a 3c a 3c 2b a+2b+3c=(a+2b+3c)( + + )=1+1+1+ + + + + + ≥3+2+2+2 a 2b 3c a 2b a 3c 2b 3c =9. 1 1 1 + 证法二:由(1)知 + + =1,又 a,b,c∈R , a 2b 3c 由柯西不等式得 1 1 1 a+2b+3c=(a+2b+3c)( + + ) a 2b 3c 1 1 1 ≥( a· + 2b· + 3c· )2=9. a 2b 3c
2 8.(2014· 广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 满足 S2 n-(n +n-

3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 3
2 [解析] (1)令 n=1 得:S1 -(-1)S1-3×2=0,

即 S2 1+S1-6=0,∴(S1+3)(S1-2)=0, ∵S1>0,∴S1=2,即 a1=2.
2 2 (2)由 S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,得:

(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0, ∵an>0(n∈N*),Sn>0,从而 Sn+3>0,∴Sn=n2+n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n, 又 a1=2=2×1,∴an=2n(n∈N*). k k 3 1 3 (3)当 k∈N*时,k2+ >k2+ - =(k- )(k+ ), 2 2 16 4 4 ∴ 1 1 1 1 1 1 = = · < · 1 4 1 3 ak?ak+1? 2k?2k+1? 4 k?k+ ? ?k- ??k+ ? 2 4 4

1 1 = · 4 1 1 ?k- ?· [?k+1?- ] 4 4 1 1 1 = · [ - ] 4 1 1 k- ?k+1?- 4 4

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1 1 1 + +?+ a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < [( - )+( - )+?+ - ]= ( - ) 4 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1- 2- 2- 3- n- ?n+1?- 1- ?n+1?- 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 = - < . 3 4n+3 3

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