【创优设计】高二数学北师大版选修1-1课件3.2 导数的概念及其几何意义


§2 导数的概念及其几何意义 1.理解函数在某点处的导数的定义及其几何意义. 2.掌握由平均变化率、瞬时变化率引出函数在某点处的导数的概念的过程. 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,理解导数的概念及其表示 法,体会导数思想及其内涵. 1 2 1.导数的概念 设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数 值 y 关于 x 的平均变化率为 Δ Δ = (1 )-f(0 ) 1 -0 = (0+Δ)-(0 ) .当 x1 趋于 x0,即 Δx Δ 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x) 在 x0 点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点的导数, 通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim (1)-f(0 ) 1-0 1 → 0 = lim (0+Δ)-(0) . Δ Δ →0 1 2 【做一做 1-1】 Δ →0 函数 f(x)在 x=x0 处的导数可表示为( ) A.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) B.f'(x0)= lim [f(x0+Δx)-f(x0)] (0+Δ)-(0) Δ Δ →0 ( +Δ)-(0 ) D.f'(x0)= 0 Δ C.f'(x0)= lim 答案:C 【做一做 1-2】 A.f'(1) 解析: lim 答案:C 设函数 f(x)可导,则 lim C. f'(1) (1+Δ)-(1) 等于( 3Δ Δ →0 ) B.3f'(1) = (1+Δ)-(1) 3Δ Δ →0 1 3 1 (1+Δ)-(1) lim 3 Δ →0 Δ D.f'(3) = f'(1). 1 3 1 2 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 这就是导数的几何意义,即函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率. 【做一做 2-1】 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)的几何意义是( A.在点 x0 处的斜率 B.在点(x0,f(x0))处的切线与 x 轴所夹的锐角的正切值 C.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 答案:C ) 1 2 【做一做 2-2】 为 . 解析:f'(-1)= lim 答案:135° 曲线 f(x)= x2-2 在点 -1,- 1 2 3 2 处切线的倾斜角 1 2 3 2 (-1+Δ)-(-1) =-1,即曲线 Δ Δ →0 f(x)= x2-2 在点 -1,- 处切线 的斜率为-1,故倾斜角为 135° . 1 2 3 1.正确理解导数的概念 剖析:(1)“导数”是从现实生活中大量类似的问题,撇开一些量的具体意 义,单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念,所以我们应很自 然地去理解这个概念的提出与其实际意义. (2)函数在某点处的导数即为函数在这点的变化率.某点处导数的概念 包含着两层含义: ① lim Δ 存在,则称 Δ →0 Δ f(x)在 x=x0 处可导并且导数等于极限值;② lim Δ Δ →0 Δ 不存在,则称 f(x)在 x=x0 处不可导. (3)Δx 称为自变量 x 的增量,Δx 可取正值也可取负值,但不可以为 0. (4)令 x=x0+Δx,得 Δx=x-x0,于是 f'(x0)= lim f'(x0)= lim (0+Δ)-(0 ) 意义相同. Δ Δ →0 ()-(0 ) 与定义中的 → 0 0 1 2 3 2.利用导数求切线方程与以前利用方程组的解求切线方程的方法的关 系 剖析:利用导数求切线方程是求切线方程的另一种更简便的方法,以前 的方法仍可使用,但值得注意的是曲线的切线是割线的一个极限位置,是曲 线局部的性质,而切线与曲线未必只有一个公共点,并且与曲线只有一个公 共点的直线也不一定是曲线的切线,故以前的方法应谨慎使用. 1 2 3 3.利用导数求切线方程应注意的问题 剖析:(1)若在点(x0,f(x0))处的切线 l 的倾斜角为 ,此时切线平行于 y 轴, 斜率不存在,不能用上述方法求切线的方程,可根据切线的定义直接得切线 方程为 x=x0; (2)求曲线上点 P 处的切线与求过点 P 的切线有区别,求曲线上点 P 处 的切线,点 P 必为切点,求过点 P 的切线,点 P 未必是切点,可先求出切点,再 求切线方程,两者的求法有所不同. π 2 题型一 题型二 题型三 题型一 导数的概念的应用 【例题 1】 求函数 y=f(x)= 在 x=1 处的导数. 解:f(1+Δx)-f(1)= 1 + Δ -1, (1+Δ)-(1) 1+Δ-1 1 = = , Δ Δ 1+Δ+1 1 1 1 ∴lim = .∴ f'(1)= . 2 2 Δ →0 1+Δ+1 由导数的定义求导数是函数求导的基本方法. 题型一 题型二 题型三 题型二 导数的几何意义的应用 【例题 2】 (1)已知曲线 y=3x2,求过点 A(1,3)的曲线的切线方程; (2)已知曲线 y=3x2,求过点 B(1,-9)的曲线的切线方程. 分析:可以先求切线的斜率,再求切线方程.(1)点 A 在曲线上,因此过 A 点的 曲线的切线的斜率就是该函数在点 A 处的导数;(2)点 B 不在曲线上,应先求 切点,再求切线方程. 题型一 题型二 题型三 解:(1)由题意,知点 A(1,3)在曲线 y=3x2 上. Δ ∵ Δ = 3(1+Δ) -3×12 =6+3Δx, Δ 2 ∴lim Δ Δ →0 Δ = lim (6+3Δx)=6. Δ →0 ∴ 曲线在点 A(1,3)处的切线的斜率为 6

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