课本回归统计,概率,复数,推理与证明


2011 高考复习数学回归课本概率统计、复数、推理与证明

2011 高考复习数学回归课本:排列、组合、二项式定理(理) 2011 高考复习数学回归课本:排列、组合、二项式定理( 复习数学回归课本
一.考试要求:
(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理; ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. (2)排列与组合 ①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③能解决简单的实际问题. (3)二项式定理 ①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

二、练习题
1. (2010 重庆卷.理)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天. 若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的 安排方案共有( ) A、504 种 B、960 种 C、1008 种 D、1108 种 2. (2010 天津)如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色, 则不同的 涂色方法用( ) (A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种

3. .(1)在 (1 + x + x 2 )(1 ? x)10 的展开式中,常数项为
是 . (2)在 (1 ? 2 x ) 2005 的展开式中,各项系数的和等于 和等于 .
2

; x 的系数 ;各二项式系数的 .
r n n?r n b + ? + Cn b n r

4

(3)在 (1 + x )3 + (1 + x ) 4 + ??? + (1 + x ) n + 2 的展开式中, x 的系数是
小结:二项式定理

( a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b+C a
2 n

n?2

b +?+ C a
2

;

二项展开式的通项公式

Tr +1 = C a
r n

n?r

b (r = 0,2 ?,n) 1, .
r

.二项式系数具有下列性质:1、与首末两端等距离的二项式系数相等;

n n +1 n +1 2、若 n 为偶数,中间一项(第 2 +1 项)的二项式系数最大;若 n 为奇数,中间两项(第 2 和 2 +1
项)的二项式系数最大; 3、
0 1 2 n 0 2 1 3 C n + C n + C n + ? ? ? + C n = 2 n ; C n + C n + ? ? ? = C n + C n + ? ? ? = 2 n ?1 ;

高考复习数学回归课本: 复习数学回归课本 2011 高考复习数学回归课本:概率
一.考试要求:
(1)事件与概率 ① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. ② 了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型 ①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
1

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(3)随机数与几何概型 ①了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.

二.练习题
1.已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支,求: (Ⅰ) A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率.

小结:古典概率

P ( A) =

m . n

2.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的概率是 p2, 那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是( ). A. p1 p 2 B. p1 (1 ? p2 ) + p2 (1 ? p1 ) C. 1 ? p1 p 2 D. 1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 )
小结:独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A· P(A)· P(A·B)= P(A)·P(B).

取一根长为 3 米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于 1 米的概率有 3. 多大?

4.两人相约于 7 时到 8 时在公园见面,先到者等候 20 分钟就可离去,求两人能够见面的 概率。 解.

5.(2009 福建卷文)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣 ( 福建卷文) 弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。 6.课本例题:利用随机模拟方法计算 y=1 和 y = x 2 所围成部分的面 积

(2006 北京卷) 7. 2006 北京卷)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试 ( 方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及 格相互之间没有影响.求: (Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率; (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

2

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.

2011 高考复习数学回归课本:概率与统计( 复习数学回归课本 2011 高考复习数学回归课本:概率与统计(理)

一.考试要求:
1)概率 ① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念, 了解分布列对于刻画随机现象的重要性. ② 理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. ③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能 解决一些简单的实际问题. ④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方 差,并能解决一些实际问题. ⑤ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. (2)统计案例 开始 了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题. (1)独立性检验 T = 1, S = 0 了解独立性检验 (只要求 2×2 列联表) 的基本思想、 方法及其简单应用. (2)回归分析 输入x 了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 否 二.练习题 x
≤ 60?

1、(2011 长春第二次调研)某调查机构对本市小学生课业负担情况进行 了调查,设平均每人每天做作业的时间为 x 分钟.有 1000 名小学生参加 了此项调查,调查所得数据用程序框图处理,若输出的结果是 680,则 平均每天做作业的时间在 0~60 分钟内的学生的频率是( ) A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32 2.(2011 长春第二次调研) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况, 从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在 8.0 米(精确 到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后, 分成 6 组画出频率分布 直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04, 0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况. 若从今年的 高中毕业生中随机抽取两名, X 表示两人中成绩不合格 记 ... 的人数,求 X 的分布列及数学期望; (3) 经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间,乙成绩在 9.5~10.5 米之间,现甲、乙各投掷一次,求甲比乙投掷远 的概率.


T = T+ 1

S = S+ 1

否 T > 1000? 是
输出S 结束

3

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小结:1、n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
2、二项分布:记作 ξ ~B(n,p),其中 n,p 为参数, P (ξ

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k .

Eξ = np , Dξ = np (1 ? p ) .

k k = k ) = C n p k q n ? k , 并记 C n p k q n ? k = b(k ; n, p ) ;

3. (银川一中二次模拟) 右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录 . 的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应 数据.根据右表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 x 3 4 5 6 为 y = 0.7 x + 0.35 ,那么表中 t 的值为( A.3 B.3.15
小结:



) C.3.5

y

2.5

t

4

4.5

D.4.5

?= y

n n ? a + bx ,其中 ? ∑ ( xi ? x )( yi ? y ) ∑ xi yi ? nx y ?b = i =1 n = i =1n 2 ? ( xi ? x ) ∑ ∑ xi 2 ? nx 2 ? i =1 i =1 ? ?a = y ? bx

4. (银川一中二次模拟)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若 干次预赛成绩中随机抽取 8 次.记录如下: 乙:92 95 80 75 83 80 90 85 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加 合适?请说明理由; (3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于 80 分的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ .

4

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小结: Eξ = x1 P + x2 P2 + ? + xn Pn + ? , Pi ≥ 0(i = 1, 2,?) ; P + P2 + ? = 1 1 1

δξ = Dξ ; E (aξ + b) = aEξ + b; D(aξ + b) = a 2 Dξ , Dξ = Eξ 2 ? ( Eξ )2
若 ξ 服从几何分布,且 P(ξ = k ) = g ( k , p) = q k ?1 p ,则 Dξ = q . 1. p 2 Eξ = p

Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + ? + ( xn ? Eξ ) ? pn + ? ,
2 2 2

( 月测试题) 5、 湖北省武汉二中 2009 届高三 3 月测试题)某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩 服从正态分布,其密度函数为

f ( x) =
A. B. C. D.

( x ∈ R ) ,则下列命题中不正确的是 2π ?10 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 该市这次考试的数学成绩标准差为 10

1

?e

?

( x ?80)2 200

(

)

小结:正态总体的概率密度函数: 标准差;

f ( x) =

1 2π σ

( x?? )2

e

2σ 2

, x ∈ R, 式中 ? , σ 是参数,分别表示总体的平均数与

统考理 6、(湖北省孝感市 2009 届高三 3 月统考理) 2 设三个正态分布 N ?1 ,σ 1 ( σ 1 > 0 ) N ? 2 , σ 2 2 、 ( σ 2 > 0 ) N ?3 , σ 3 、

(

(

2

) (σ

)

(

)

3

> 0 )的密度函数图象

如图所示,则 ?1 、 ?2 、 ?3 按从小到大的顺序排列 .... 是______________; σ 1 、 σ 2 、 σ 3 按从小到大的顺 .... 序排列是_____________.
小结:正态曲线的性质: (1)曲线在 x= ? 时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低; (2)曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖;反过来曲线越高瘦; (3)曲线在 x 轴 上方,并且关于直线 x= ? 对称;

(2007年安徽理) 7. 2007年安徽理)以 φ (x ) 表示标准正态总体在区间( ? ∞, x )内取值的概率,若随机变量 ξ 服 (2007 从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ,则概率 P ( ξ ? ? < σ ) 等于 (A) φ ( ? + σ ) - φ ( ? ? σ ) (B) φ (1) ? φ ( ?1) (C) φ (
? ?

1? ?

小结:对于 N ( ? , σ 2 ) ,取值小于 x 的概率 F ( x ) = Φ ? x ? ? ? .
? ? σ
? ? σ ? ?

σ

) (D) 2φ ( ? + σ )

P( x1 < x0 < x 2 ) = P(x < x 2 ) ? P(x < x1 ) = F ( x2 ) ? F ( x1 ) = Φ ? x2 ? ? ? ? Φ ? x1 ? ? ? .
? ? σ ? ?

8、 2008 年全国Ⅱ理理 18)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保 、 (2008 年全国Ⅱ 18) (
5

2011 高考复习数学回归课本概率统计、复数、推理与证明

人在购买保险的一年度内出险, 则可以获得 10 000 元的赔偿金. 假定在一年度内有 10 000 人购买 了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元 的概率为 1 ? 0.999 . (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ) 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元, 为保证盈利的期望不小于 0, 求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) .
104

?c + x(?1 < x ≤ 0) ? 9、设连续型随机变量 ξ 的密度函数 f ( x) = ?c ? x(0 < x ≤ 1) ,则常数 c = ?0( x ≤ ?1或x > 1) ?
x 2 + bx + c = 0 实根的个数(重根按一个计). 2 (I)求方程 x + bx + c = 0 有实根的概率;
(II) 求 ξ 的分布列和数学期望;

.

10 ( 2007 山 东 ) 设 b和c 分 别 是 先 后 抛 掷 一 枚 骰 子 得 到 的 点 数 , 用 随 机 变 量 ξ 表 示 方 程

(III)求在先后两次出现的点数中有 6 的条件下,方程方程 x + bx + c = 0 有实根的概率.
2

11.盒中装有 5 个产品, 其中 3 个一等品,2 个二等品, 从中不放回地取产品, 每次 1 个, 求 (1)取两次,两次都取得一等品的概率;(2)取两次,第二次取得一等品的概率; (3)取三次,第三次才取得一等品的概率; (4)取两次,已知第二次取得一等品,求第一次取得的是二等品的概率.

2011 高考复习数学回归课本: 复习数学回归课本 2011 高考复习数学回归课本:复数的有关概念
(1)复数的概念 ①理解复数的基本概念.②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.
6

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(2)复数的四则运算 ①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

2011 高考复习 学回归课本:推理与证明( 复习数 2011 高考复习数学回归课本:推理与证明(理)
一、考试要求:
(1)合情推理与演绎推理 ① 了解合情推理的含义, 能利用归纳和类比等进行简单的推理, 了解合情推理在数学发现中的作 用.② 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. (2)直接证明与间接证明 ① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点. (3)数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

二、练习题
,按照严格的逻辑法则得到的 推理过程, 1、演绎推理:演绎推理是 ,③S 是 P;其中① 三段论是演绎推理的一般模式。三段论常用格式为:①M 是 P,② 是 ,它提供了一个一般性原理;②是 ,它指出了一个特殊对象;③ 是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 2.下面给出了关于复数的四种类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; ②由向量 a 的性质|a|2=a2 类比得到复数 z 的性质|z|2=z2; ③方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实数根的条件是 b2-4ac>0 可以类比得到:方 程 az2+bz+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是 b2-4ac>0; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比得到的结论错误的是 3、 (09 深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图 有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以 f ( n) 表 示 第 n 幅 图 的 蜂 巢 总 数 . 则

f (4) =_____; f (n) =___________.
4、(2008 韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的

1 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似 3

的结论是_____ _. 5.图(1)(2)(3)(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福 、 、 、 娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎” ,则 f (5) = ; f (n) ? f (n ? 1) = .( 答 案 用 数 字 或 n 的 解 析 式 表 示 )

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2011 高考复习数学回归课本概率统计、复数、推理与证明

6.已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积 ) ,则

1 r (a + b + c) ;类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,则三棱锥体 2 积 V A?BCD =

S ?ABC =

7、命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推 理错误的原因是 A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论” ,但大前提错误 D.使用了“三段论” ,但小前提错误 + 1-an 2 + 8.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an 1= (a≠1)”在验证 n=1 时,左端计算所得的 1-a 项为( )A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 1 1 1 9.用数学归纳法证明“1+ + +…+ n <n(n∈N?,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等式成立,推 2 3 2 -1 - 证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( )A.2k 1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 10、用数学归纳法证明不等式 等式左边增加的式子是

1 1 1 13 + +?+ > 的过程中,由 k 推导到 k+1 时,不 n +1 n + 2 n + n 24

2011 高考复习 复习数 回归课本: 2011 高考复习数学回归课本:算法
一、考试要求:
(1)算法的含义、程序框图 ① 了解算法的含义,了解算法的思想. ② 理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环. (2)基本算法语句 理解几种基本算法语句――输入语句、 输出语句、 赋值语句、 条件语句、 循环语句的含义.

练习题
1、读程序,说明程序的运行过程 INPUT “Please input an integer” ;x IF 9<x AND x<100 THEN a=x\10 b=x MOD 10 x=10*b+a PRINT x
8

2011 高考复习数学回归课本概率统计、复数、推理与证明

END IF END 小结:注意区分 MOD,SQR,ABS,\,/ 2、把 89 化为二进制数 3、如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于 (A)

5 4 6 5 (B) (C) (D) 4 5 5 6
m ?1 m ?1

(2010 辽宁)如果执行右面的程序框图,输入正整数 n,m, 4、 满足 n≥m,那么输出的 P 等于( ) (A) Cn (B) An (C) Cn
m

(D) An

m

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