导数及其应用1.7.1定积分在几何中的简单应用教案新人教A版选修2


§1.7.1 定积分在几何中的简单应用 教学目标: 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法; 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 教学重点: 应用定积分解决平面图形的面积; 教学难点:如何恰当选择积分变量和确定被积函数. 教学过程设计 (一) 、复习引入,激发兴趣。 【教师引入】展示精美的大桥油画,讲述古代数学家的故事及伟大发现:拱形的面积 油画图片 问:桥拱的面积如何求解呢? (二)、探究新知,揭示概念 【热身训练】练习1.计算 ? 2 ?2 4 ? x dx 2 2.计算 ? ? sin x dx 2 ? 2 ? 【热身训练】练习3.用定积分表示阴影部分面积 【学生活动】思考口答 【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案. y ? 0 ?x ? 2 ?2 4 ? x 2 dx ? 1 ? ? 22 2 ? ? sin x dx ? 0 ? ? 1 y y A y ? f 1 ( x) D b N D C x ? f1 ( y) B M O a 图1 C x ? f 2 ( y) A B x y ? f 2 ( x) b N x aM O 图2 (三) 、分析归纳,抽象概括 探究由曲线所围平面图形的面积解答思路 y A 0 a y A 0 a 曲边形 面积 A=A1-A2 b X 1 A b X a b a 2 b 曲边梯形(三条直边,一条曲边) (四) 、知识应用,深化理解 例 1.计算由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 所围成的图形的面积. 2 2 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解: ? ? ?y ? x ? ?y ? x 2 ? x ? 0及x ? 1 ,所以两曲线的交点为(0,0) 、 (1,1) , 2 面积 S= ? ? 1 0 ? 2 3 x3 ? 1 xdx ? ? x dx ,所以 S = ? ( x - x )dx ? ? x 2 ? ? = 0 0 3 ?0 3 ?3 1 2 1 2 1 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分。例 2.计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S. 分析:首先画出草图(图 1.7 一 2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.与 例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分 S1 和 S2.为了确定出被积函数和积分的上、下限,需要 求出直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2 x 的交点的横坐标,直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点. 解:作出直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 解方程组 ? 2 x 的草图,所求面积为图 1. 7 一 2 阴影部分的面积. ? ? y ? 2x , 得直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2 x 的交点的坐标为(8,4) . ? ?y ? x ? 4 直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2 ?? ? 4 0 2 xdx ? [? 8 4 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx] 4 8 2 2 3 2

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