高考数学总复习小题冲关课件(浙江专用)专题4 第2讲 数列求和及综合应用_图文


第二讲 数列求和及综合应用 本 讲 栏 目 开 1.等差、等比数列的求和公式 (1)等差数列前 n 项和公式: n? n- 1? n? a1+ an? Sn= na1+ · d= . 2 2 (2)等比数列前 n 项和公式: ① q= 1 时,Sn= na1; a1? 1- qn? ② q≠ 1 时,Sn= . 1- q 2.数列求和的方法技巧 (1)转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通 本 讲 栏 目 开 项拆开或变形, 可转化为几个等差、 等比数列或常见的数列, 即先分别求和,然后再合并. (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中 {an}, {bn}分 别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法,也就是将 一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式 本 讲 栏 目 开 可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相 加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形,将通项分裂成两项或n项的差,通过相加过 程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和. 3.数列的应用题 (1)应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背景陌生,知 识涉及面广, 因此要解好应用题, 首先应当提高阅读理解能 本 讲 栏 目 开 力, 将普通语言转化为数学语言或数学符号, 实际问题转化 为数学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决 . (2)数列应用题一般是等比、等差数列问题,其中,等比数 列涉及的范围比较广,如经济上涉及利润、成本、效益的增 减,解决该类题的关键是建立一个数列模型{an},利用该数 列的通项公式、递推公式或前 n 项和公式 . 1.(2013· 课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1= 本 讲 栏 目 开 -2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于 A.3 B.4 C.5 D.6 ( ) 解析 am=2,am+1=3,故 d=1, m?m-1? 因为 Sm=0,故 ma1+ d=0, 2 m-1 故 a1=- , 2 因为 am+am+1=5, 本 讲 栏 目 开 故 am+am+1=2a1+(2m-1)d =-(m-1)+2m-1=5, 即 m=5. 答案 C nπ 2.(2012· 福建)数列{an}的通项公式 an=ncos , 其前 n 项和为 2 Sn,则 S2 012 等于 A.1 006 本 讲 栏 目 开 ( C.503 D.0 ) B.2 012 解析 用归纳法求解. nπ ∵an=ncos 2 ,∴a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0, a6=-6,a7=0,a8=8,…. 由此易知 a4n-2=-(4n-2),a4n=4n, 且 a1+a2+a3+a4=-2+4=2, a5+a6+a7+a8=-6+8=2,…, a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n=-(4n-2)+4n=2. 本 讲 栏 目 开 又 2 012=4×503, ∴a1+a2+…+a2 012=2+2+…+2=2×503=1 006. 503 个 答案 A 3.(2012· 大纲全国)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5, ? ? 1 ? ? ? ?的前 100 项和为 S5=15,则数列 ( ) a a ? ? + ? n n 1? 100 99 99 101 A. B. C. D. 101 101 100 100 本 讲 栏 目 开 解析 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a5=5,S5=15, ?a1+4d=5, ? ? ?a1=1, ∴? ∴? 5×?5-1? ? 5a1+ d=15, ?d=1, ? 2 ? ∴an=a1+(n-1)d=n. 1 1 1 1 ∴ = = - , anan+1 n? n+1? n n+1 本 讲 栏 目 开 ? ? 1 ? ? ? ?的前 ∴数列 ? ?anan+1? ? 1 1 1 1 1 100 项和为 1-2+2-3+…+100-101 1 100 =1- = . 101 101 答案 A 4.(2012· 课标全国)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1, 则{an} 1 830 的前 60 项和为________. 解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1, 本 讲 栏 目 开 ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1, a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2- a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2- a1,a60=119-a1, ∴a1 + a2 + … + a60 = (a1 + a2 + a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) +…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234 15×?10+234? = =1 830. 2 1 5.(2013· 湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1) an- n, 2 n n∈N*,则: (1)a3=________; 本 讲 栏 目 开 (2)S1+S2+…+S100=________. 1 1 n-1 解析 ∵an=Sn-Sn-1=(-1) an- n-(-1) an-1+ n-1, 2 2 1 n n-1 ∴an=(-1) an-(-1) an-1+ n. 2 1 当 n 为偶数时,an-1=- n, 2 1 当 n 为奇数时,2an+an-1= n, 2 1 1 ∴当 n=4 时,a3=- 4=- . 2 16 n 根据以上{an}的关系式及递推式可求. 1 1 1 1 a1=- 2,a3=- 4,a5=- 6,a

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