海南省文昌中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理)


2015—2016 学年度第一学期高二年级数学(理科)段考试题
(完成时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.数列 ?an ? 满足 an = 4an - 1 + 3 且 a1 = 0 ,则此数列第4项是( A.15 B.16 C.63 ) ) D.255

2.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式成立 的是( .. A.a2>b2
b

b B. <1 a
2

C.lg(a-b)>0

?1? a<?1? D. ?3? ?3?

3.不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为( A.{x|x≥3 或 x≤—1} C.{x|x≥1 或 x≤-3}

) B.{x|—1≤x≤3} D.{x|-3≤x≤1}
0

4.在△ABC中,已知 a = 8 ,B= 60 0 ,C= 75 ,则 b 等于( A. 4 6 B. 4 5 C. 4 3

) D.

22 3

x+2y-5≤0,
5.设变量 x,y 满足约束条件

x-y-2≤0, x≥0,

则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值

为(

) B.10 C.9 D.8.5 ) 3 <1,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是( x+1 B.(2,+∞) C.[1,+∞) )

A.11 6.已知 p:x≥k,q: A.[2,+∞)

D.(-∞,-1]

7.在命题: “若 x 2 ? 4 ,则 ? 2 ? x ? 2 ”的逆否命题是( A. 若 x 2 ? 4 ,则 x ? 2 C. 若 x ? 2 ,或 x ? ?2 ,则 x 2 ? 4 8.当 x>2 时,不等式 x+ A.最小值是 8

B. 若 ? 2 ? x ? 2 ,则 x 2 ? 4 D. 若 x ? 2 ,或 x ? ?2 ,则 x 2 ? 4 ) D.最小值是 6

4 ≥a 恒成立,则实数 a 的( x-2 B.最大值是 6

C.最大值是 8

n i C 9. 如图, 在△ABC 中,D 是边 AC 上的点, 且 AB=AD,2 AB ? 3BD, BC ? 2BD , 则s
的值为( A. ) B.

3 3

3 6

1

C.

6 3

D.

6 6

10. 记实数 x1 ,x2 , …… xn 中的最大数为 max ?x1 , x2 ,......xn ? , 最小数为 min ?x1 , x2 ,......xn ? 。 已知 ABC 的三边长位 a,b,c( a ? b ? c ) ,定义它的倾斜度为

a a ab b bc cc a a ab b bc cc ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? lll? ? ?max max max ? ? min ? min min ,, ,则“ l =1”是“ ? ABC 为等边三角形”的( ? ? ? ,,, ,,, ? ? ? ? ? ? ,,, ,,, ? ? ? b b bc c ca a a b b bc cc a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A. 充要条件 C. 必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D. 既不充分也不必要条件

)

11.已知函数 f (n) ? n 2 cos(n? ) ,且 an ? f (n) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? ( A. 0 B. 5050 C. 100 D. 10200



12.在R上定义运算 ? :x ? y=x(1-y),要使不等式(x—a) ? (x+a)>1成立,则实数 a 的取 值范围是( A.—1<a<1 C. a ? ? ) B.0<a<2 D. ?

1 3 或a ? 2 2

1 3 ?a? 2 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 等差数列{a n }中, 如果 a1 ? a4 ? a7 =39 , 数列{a n }前9项的和为 a3 ? a6 ? a9 =27 , .

x+y-2≥0,
14.若 x,y 满足

kx-y+2≥0,且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为 y≥0,

.

15.在△ABC 中,B= 60 ? ,AC= 3 ,则 AB+2BC 的最大值为: 16.下列四个说法: ①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真; ②若 k>0,则方程 x +2x-k=0 有实数根; 1 1 ③“x>2”是“ < ”的充分不必要条件; x 2
2

.

④设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的充分而不必要条 件. 其中真命题的序号是__________. 三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
2

17. (本小题满分 10 分) (1)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列.求数列 {an}的通项公式; (2)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得 塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°, 并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔 的高度为多少 m.

18. (本小题满分 12 分)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N ),满足

*

anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; (2)若 bn=3
n-1

an bn

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

19.(本小题满分12分)在锐角△ ABC中,已知内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c,向

u r r u r r B cos2B,2cos2 -1?,且 m 、 n 共线. 量 m =(2sin(A+C), 3), n =? 2 ? ?
(1)求角 B 的大小; (2)如果 b=1,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值.

20. (本小题满分 12 分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(即无利息贷款),旨在帮 助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申 请总额不超过 6000 元.某大学 2010 届毕业生小飞在本科期间共申请了 24000 元助学贷 款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清.签约的单位提供的工资标准为第 一年内每月 1500 元,第 13 个月开始,每月工资比前一个月增加 5% 直到 4000 元.小飞 计划前 12 个月每个月还款额为 500,第 13 个月开始,每月还款额比前一月多 x 元. (Ⅰ)用 x 和 n 表示小飞第 n 个月的还款额 an ; (Ⅱ)当 x ? 40 时,小飞将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满 足每月 3000 元的基本生活费?(参考数据: 1.05 =2.527、 1.0520 ? 2.653 、
19

1.0521 =2.786)

21. (本小题满分12分)设 ?an ? 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn ,并且对于 ?n ? N? ,
3

都有 8S n

= (an + 2)2 。

(1)写出数列 ?an ? 的前3项;Z-X[ (2)求数列 ?an ? 的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn

=

4 m ,T n 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得T n < 对所有 n ? N? 都成 20 an ×an + 1

立的最小正整数 m 的值。

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x -2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围.

2

4

2015—2016 学年度第一学期 高二年级数学(理科)段考试题参考答案 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 A 5 B 6 B 7 D 8 B 9 D 10 C 11 B 12 C

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.99 1 14.- 2 15.2 7 16.② ③(对 1 个记 3 分,含错误选项不记分)

三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 2×1 17.解: (1)S1=a1,S2=2a1+ ×2=2a1+2, 2

S4=4a1+

4×3 ×2=4a1+12, 2
2

?????????????(2 分) ????? (4 分)

由题意得(2a1+2) =a1(4a1+12), 解得 a1=1, 所以 an=2n-1. 分) (2)如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°,得 BC=x. 在 Rt△ADB 中,∠ADB=30°, 所以 BD= 3x. 在△BDC 中,由余弦定理,得 ????(7 分)

?????????????(5

BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,
即( 3x) =x +40 -2·x·40·cos120°, 解得 x=40,所以电视塔高为 40 m. ????(10 分)
* 2 2 2

18.解: (1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N ), 所以

an+1 an - =2, 即 cn+1-cn=2. bn+1 bn

?????????? (3 分)

所以数列{cn}是以首项 c1=1,公差 d=2 的等差数列,故 cn=2n-1. ?(6 分)[Z-X (2)由 bn=3
n-1

知 an=cnbn=(2n-1)3

n-1



??????????(7 分)

于是数列{an}前 n 项和

Sn=1·30+3·31+5·32+?+(2n-1)·3n-1 ,①
①×3 得 3Sn = 1·3 + 3·3 + ? + (2n - 3)·3 ② ??(9 分)
1 2

??(8 分)
n -1

+ (2n - 1)·3 ,

n

5

①-②得 -2Sn=1+2·(3 +3 +?+3 =-2-(2n-2)3 , 分) 所以 分)
n

1

2

n-1

)-(2n-1)·3

n

????(11

Sn=(n-1)3n+1.

??????????(12

19.解: (1)∵ m ∥ n ,

u r

r

? ? ∴2sin(A+C)?2cos -1?- 3cos2B=0. 2 ? ?
2

B

????????(1 分)

又∵A+C=π -B, ∴2sinBcosB= 3cos2B, 即 sin2B= 3cos2B. ∴tan2B= 3,又∵△ABC 是锐角三角形, π π π ∴0<B< ,∴0<2B<π ,∴2B= ,故 B= . 2 3 6 π (2)由(1)知:B= ,且 b=1, 6 由余弦定理得 b =a +c -2accosB,即 a +c - 3ac=1. ∴1+ 3ac=a +c ≥2ac, 1 即(2- 3)ac≤1,∴ac≤ =2+ 3, 2- 3 当且仅当 a=c= 6+ 2 时,等号成立. 2 ???????????(10 分)
2 2 2 2 2 2 2

???????????? (3 分)

??????(6 分)

????(7 分)

1 1 2+ 3 ∴S△ABC= acsinB= ac≤ . 2 4 4 2+ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 . 4 ?????????????? (12 分)

20.

??? (4 分) (Ⅱ)设王某第 n 个月还清贷款,则

???????????? (8分)
6

????? (12分) 21.解:(1) n=1 时 8a1 = (a1 + 2)
2

∴ a1 = 2 ∴ a2 = 6 ∴ a3 = 10 ??????( 3

n=2时 8(a + a ) = (a + 2)2 1 2 2 n = 3 时 8(a + a + a ) = (a + 2)2 1 2 3 3 分) (2)∵ 8S = ( a + 2) n n
2

∴ 8S n - 1 = (an - 1 + 2) (n > 1)
2 2

2

????(4分)

两式相减得: 8an = (an + 2) - (an - 1 + 2) 即 an - an - 1 - 4an - 4an - 1 = 0 也即 (an + an - 1)(an - an - 1 - 4) = 0 ∵ an > 0 ∴ an - an - 1 = 4
2 2

即 {an } 是首项为2,公差为4的等差数列 ∴ an =2+(n—1)× 4=4n—2

????????????(6分)

?????????????????? (7分)

= (3)bn = a ?a (4n n n+1

4

4 1 1 1 1 = = ( ) 2)(4n + 2) (2n - 1)(2n + 1) 2 2n - 1 2n + 1
???????????????(8分)

∴T n = b1 + b2 + L + bn =

1 1 1 1 1 1 [(1 - ) + ( - ) + L + ( )] 2 3 3 5 2n - 1 2n + 1
???( 10

=
分) ∵T n <

1 1 1 1 1 (1 )= < 2 2n + 1 2 4n + 2 2

m 对所有n∈N+ 都成立 20



m 1 ? 20 2

即m≥10,Z-X[

故m的最小值是10.
2 2

???????????????? (12分)

22.解: (1)∵f(x)=(x-a) +5-a (a>1),
7

∴f(x)在[1,a]上是减函数. 分) 又∵定义域和值域均为[1,a], ∴ 2.

??????????(1

f?1?=a, f?a?=1.



1-2a+5=a,

a2-2a2+5=1,





a



?????????(5 分) (2)当(a+1)-a≤a-1 即 a≥2 时,又 x=a∈[1,a+1], ∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a .
2

??????(6

分) ∵对任意的 x1,x2∈[1,a+1], 总有|f(x1)-f(x2)| ≤4, ∴f(x)max-f(x)min≤4, 分) 即(6-2a)-(5-a )≤4,解得-1≤a≤3. 又 a≥2, ∴2≤a≤3.
2 2

????????????(8

???????????? (9 分)
2

若 1<a<2,f(x)max=f(a+1)=6-a ,f(x)min=f(a)=5-a .

f(x)max-f(x)min≤4 显然成立.
分) 综上 1<a≤3.

????????????(11

???????????? (12 分)

8


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