闵行新王牌 秋季周末同步提高补习班 孙D老师 高三数学 第一讲 不等式恒成立问题解题方法与策略


高三数学第一讲

不等式恒成立问题解题方法与策略

在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题, 此类问题一般综合 性强,既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来,具有形式灵活、 思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综 合驾驭知识的能力。此类问题常见解法: 一、构造函数法 在解决不等式恒成立问题时, 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数, 然后利用相 关函数的图象和性质解决问题, 同时注意在一个含多个变量的数学问题中, 需要确定合适的 变量和参数,从而揭示函数关系,使问题面目更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量 视为变量,而待求范围的量视为参数. 例 1 已知不等式 对任意的 都成立,求 的取值范围.

例 2:若不等式 x2-2mx+2m+1>0 对满足 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围。

二、分离参数法 在题目中分离出参数, 化成 a>f(x) (a<f(x)) 型恒成立问题, 再利用 a>fmax(x) (a<fmin(x)) 求出参数范围。 2 例 3.若不等式 2x>x +a 对于一切 x∈[﹣2,3]恒成立,则实数 a 的取值范围为 . 2 例 4. (杭州一模)不等式 x ﹣3>ax﹣a 对一切 3≤x≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 2 例 5. (安徽模拟)若不等式 x +ax+4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的取值范围是 . 例 6. (深圳二模) 如果对于任意的正实数 x, 不等式 恒成立, 则 a 的取值范围是 .

例 7. (2013?闵行区一模)已知不等式|x﹣a|>x﹣1 对任意 x∈[0,2]恒成立,则实数 a 的取 值范围是 . 例 8.不等式|x﹣1|≥kx﹣2 对一切实数 x 恒成立,则实数 k 的取值范围为

9. (2014?崇明县二模)如果函数 f(x)=

,g(x)=log2x,关 .

于 x 的不等式 f(x)?g(x)≥0 对于任意 x∈(0,+∞)恒成立,则实数 a 的取值范围是 例 10. (2014?普陀区二模)若函数 f(x)= +

(a 为常数) ,对于定义域内的任意

两个实数 x1、x2,恒有|f(x1)﹣f(x2)|<1 成立,用 S(a)表示满足条件的所有正整数 a 的和,则 S(a)= . 三、数型结合法 例 11:如果对任意实数 x,不等式 x ? 1 ? kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是 例 12.若对于任意实数 x 不等式 x+|x﹣2m|>4 恒成立,则实数 m 的取值范围是: 例 13:已知 a>0 且 a ? 1,当 x ? (-1,1)时,不等式 x -a <
2 x

1 恒成立,则 a 的取值范围 2
恒成立,则实数

例 14

已知函数 .

若不等式

的取值范围是-------例 15、 (2009?上海)当

时,不等式 sinπx≥kx 恒成立.则实数 k 的取值范围是-----都成立,则 a 的取值范

例 16、若不等式 logax>sin2x(a>0,a≠1)对任意 围是( A. ) B. C.

D.(0,1)

四、利用函数的最值(或值域)求解
例 17.已知函数 f(x)=2x+a,g(x)=x2﹣6x+1,对于任意的 ,使得 g(x2)<f(x1) ,则实数 a 的取值范围是 . 都存在

五、利用函数单调性求解
例 18、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对任意的 x∈[t,t+2], 不等式 恒成立,则实数 t 的取值范围是 .

例 19、 已知函数 f (x) =x3+2x, x∈R, 若不等式 f (mcosθ) +f (m﹣sinθ) ≥0, 当 时恒成立,则实数 m 的取值范围是 例 20、已知定义域为 R 的函数 . 是奇函数. (1)求 a 的值;

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

例 21.已知{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+4, (1)求公差 d 的值; (2)若 ,求数列{bn}中的最大项和最小项的值;
*



(3)若对任意的 n∈N ,都有 bn≤b8 成立,求 a1 的取值范围.

六、实战演练
1. (2012?北京怀柔区二模)当 x∈(1,2)时,不等式(x﹣1)2<logax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 2.不等式 4x+a? 2x+1≥0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是 .

3.f(x)是偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,若 x∈[ ,1]时,不等式 f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 4.已知对于任意非零实数 m,不等式|2m﹣1|+|1﹣m|≥|m|(|x﹣1|﹣|2x+3|)恒成立,求实数 x 的取值范围.

5.已知函数 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0)上的值域; (2)若函数 f(x)在[0,+∞)上不等式|f(x)|≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

6. (闸北区二模)设 x∈R,



(1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f(x)的大致图象; (2)若不等式 f(x)+f(2x)≤k 对于任意的 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

7.已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=2,任取 a、b∈[﹣1,1],a+b≠0, 都有 >0 成立 , (1)判断 f(x)的单调性,并说明理由; (3)若 f(x)≤2m2﹣2am+3 对所有的 m∈[0,3]恒成 ,

(2)解不等式 f(x)< 立,求 a 的范围.

8. (2013?闵行区二模)已知函数



(1)当 a=1 时,指出 f(x)的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由) ; x (2)当 a=1 时,求函数 y=f(2 )的零点; (3)若对任何 x∈[0,1]不等式 f(x)<0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

9.函数 f(x) (x∈R+)满足下列条件:① f(a)=1(a>1)② f(xm)=mf(x) . (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y) ; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增; (3)若不等式 f(x)+f(3﹣x)≤2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

10. (2012?虹口区二模)已知:函数 g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间 有最大值 4,最小值 1,设函数 (1)求 a、b 的值及函数 f(x)的解析式; (2)若不等式 f(2x)﹣k?2x≥0 在 时恒成立,求实数 k 的取值范围. .



11.已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x) <0 又 f(1)=﹣2. (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求证:f(x)是 R 上的减函数; (3)求 f(x)在区间[﹣3,3]上的值域; (4)若?x∈R,不等式 f(ax2)﹣2f(x)<f(x)+4 恒成立,求 a 的取值范围.

例题及习题解析: 例1 解:由 移项得: .不等式左侧与二次函数非 则不等式 恒成立 对 恒成立 . 当 对满足 时,

常相似,于是我们可以设 的一切实数



解得

故 的取值范围是

.

例 2:解:设 f(x)=x2-2mx+2m+1,本题等价于函数 f(x)在 0 ? x ? 1 上的最小值大于 0,求 m 的取值范围。(1)当 m<0 时,f(x)在[0,1]上是增函数,因此 f(0)是最小值, 解

?m ? 0 ? ?f(0) ? 2m ? 1 ? 0



?

1 <m<0 2

(2)当 0 ? m ? 1 时,f(x)在 x=m 时取得最小值



?0 ? m ? 1 ? 2 ?f(m) ? -m ? 2m ? 1 ? 0
?m ? 1 ? )2?0 ?f ( 1 ?
2

得 0?m?1

(3)当 m>1 时,f(x)在[0,1] 上是减函数,因此 f(1)是最小值 解 得 m>1,综合(1)(2)(3) 得
2 2

m??
2

1 2

例 3.解:∵ 2x>x +a,∴ a<2x﹣x ,∵ 2x﹣x ═ ﹣(x﹣1) +1 在 x∈[﹣2,3]的最小值 为﹣8,∴ 实数 a 的取值范围为 a<﹣8.故答案为 a<﹣8. 例 4. 解:∵ x2﹣3>ax﹣a 对一切 3≤x≤4 恒成立, ∴ 在 x∈[3,4]恒成立



,x∈[3,4]即 a<g(x)min



=

=

在 x∈[3,4]单调递增,故 g(x)在 x=3 时取得最小值 3,故答案为:a<3 例 5. 解:∵ 不等式 x2+ax+4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立, 立构造函数 ∴ a≥a(x)max∵ 函数 ,x∈(0,1] 在 x∈(0,1]单调递增 在 x∈(0,1]恒成

故 a(x)在 x=1 时取得最大值﹣5,故答案为:a≥﹣5 例 6. 解:对于任意的正实数 x,不等式 恒成立,即 a≥x(1﹣x) x∈(0,+∞)恒

成立.令 f(x)=x(1﹣x) ,只需 a 大于等于 f(x)的最大值. 故答案为:[ ) , 例 7.解:当 x<1,即 x﹣1<0 时,|x﹣a|>x﹣1 恒成立;所以只需考虑 x∈[1,2]. ① 当 x﹣a>0,|x﹣a|>x﹣1?x﹣a>x﹣1,∴ a<1; ② 当 x﹣a≤0,|x﹣a|>x﹣1?﹣x+a>x﹣1, ∴ a>2x﹣1 在 x∈[1,2]时恒成立,即 a>(2x﹣1)max=3. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a<1 或 a>3.故答案为:a<1 或 a>3. 例 8.解:当 x﹣1.>0 即 x>1 时,得:x﹣1≥kx﹣2, 解得 k≤1+ ,空集; 当 x﹣1 ? 0 即 x ? 1 时, 得 1﹣x≥kx﹣2,解得 k≥﹣1﹣ .所 以 k ≥﹣1 ,从而 k 的取值范围为[﹣1,1] ,故答案为:[﹣1,1] 例 9.解:当 x∈(0,1]时,g(x)=log2x≤0,∵ 关于 x 的不等式 f(x)?g(x)≥0 对于任意 x∈(0,1]恒成立,∴ f(x)=2ax﹣1≤0 在(0,1]恒成立,即有 2a≤ 恒成立,则 2a≤1, 易知当 x= 时,f(x)有最大值 ,所以只需 a

即 a≤ ;当 x>1 时,g(x)=log2x>0,∵ 关于 x 的不等式 f(x)?g(x)≥0 对于任意 x∈(1,+∞)恒成立,∴ f(x)=3ax﹣1≥0 在(1,+∞)恒成立,即有 3a≥ 恒成立, 则 3a≥1,即 a≥ .∵ 关于 x 的不等式 f(x)?g(x)≥0 对于任意 x∈(0,+∞)恒成立, ∴ a 的取值范围是:[ , ].故答案为: 例 10. 解:设 则 f(x)= ∴ ≤θ+ ≤ + ,则 = sinθ+ cosθ= , sin(θ+ , . , ) ,∵ 0≤θ≤ ,

,∴ fmax(x)=

,fmin(x)=

要使对于定义域内的任意两个实数 x1、x2,恒有|f(x1)﹣f(x2)|<1, 则 ﹣ =( ) <1,即 ,∴ a<3+ ,

∵ a 为正整数,∴ a=1,2,3,4,5,则 s(a)=1+2+3+4+5=15,故答案为:15 例 11: 解:画出 y1= x ? 1 ,y2=kx 的图像,由图可看出 0 ? k ? 1

K=1

例 解:由题意可得|x﹣2m|>4﹣x 恒成立,故函数 y=|x﹣2m|的图象横在直线 y=4﹣x 的 12. 上方,如图所示:故有 2m>4,解得 m>2,故答案为: (2,+∞) .

例 13:解:不等式 x -a <

2

x

1 x 2 1 可化为 a > x 2 2
x 2

在同一直角坐标系中做出两个函数 y1= a ,y2= x -

1 的图像。 由图可看出 2

1 ? a<1 或 1<a ? 2 2

1

例 14 解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数 不等式 方,因此,当 恒成立,所以函数 时, 所以



的图象,由于 的图象下

的图象应总在函数 故 的取值范围是

例 15、 解:设 m=sinπx,n=kx,x∈[0, ].

根据题意画图得:m≥n 恒成立即要 m 的图象要在 n 图象的上面, 当 x= 时即 πx= 例 16、 解:∵ 当 时相等,所以此时 k= =2,所以 k≤2,故答案为 k≤2

时,函数 y=logax 的图象要恒在函数 y=sin2x 图象的上方 时, ,然后它只能

∴ 0<a<1,如右图所示,当 y=logax 的图象过点 向右旋转,此时 a 在增大,但是不能大于 1,故选 B.

例 17. 解:∵ 函数 f(x)=2x+a,g(x)=x2﹣6x+1,∴ x1∈[﹣1,1]时,f(x)的值域就是 [a﹣2,a+2],要使上述范围内总能找到 x2 满足 g(x2)< f(x1) ,即 g(x)的最小值 要小于 f(x)的最小值。∵ g(x)是一个二次函数,在[﹣1,1]上单调递减, ∴ 值域为[﹣4,8],因此 a-2>-4,解得 a>﹣2.故答案为:a>﹣2. 例 18、 解:当 x≥0 时,f(x)=x2 ,∵ 函数是奇函数,∴ 当 x<0 时,f(x)=﹣x2 ∴ f(x)= ,∴ f(x)在 R 上是单调递增函数,且满足 2f(x)=f( x)在[t,t+2]恒成立,∴ x+t≥ x) ,

∵ 不等式 f(x+t)≥f(x)= f(

x 在[t,t+2]恒成

立,即:x≤(1+ )t 在[t,t+2]恒成立,∴ t+2≤(1+ )t 解得:t≥ ,故答案为:[ ,+∞) . 3 例 19、 解:∵ f(x)=x +2x,∴ f(x)递增且为奇函数,∴ f(mcosθ)+f(m﹣sinθ)≥0 即为 f(mcosθ)≥f(sinθ﹣m) ,即为 mcosθ≥sinθ﹣m 当 当 当 时, 恒成立 时恒成立

有最大值 1,∴ m≥1,故答案为:[1,+∞)

例 20、 解: (1)由题意可得函数的定义域是 R 且函数是奇函数,把 f(﹣1)=﹣f(1) ,代入 可得:a=2. (2)由(1)可得 在它的定义域是 R 是减函数,且是奇函数,则

不等式 f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0 可化为:f(mt2+1)<﹣f(1﹣mt) , 2 2 2 即 f(mt +1)<f(mt﹣1) ,∴ mt +1>mt﹣1,mt ﹣mt+2>0.﹣﹣﹣﹣﹣(*) ① 若 m=0, (*)式对一切实数显然成立; ② 若 m≠0,则:m>0 且(﹣m)2﹣8m<0,解得:0<m<8. 从而,实数 m 的取值范围是:0≤m<8,故实数 m 的取值范围[0,8) . 例 21. 解: (1)∵ S4=2S2+4,∴ ,解得 d=1, (2)∵ ∴ ,∴ 数列 an 的通项公式为 ,∵ 函数 在 和 , 上

分别是单调减函数,∴ b3<b2<b1<1,当 n≥4 时,1<bn≤b4,∴ 数列{bn}中的最大项是 b4=3,最小项是 b3=﹣1. (3)由 得 ,又函数

1.

在(﹣∞,1﹣a1)和(1﹣a1,+∞)上分别是单调减函数, * 且 x<1﹣a1 时,y<1;x>1﹣a1 时,y>1.∵ 对任意的 n∈N ,都有 bn≤b8,∴ 7<1﹣ a1<8,∴ ﹣7<a1<﹣6,∴ a1 的取值范围是(﹣7,﹣6) . 2 解:∵ 函数 y=(x﹣1) 在区间(1,2)上单调递增,∴ 当 x∈(1,2)时, 2 2 y=(x﹣1) ∈(0,1) ,若不等式(x﹣1) <logax 恒成立,则 a>1 且 1≤loga2 即 a∈(1,2],故答案为: (1,2]. 解;令 t=2x 则 t>0,f(t)=t2+at+1,对称轴为 t=﹣ , 原不等式转化为 t2+at+1≥0 对一切 t>0 恒成立,

2.

? a ?? 2 ?0 ? 须有 ? f (0) ? 0 或 ? ? 0 解得 a≥-2. ? ??0 ? ?
3. 解:∵ f(x)是偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数 ∴ f(x)在(﹣∞,0)上为减函数 当 x∈[ ,1]时,x﹣2∈[ 故 f(x﹣2)≥f(1) 若 x∈[ ,1]时,不等式 f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立, 则当 x∈[ ,1]时,|ax+1|≤1 恒成立 ,解得﹣2≤a≤0 ,故答案为[﹣2,0] 4. 解:已知对于任意非零实数 m,不等式|2m﹣1|+|1﹣m|≥|m|(|x﹣1|﹣|2x+3|)恒成立 即 恒成立 ,﹣1]

因为:

所以只需|x﹣1|﹣|2x+3|≤1 , 时,原式 1﹣x+2x+3≤1,即 x≤﹣3,所以 x≤﹣3 时,原式 1﹣x﹣2x﹣3≤1,即 x≥﹣1,所以﹣1≤x<1

① 当 ② 当

③ 当 x≥1 时,原式 x﹣1﹣2x﹣3≤1,即 x≥﹣5,所以 x≥1.综上 x 的取值范围为 (﹣∞,﹣3]∪ [﹣1,+∞) .故答案为(﹣∞, 5. 解: (1)a=1 时, (x)>f(0) ,∴ f(x)∈(3,+∞) . ]∪ [﹣1,+∞) . ,∵ f(x)在(﹣∞,0)上递减,∴ f

(2)|f(x)|≤3 即﹣3≤f(x)≤3?﹣4﹣ ?﹣4?2x﹣ ∴ 2?2x﹣ ≤a≤2?2x﹣

≤a

≤ 2﹣ 在[0,+∞)上单调递增, (x≥0) ,g′ (x)=﹣4ln2?2x﹣

,∵ 2?2x﹣

≥1;令 g(x)=?﹣4?2x﹣

ln2=

<0,所以 g(x)在[0,+∞)上单调递减,所以 ≤a≤2?2x﹣ 恒成立,得﹣5≤a≤1.

g(x)≤g(0)=﹣5.由﹣4?2x﹣ 所以实数 a 的取值范围为[﹣5,1]. 解: (1)如图 (2) ,

6.

, 恒成立.令

对于任意 x∈R, ,

则 y=t2+t(0<t≤1) ,对称轴

,则当 t=1 时,ymax=2,所以 k≥2 即可.

7. 解: (1)取 a=x1,b=﹣x2∈[﹣1,1],且 x1>x2,则 x1﹣x2=a+b>0,因为 f(x)是定义在[﹣1, 1]上的奇函数,则 f(a)+f(b)=f(x1)+f(﹣x2)=f(x1)﹣f(x2) ,所以 = 所以 f(x1)>f(x2) ,所以函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的增函数. (2)因为 f(x)是定义在[﹣1,1],且函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的增函数, ,

所以

?

,解得:

所以不等式 f(x)<

的解集为[0,



(3)因为函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的增函数,所以在[﹣1,1]上函数 f(x)的最大值为

f(1)=2,若 f(x)≤2m2﹣2am+3 对所有的 m∈[0,3]恒成立,即 2≤2m2﹣2am+3 对所有的 m∈[0,3]恒成立,也就是 2m2﹣2am+1≥0 恒成立,分离变量得: 因为 (当且仅当 ]. 时取等号) ,所以 . 恒成立,

所以所求 a 的范围是(﹣∞, 8.

解: (1)当 a=1 时,函数的单调递减区间为 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)当 a=1 时, ,由 f(2x)=0 得





解得 所以 或 x=﹣1.

(3)当 x=0 时,a 取任意实数,不等式 f(x)<0 恒成立, 故只需考虑 x∈(0,1],此时原不等式变为 故 又函数 函数 ∴ 在 在(0,1]上单调递增,∴ 上单调递减,在 ;所以 上单调递增, 即 ,

,即实数 a 的取值范围是

. 9. 解: (1)证明:令 x=am,y=an,则 f(xy)=f(aman)=f(am+n)=(m+n)f(a)=m+n, 同理,f(x)+f(y)=m+n,∴ 得证 (2)证明:任设 x1,x2∈R+,x1>x2,可令,x1=x2t(t>1) ,t=aα(α>0) 则 f(x1)﹣f(x2)=f(x2t)﹣f(x2)=f(x2)+f(t)﹣f(x2)=f(t)=f(aα) =αf(a)=α>0 ,即 f(x1)>f(x2)∴ f(x)在正实数集上单调递增 (3)f(x)+f(3﹣x)≤2 可化成,f(x)+f(3﹣x)≤2f(a)

即 f(x)+f(3﹣x)≤f(a2) ,即

,即

,而当 0<x<3 时,

依题意,有

,又 a>1∴



10. 解: (1)由于二次函数 g(x)=ax2﹣2ax+1+b 的对称轴为 x=1,

由题意得:1°

,解得







,解得

. (舍去) ∴ a=1,b=0

故 g(x)=x2﹣2x+1, (2)不等式 f(2x)﹣k?2x≥0,即 ∴ .在

. , 时,设 , ≤t≤2,且

∴k≤(t﹣1)2,由题意可得,函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},故 t≠1,即 t≠1.∵(t﹣1)2min>0,∴k≤0,即实数 k 的取值范围为(﹣∞,0]. 11.

(1)解:取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0) ,∴ f(0)=0,取 y=﹣x,则 f(x﹣x)=f(x) +f(﹣x) ,∴ f(﹣x)=﹣f(x)对任意 x∈R 恒成立,∴ f(x)为奇函数. (2)证明:任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2,则 x2﹣x1>0,f(x2)+f(﹣x1) =f(x2﹣x1)<0,∴ f(x2)<﹣f(﹣x1) ,又 f(x)为奇函数,∴ f(x1)>f(x2) . 故 f(x)为 R 上的减函数; (3)∵ f(x)为 R 上的减函数,∴ 对任意 x∈[﹣3,3],恒有 f(3)≤f(x)≤f(﹣3) , f(3)=3f(1)=﹣2×3=﹣6,∴ f(﹣3)=﹣f(3)=﹣6,故 f(x)在[﹣3,3]上最大 值为 6,最小值为﹣6.故 f(x)在区间[﹣3,3]上的值域为[﹣6,6]. (4)解:f(x)为奇函数,整理原式得 f(ax2)+2f(﹣x)<f(x)+f(﹣2) , 2 2 可得 f(ax ﹣2x)<f(x﹣2) ,而 f(x)在 R 上是减函数,所以 ax ﹣2x>x﹣2 即 ax2 ﹣3x+2>0 恒成立,① 当 a=0 时不成立, ②当 a≠0 时,有 a>0 且△<0,即 ,解得 a> .

故 a 的取值范围为( ,+∞) .


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