2014年人教A版选修4-1课件 选修4-1复习与小结_图文


知识要点 例题选讲 补充练习 自我检测 返回目录 1. 平行线等分线段定理及推论 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在 一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线 上截得的线段也相等. 推论 1 经过三角形一边的中点与另一 边平行的直线必平分第三边. 推论 2 经过梯形一腰的中点, 且与底边 平行的直线平分另一腰. 2. 平行线分线段成比例定理及推论 平行线分线段成比例定理: 三条平行线 截两条直线, 所得的对应线段成比例. 推论: 平行于三角形一边的直线截其他 两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成 比例. 3. 相似三角形的判定 预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两 边的延长线) 相交, 所构成的三角形与原三角形 相似. 3. 相似三角形的判定 判定定理 1: 两角对应相等, 两三角形相似. 判定定理 2: 两边对应成比例且夹角相等, 两三角形 相似. 判定定理 3: 三边对应成比例, 两三角形相似. 3. 相似三角形的判定 直角三角形相似: (1) 如果有一个锐角对应相等, 则两直角 三角形相似. (2) 如果两直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例, 则两直角三角形相似. 4. 相似三角形的性质 (1) 相似三角形对应高的比、对应中线的比 和对应角平分线的比都等于相似比; (2) 相似三角形周长的比等于相似比; (3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方; (4) 相似三角形外接圆、内切圆的直径比、 周长比等于相似比; (5) 相似三角形外接圆、内切圆的面积比等于 相似比的平方. 5. 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜 边上的射影的比例中项; 两直角边分别是它 们在斜边上的射影与斜边的比例中项. CD2=AD· DB. AC2=AD· AB. BC2=BD· BA. A D B C 6. 圆周角、圆心角及弦切角定理 圆周角定理: 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半. 圆心角定理: 圆心角的弧度数等于它所对弧的度数. 弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 7. 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相 等. 推论 2 半圆 (或直径) 所对的圆周角是 直角; 90? 的圆周角所对的弦是直径. 推论 3 在同圆中, 两平行弦所夹的弧相等. 8. 圆内接四边形的性质 定理1 圆的内接四边形的对角互补. 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内 对角. 9. 四点共圆的判定 (1) 如果一个四边形的对角互补, 那么 这个四边形的四个顶点共圆. (2) 如果四边形的一个外角等于它的内 对角, 那么这个四边形的四个顶点共圆. 10. 圆的切线的性质 性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径. 两个推论: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 合记为: 过圆心、过切点、垂直切线, 其中二推一. 11. 圆的切线的判定 判定定理: 经过圆的半径外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. 用距离判定: 如果圆心到一直线的距离等于圆的半径, 则圆与这条直线相切. 12. 相交弦定理与割线定理 相交弦定理: 圆内的两条相交弦, 被交 点分成的两条线段长的积相等. 割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等. B B D O A C C PA· PB=PC· PD. A P P O D 13. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长 是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项. PA· PB=PC2. P A O C B 14. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条线, 它们的切线 长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线 的夹角. A PA 切 ⊙O 于 A, PB 切 ⊙O 于B, P B O · PA=PB, ? ∠APO=∠BPO. 返回目录 例1. 如图, 直线 PB 与圆 O 相切于点 B, D 是弦 AC 上的点, ∠PBA=∠DBA. 若 AD=m, AC=n, 则 AB= . A P 分析: (1) 没有线段相等关系, 只有角相等关系, 考虑三角形相似. B (2) AB是△ABD的边, 又是△ABC 的边; AD是△ABD的边; AC是△ABC的边. D O C 即考虑△ABD∽△ACB. (3) 如果△ABD∽△ACB, 则 AB = AD , AC AB 其中只有 AB 未知, 即可求 AB. (4) 两三角形中, ∠A 公共角; 另一对角由弦切角 定理即可得. 例1. 如图, 直线 PB 与圆 O 相切于点 B, D 是弦 AC 上的点, ∠PBA=∠DBA. 若 AD=m, AC=n, 则 AB= mn . A P 解: ∵ PB 与圆 O 相切于点 B, 则∠PBA=∠BCA. 而∠PBA=∠DBA, ?∠BCA=∠DBA. 又∠A=∠A. ?△ABD∽△ACB. AB AD ? = , AC AB ?AB2=AD· AC, B D O C ? AB = AD? AC = mn . 例2. 如图, 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P, 若 PB = 1 , PC = 1 , 则 PA 2 PD 3 BC 的值为 A . B AD P 分析: 很明显, 已知和所求 O C 的线段都是△PCB和△PAD的边. D 由圆内接四边形的性质即可得 相似三角形. 例2. 如图, 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P, 若 PB = 1 , PC = 1 , 则 PA 2 PD 3 BC 的值为 6 . A B 6 AD P 解: ∵ ABCD 内接于圆 O, O C ∴∠P

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