2015-2016学年高中数学第二章23等差数列的前n项和二课时作业新人教A版必修5


§2.3 等差数列的前 n 项和(二)
课时目标 1.熟练掌握等差数列前 n 项和的性质,并能灵活运用. 2.掌握等差数列前 n 项和的最值问题. 3.理解 an 与 Sn 的关系,能根据 Sn 求 an.

1.前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系 对 任 意 数 列 {an} , Sn 是 前 n 项 和 , Sn 与 an 的 关 系 可 以 表 示 为 an =

??S1
?
??Sn-Sn-1

n= , n

2.等差数列前 n 项和公式

Sn=n

a1+an 2

n =na1+

n- 2

d.

3.等差数列前 n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中



a1>0,d<0

时,Sn

有最大值,使

Sn

取到最值的

n

可由不等式组???an≥0 ??an+1≤0

确定;



a1<0,d>0

时,Sn

有最小值,使

Sn

取到最值的

n

可由不等式组???an≤0 ??an+1≥0

确定.

(2)因为 Sn=d2n2+???a1-d2???n,若 d≠0,则从二次函数的角度看:当 d>0 时,Sn 有最小值;

当 d<0 时,Sn 有最大值;且 n 取最接近对称轴的自然数时,Sn 取到最值.

一个有用的结论:

若 Sn=an2+bn,则数列{an}是等差数列.反之亦然.

一、选择题

1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 an 等于( )

A.n

B.n2

C.2n+1

D.2n-1

答案 D

2.数列{an}为等差数列,它的前 n 项和为 Sn,若 Sn=(n+1)2+λ ,则 λ 的值是( )

A.-2

B.-1 C.0

D.1

答案 B

解析 等差数列前 n 项和 Sn 的形式为:Sn=an2+bn,

∴λ =-1.

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 为( )

A.9 B.8

C.7

D.6

答案 B

解析

由 an=?????SS1n, -Sn-1,

n=1 n≥2

,∴an=2n-10.

由 5<2k-10<8,得 7.5<k<9,∴k=8.

4.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若SS36=13,则SS162等于(

)

A.130

B.13

C.18

D.19

答案 A

解析 方法一 SS36=63aa11++135dd=13? a1=2d,

SS162=162aa11++1656dd=1224dd+ +1656dd=130.

方法二 由SS36=13,得 S6=3S3.S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 仍然是等差数列,公差为(S6

-S3)-S3=S3,从而 S9-S6=S3+2S3=3S3? S9=6S3,

S12-S9=S3+3S3=4S3? S12=10S3,所以SS162=130.

5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若aa53=59,则SS95等于(

)

A.1

B.-1

C.2

D.12

答案 A

解析 由等差数列的性质,aa53=22aa53=aa11++aa95=59,

9 ∴SS95=25
2

a1+a9 a1+a5

95 =5×9=1.

6.设{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )

A.d<0

B.a7=0

C.S9>S5

D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

答案 C

解析 由 S5<S6,得 a6=S6-S5>0.又 S6=S7? a7=0,所以 d<0. 由 S7>S8? a8<0,因此,S9-S5=a6+a7+a8+a9 =2(a7+a8)<0 即 S9<S5.
二、填空题 7.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2-n,(n∈N*),则通项 an=________. 答案 2n-2

8.在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,则前 n 项和 Sn 的最大值是________. 答案 169

解析 方法一 利用前 n 项和公式和二次函数性质.

由 S17=S9,得 25×17+127×(17-1)d=25×9+92×(9-1)d,解得 d=-2,

n 所以 Sn=25n+2(n-1)×(-2)

=-(n-13)2+169,

由二次函数性质可知,当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 方法二 先求出 d=-2,因为 a1=25>0,

由???an=25- n-



??an+1=25-2n≤0,

??n≤1312, 得???n≥1221.

所以当 n=13 时,Sn 有最大值.

S13=25×13+

- 2

×(-2)=169.

因此 Sn 的最大值为 169.

方法三 由 S17=S9,得 a10+a11+…+a17=0,

而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,

故 a13+a14=0.由方法一知 d=-2<0,

又因为 a1>0,所以 a13>0,a14<0,

故当 n=13 时,Sn 有最大值.

S13=25×13+

- 2

×(-2)=169.

因此 Sn 的最大值为 169. 9.在等差数列{an}中,已知前三项和为 15,最后三项和为 78,所有项和为 155,则项 数 n=________.

答案 10

解析 由已知,a1+a2+a3=15,an+an-1+an-2=78,两式相加,得

(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)=93,即 a1+an=31.

由 Sn=n

a1+an 2

=312n=155,得 n=10.

10.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列在 n=k 时,前 n 项和 Sn 取到最小值,则 k 的值是________.

答案 10 或 11

解析 方法一 由 S9=S12,得 d=-110a1,由?????aann=+1=a1+a1+nnd-≥0 d≤0

,得

??1-110 n-

???1-110n≤0



解得 10≤n≤11.∴当 n 为 10 或 11 时,Sn 取最小值,

∴该数列前 10 项或前 11 项的和最小.

方法二 由 S9=S12,得 d=-110a1,

由 Sn=na1+n

n- 2

d=d2n2+???a1-d2???n,

得 Sn=???-210a1???·n2+???2210a1???·n=-2a01 ???n-221???2+48401a1 (a1<0),

由二次函数性质可知 n=221=10.5 时,Sn 最小.

但 n∈N*,故 n=10 或 11 时 Sn 取得最小值.

三、解答题

11.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. 解 (1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得

??a1+2d=5, ???a1+9d=-9,

可解得?????ad1==-9,2,

所以数列{an}的通项公式为 an=11-2n.

(2)由(1)知,Sn=na1+n

n- 2

d=10n-n2.

因为 Sn=-(n-5)2+25, 所以当 n=5 时,Sn 取得最大值. 12.已知等差数列{an}中,记 Sn 是它的前 n 项和,若 S2=16,S4=24,求数列{|an|}的 前 n 项和 Tn.
??2a1+2×2 1d=16, ??? 解 由 S2=16,S4=24,得 4a1+4×2 3d=24.

即???2a1+d=16, ??2a1+3d=12.

解得???a1=9, ??d=-2.

所以等差数列{an}的通项公式为 an=11-2n (n∈N*).

(1)当 n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n.

(2)当 n≥6 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn

=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50,

故 Tn=?????-n2-n2+101n0+n

n, n

能力提升

13.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-2n2 (n∈N*),则当 n≥2 时,下列不等式成立的是( )

A.Sn>na1>nan

B.Sn>nan>na1

C.na1>Sn>nan

D.nan>Sn>na1

答案 C

解析 方法一 由 an=?????SS1n-Sn-1

n=1 n≥2



解得 an=5-4n.

∴a1=5-4×1=1,∴na1=n, ∴nan=5n-4n2,

∵na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0. Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0.

∴na1>Sn>nan.

方法二 ∵an=5-4n,

∴当 n=2 时,Sn=-2,

na1=2,nan=-6,

∴na1>Sn>nan.

14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,且 S12>0,S13<0.

(1)求公差 d 的范围;

(2)问前几项的和最大,并说明理由.

??12a1+12×2 11d>0, ? 解 (1)根据题意,有: 13a1+13×2 12d<0,
??a1+2d=12,

解之得:-274<d<-3.

(2)∵d<0,

而 S13=

a1+a13 2

=13a7<0,∴a7<0.

?? 2a1+11d>0, 整理得:?a1+6d<0,
??a1+2d=12.

又 S12=12

a1+a12 2

=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,

∴a6>0. ∴数列{an}的前 6 项和 S6 最大.

1.公式 an=Sn-Sn-1 并非对所有的 n∈N*都成立,而只对 n≥2 的正整数才成立.由 Sn 求通项公式 an=f(n)时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统
一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前 n 项和的最值 (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前 n 项和的最值,但要注意 n∈N*,结

合二次函数图象的对称性来确定 n 的值,更加直观.

(2)通项法:当 a1>0,d<0,?????aann≥+1≤0,0

时,Sn 取得最大值;当 a1<0,d>0,?????aann≤+1≥0,0

时,Sn 取得最小值. 3.求等差数列{an}前 n 项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.


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