湖北省宜昌市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线学案新人教A版2-1 精


2.3.1

双曲线及其标准方程

教学目标:1.掌握双曲线的定义及焦点、焦距的意义; 2.能熟练写出两种类型的标准方程。 教学重点:双曲线的定义及其标准方程。 教学过程: 例 1.已知双曲线的焦点坐标为 F1 (?5,0), F2 (5,0) ,双曲线上一点 P 到 F1 , F2 的距离的差的绝对值 等于 6,求双曲线的标准方程。

例 2.已知点 A( ? 3 ,0)和 B( 3 ,0) ,动点 C 到 A,B 两点的距离之差绝对值为 2,C 的轨迹 与直线 y ? x ? 2 交于 D,E 两点,求 DE 的长。

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m 的取值范围。 当堂检测:已知方程 2 ? m m ?1

例 3.求焦点为 F1 ?0,?6?, F2 ?0,6? ,且过点 P(2,-5)的双曲线的标准方程。

变式 1:设点 P 为双曲线

y2 x 2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 为焦点,且 PF 1 ? 16 ,则 PF 2 的长度为 20 16

1

变式 2:设点 P 为双曲线

y2 x 2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 为焦点,且 PF1⊥PF2,求△PF1 F2 的面积。 20 16
9 4

例 4. 已知双曲线的焦点在 y 轴上, 并且双曲线上两点 P 求双曲线的标准方程。 1 (3,?4 2 ), P2 ( ,5) ,

变式:已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线上两点 P1、P2 的坐标分别为 3,-4 2 , ? ,5? ,求双

?

??9 4
?

? ?

曲线的标准方程。

课堂练习: 1.如果

x2 y2 ? ? ?1表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 k 的取值范围是( k - 2 1- k
B. ?2,???
2 2



A. ?1,???

? C. ?- 2,1

D. ?- ?,-2? ? ?2,???

2.过双曲线 x - y ? 8 的一个焦点 F1 作垂直于 x 轴的弦 AB,若 F2 为另一个焦点,则△ABF2 的周长 为( )A. 8 ? 8 2
2

B. 16 2

C . 14 ? 8 2

D. 8 2

3. 动圆 M 与圆 C: ?x ? 2? ? y 2 ? 2 内切且过点 A(2,0) ,求动圆圆心 M 的轨迹方程。

4.求与椭圆 x ? 4y ? 4 有公共焦点,且过点 M(2,1)的双曲线标准方程。
2 2

2

2.3.2

双曲线的简单几何性质(一)

一、教学目 标:1.了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称 性、顶点、渐近线和离心率等。 2.能用双 曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 二、教学重点:双曲线的几何性质及初步运用。 三、教学过程 类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格

(三)渐近线: (四)离心率: (五)探究例题 例 1.求双曲线 9 y ?16 x ? 144 的半实轴长和半虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.
2 2

;双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔.

3

变式训练:求双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程. 4 3

例 2.已知双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 16, 离心率为

4 ,求双曲线的标准方程。 3

变式训练:求以椭圆双曲线 率、渐近线方程.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的 顶点为焦点的双曲线的方程及离心 8 5

例 3.求与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准方及离心率. 16 9

?

?

变式训练:已知双曲线与椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 64 共焦点,它的一条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 ,求双曲 线的方程。

当堂检测:已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是(-6,0) ,求它的标准方程和渐近线 方程及离心率

2.3.2 一、复习提问引入新课 1.在双曲线中,

双曲线的简单几何性质(二)

c 5 2 2 ? 且双曲线与椭圆 4 x ? 9 y ? 36 有共同焦点,则双曲线方程是 a 2

4

2.求与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准 方程及离心率. 16 9

?

?

(1) 例题探究 例 1: 双曲线型冷却塔的外形, 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图 (1 ) , 它的最小半 径 为 12m ,上口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m .试选择适当的坐标系,求出双曲线的方 程(各长度量 精确到 1m ) .

例 2. 如图 (图见上) , 设 M ? x, y ? 与定点 F ?5,0? 的距离和它到直线 l :x ? 求点 M 的轨迹方程.

16 5 的距离的比是常数 , 5 4

变式训练:设 M ? x, y ? 与定点 F ? c,0? 的距离和它到直线 l : x ?

c c a2 的距离的比是 ( ? 1) ,求点 a a c

M 的轨迹方程.

当堂检测:求与定点 A(5,0)及定直线 l: x ?

16 的比是 5:4 的点的轨迹。 5

2.3.2

双曲线的简单几何性质(三)

2 2 例 1:已知直线 l : y ? k ( x ? 1) ,双曲线 x ? y ? 4 ,试讨论实数 k 的取值范围: (1)直线 l 与双

曲线有两个公共点; (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线 l 与双曲线没有公共点。

5

变式训练:已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1, 过点 P(1,1)能否作一条直线与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 线 2

段是 AB 的中点?

例 2:过双曲线 周长。

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 ,作倾斜角为 30o 的弦 AB,求: (1) AB ; (2) ?F2 AB 的 3 6

y2 ? 1 的左焦点 F1 ,作倾斜角为 30o 的弦 AB,求: 变式训练: 过 双曲线 x ? (1 ) AB (2)?F2 AB 3
2

的周长

(三) 当堂检测: 已知过双曲线

x2 y2 ? ?1 (a>0,b>0) 的左焦点 F1 的弦 AB 的长为 t, 右焦点为 F2 , a2 b2 求 ?ABF2 的周长。精品推荐 强力推荐 值得拥有

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