陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 三角恒等变形应用举例例题讲解素材 北师大版必修4


例题讲解:三角恒等变形应用举例
sin(3? ? x) cos( x ? ? ) tan( x ? ? ) cot( cos(n? ? x) n? ? x) 2 , (n ? Z )

[例 1]已知 f ( x) ?

52? ); 3 3? 4 ) ? , 求 f (? ) 的值. (2) 若 cos(? ? 2 5
(1) 求 f ( [分析]求三角函数式的值,一般先化简,再代值计算. [略解]当 n ? 2k (n ? Z ) 时,

f ( x) ?

? sin x cos x tan x cot x ? ? sin x; cos x

当 n ? 2k ? 1(k ? Z ) 时, f ( x) ?

? sin x cos x tan x(? tan x) ? ? sin x tan 2 x. cos x 3? 4 cos(? ? ) ? ? sin ? ,? sin ? ? ? . 2 5

故当 n 为偶数时,

52? 52? 4? 3 ) ? ? sin ? ? sin ? , 3 3 3 2 4 f (? ) ? ? sin ? ? ; 5 f(
当 n 为奇数时,

52? 52? 52? 4? 4? 3 3 ) ? ? sin tan 2 . ? ? sin tan 2 ? , 3 3 3 3 3 2 sin 2 ? 9 f (? ) ? ? sin ? tan 2 ? ? ? sin ? ? ? . 2 cos ? 16 f(
[例 2]已知 tan ? ? 3, 求

3sin ? ? sin 3? 的值. 3cos ? ? cos 3?

[分析]已知三角函数式的值,求其它三角函数式的值的基本思路:考虑已知式与待求式之 间的相互转化. [略解]原式=

3sin ? ? (3sin ? ? 4sin 3 ? ) 3cos ? ? (4cos3 ? ? 3cos ? )

1

sin ? (3 ? 2sin 2 ? ) 2cos3 ? sin ? (sin 2 ? ? 3cos 2 ? ) ? 2cos3 ? 1 ? tan ? (tan 2 ? ? 3) 2 ? 18. ?
[例 3]已知 sin(? ? ? ) ?

2 1 ,sin(? ? ? ) ? . 3 5

(1) 求 tan ? cot ? 的值; (2) 当 ? ? ? ? (?

? ?

, ), ? ? ? ? (? , ) 时,求 sin 2? 的值. 2 2 2 2

? ?

[分析]从角度关系分析入手,寻求变形的思维方向.

[略解](1)

2 ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? , ? ? 3 ? 1 [方法 1] ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? , ? 5 ? 13 7 ? sin ? cos ? ? , cos ? sin ? ? . 30 30
从而, tan ? cot ? ?

sin ? cos ? 13 ? . cos ? sin ? 7 sin ? cos ? , cos ? sin ?

[方法 2]设 x ? tan ? cot ? ?

sin(? ? ? ) 10 ? ,且 sin(? ? ? ) 3 sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) cos ? cos ? tan ? ? tan ? ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan ? ? tan ? cos ? cos ? tan ? ?1 x ?1 tan ? ? ? , tan ? x ? 1 ?1 tan ?
? x ? 1 10 13 ? , ? tan ? cot ? ? x ? . x ?1 3 7
2

(2)由已知可得

sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )sin(? ? ? ) ? 4 6? 5 . 15
1 1 , cos(? ? ? ) ? , 求 tan ? tan ? 的值. 2 2

[例 4]已知 cos(? ? ? ) ?

[分析]根据问题及已知条件可先“化切为弦”。由 tan ? tan ? ?

sin ? sin ? ,只需求出 cos ? cos ?

sin ? sin ? 和 cos ? cos ? ,问题即可迎刃而解.
[略解]

1 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , ? ? 2 ? ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 , ? 3 ? 5 1 ? cos ? cos ? ? ,sin ? sin ? ? ? . 12 12

? tan ? tan ? ?
[点评]

sin ? sin ? 1 ?? . cos ? cos ? 5

对公式整体把握,可“居高临下”的审视问题。

[例 5]已知 sin ? ? cos ? ?

1 1 , cos ? ? sin ? ? , 求 sin(? ? ? ) 的值. 2 3

[分析]要想求出 sin(? ? ? ) 的值,即要求出 sin ? cos ? ? cos ? sin ? 的值,而要出现

sin ? cos ? 和 cos? sin ? ,只需对条件式两边平方相加即可。
[ 略解 ] 将两条件式分别平方,得

1 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? , 4 1 cos 2 ? ? 2 cos ? sin ? ? sin 2 ? ? . 9
将上面两式相加,得

3

13 , 36 59 ? sin(? ? ? ) ? . 72 2 ? 2sin(? ? ? ) ?
[ 例 6]已知方程 mx2 ? (2m ? 3) x ? (m ? 2) ? 0 有两根 tan ? , tan ? ,求 tan(? ? ? ) 的最小 值. [分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出 tan(? ? ? ) 关于 m 的解析式。 [ 略解]

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 3 ? m ? . 1 ? tan ? tan ? 2



?m ? 0, ? 2 ? ? (2m ? 3) ? 4m(m ? 2) ? 0,
m?

9 3? m 3 , 且m ? 0. ? ?? . 4 2 4 3 故 tan(? ? ? ) 的最小值为 ? 。 4 ? ? 3? ? 3 3? 5 ,cos( ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? , 求 sin(? ? ? ) 的 [例 7]已知 0 ? ? ? , ? ? ? 4 4 4 4 5 4 13
解得 值. [分析]注意到 (

3? ? 3? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ) ? ? (? ? ? ), 可通过 ( ? ? ) 与 ( ? ? ) 的正、余弦 4 4 4 4 2

值来求出 sin(? ? ? ) 的值。 [略解] 由已知可得

sin(? ? ? ) ? sin[(

3? ? ? ? ? ) ? ( ?? ) ? ] 4 4 2 3? ? ? ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4 3? ? 3? ? ? ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? . 13 5 13 5 65
( )

[例 8]

sin 7 ? cos15 sin 8 的值等于 cos 7 ? sin15 sin 8

4

A. 2 ? 3

B. 2 ? 3

C.

2? 3 2

D.

2? 3 2

[分析]从角度关系分析入手,尝试配凑已知角、待求角、特殊角之间的和、差、倍、半表示 式。 [略解]

原式 ? ?

sin(150 ? 80 ) ? cos150 sin 80 cos(150 ? 80 ) ? sin150 sin 80

sin150 cos80 ? cos150 sin 80 ? cos150 sin 80 cos150 cos80 ? sin150 sin 80 ? sin150 sin 80 tan 450 ? tan 300 ? tan150 ? tan(450 ? 300 ) ? 1 ? tan 450 tan 300 ? 2 ? 3.
故选 B. [例 9]求函数 f ( x) ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin( x ? 800 ) 的最小值。 [分析]注意到 ( x ? 800 ) ? ( x ? 200 ) ? 600 ,故可把 x ? 80 用 x ? 20 表示。
0 0

[略解]

f ( x) ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin[( x ? 200 ) ? 600 ] ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin( x ? 200 ) cos 600 ? 8cos( x ? 200 )sin 600 ? 7sin( x ? 200 ) ? 4 3 cos( x ? 200 ) ? 97 sin( x ? 200 ? ? ).

7 ? ?cos? ? 97 , ? 其中 ? ?sin ? ? 4 3 . ? 97 ?

故函数的最小值为 ? 97 。

[例 10] 已知 a, ? 满足方程 a cos x ? b sin x ? c, 其中 a, b, c 为常数,且 a ? b ? 0 。
2 2

求证:当 a ? ? 时, 4 cos

2

?
2

cos 2

?
2

?

(a ? c) 2 . a 2 ? b2

[分析]从角度关系分析入手,先将

? ? 、 转化为 a, ? 。 2 2

[略解]由 b sin x ? c ? cos x, 两边平方,并化简得

(a2 ? b2 )cos2 x ? 2ac cos x ? c2 ? b2 ? 0. ①
5

依题意, cos ? , cos ? 是方程①的两个实根。

? cos ? ? cos ? ?
4 cos 2

2ac c2 ? b2 cos ? ? cos ? ? . a 2 ? b2 a 2 ? b2

?
2

cos 2

?
2

? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? )
= 1 ? cos ? ? cos ? ? cos ? cos ? =

(a ? c) 2 a2 ? b2

[例 11]若

x y x y x2 y 2 cos ? ? sin ? ? 1(1), 且 sin ? ? cos ? ? 1(2), 求证: 2 ? 2 ? 2 . a b a b a b

[分析] 比较条件式与已知式,可以发现需要消去 ? . [证明] (1)? cos? ? (2) ? sin ? 得

x ? cos ? ? sin ? 。┅┅(3) a

(1)? sin ? ? (2) ?cos? 得
y ? sin ? ? cos ? 。┅┅(4) b

(3)2 ? (4)2 得

x2 y 2 ? ? 2. a 2 b2

6


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