广东省惠州市2015届高三第二次调研考试数学(文)试题含解析


广东省惠州市第一中学(惠州市)2015 届高三第二次调研考 试数学(文)试题(解析版)
【试卷综评】 本试卷试题主要注重基本知识、 基本能力、 基本方法等当面的考察, 覆盖面广, 注重数学思想方法的简单应用,试题有新意,符合课改和教改方向,能有效地测评学生,有 利于学生自我评价, 有利于指导学生的学习, 既重视双基能力培养, 侧重学生自主探究能力, 分析问题和解决问题的能力,突出应用,同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

B ? {x x 2 ? 4 ? 0} A ? { ? 3, ? 2, ? 1,0,1} 【题文】1.设集合 ,集合 ,则 A B = (
A. {?2} B. {2} C. {?2, 2} D. ?

)

【知识点】集合及其运算。A1 【答案解析】A
2 解析:方程 x ? 4 ? 0 解得 x ? ?2 ,则 B ? {?2,2} ? A

B ? {?2} ,故

选 A. 【思路点拨】先解出集合 B,再求交集。 【题文】2.复数 z ? i ? (1 ? i) ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 【知识点】复数的乘法运算;复数的几何意义。L4 【答案解析】 B ( )

D.第四象限

z ? i ? (1 ? i) ? ?1 ? i ∴ 解析: ∵ 复数 z 在复平面上对应的点的坐标为

? ?1,1? ,

位于第二象限.故选 B. 【思路点拨】先利用复数的乘法运算求出 Z,再判断即可。 【题文】3.已知命题
2

p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 4 ? 0 ,则 ? p 为
B. D.

(

)

A. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 C. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

2 ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0 2 ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0

【知识点】全称命题、特称命题.A2 【答案解析】B 解析:根据全称命题的否定是特称命题,故选 B。 【思路点拨】将全称命题改为特称命题即可。

1 AC ? 【题文】4.已知向量 AB ? (3,7) , BC ? (?2,3) ,则 2 ( ?

)

? 1 ? 5? ?? , A. ? 2 ?

?1 ? 5? ? , B. ? 2 ?

? 1 ? ? ? ,-5 ? ? C. ? 2

?1 ? ? ,-5 ? ? D. ? 2

【知识点】平面向量的坐标运算.F2

1

【答案解析】C

1 1 AC ? (? , ? 5) 2 解析: AC ? AB ? BC ? (1, 10) ,则 2 ,故选 C. ?

1 ? AC 【思路点拨】先求出向量 AC 的坐标,再计算 2 即可。
【题文】5.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( )

A. y ? ln( x ? 1)

B. y ?| x ? 1|

?1? y?? ? ?2? C.

x

D. y ? sin x ? 2 x

【知识点】函数的单调性;利用导数研究函数的单调性。B3 B12 【答案解析】D 解析: y ? ln( x ? 1) 在

?1, ??? 为增函数,故 A 错误;

y ?| x ? 1| 在 ? ??,1? 上是减函数,在 ?1, ?? ? 为增函数,故 B 错误;

?1? y?? ? ? 2 ? 是 R 上的减函数;
y? ? cos x ? 2 ? 0 ,所以 y ? sin x ? 2 x 在区间 (0, ??) 上为增函数. 故选 D.
【思路点拨】利用函数的单调性依次判断即可。

x

【题文】6.若变量 A. ? 6

x, y 满足约束条件
B. 2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
C. 3

,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( D. 4

)

【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】C 解析:由约束条件画出可行域如图所示,

1 l0 : y ? ? x 2 ,由图形可知将直线 l0 平移至 A 点取得 z 的最小值, 则根据目标函数画出直线

2

?x ? y ? 0 ?x ? 1 ? ? x ? y ? 2 ? 0 ,得 ? y ? 1 ,即 A(1, 1) 代入可得 z ? 3 .故选 C 解方程组 ?
【思路点拨】先由线性约束条件画出可行域,再由线性目标函数求得最值。

? f ( x) ? Asin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 2 ) 【题文】7.已知函数 的部分
图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 的表达式是( )

f ( x) ? 2 sin(2x ?
A.

?
3

)

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 B. f ( x) ? 2sin( x ?
D. 的图像和性质。C4

?

f ( x) ? 2sin(2 x ?
C. 【知识点】

2? ) 3

?
12

)

y ? Asin ??x ? ? ?

T 11? 5? ? ? ? ? 12 12 2 ,得 T ? ? , 【答案解析】A 解析:从图可知 A ? 2 ,且 2

??


2? 2? 5? ? ? ?2 ( , 2) ? ? T ? 2得 ,将点 12 的坐标代入函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ,且

? ??

?

?? ? f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 3 ? .故选 A. ? 3 所以函数 y ? f ( x) 的表达式为
(

5? , 2) 【思路点拨】 先由图形得到振幅 A, 然后结合半周期求出周期, 故而得到 ? ? 2 , 将点 12
的 坐 标 代 入 函 数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) , 得

? ??

?

3 , 所 以 函 数 y ? f ( x) 的 表 达 式 为

?? ? f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 3?。 ?
【题文】8.方程 x ? x ? n ? 0 ( n ?[0,1] ) 有实根的概率为 (
2



1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

3 D. 4

【知识点】几何概型.K3 解析:方程 x ? x ? n ? 0 有实数根时, ? ? 1 ? 4n ? 0 得
2

n?

【答案解析】C

1 4 ,由几何

3

P?
概型知

1 4 .故选 C. n? 1 4 ,即可求得概率。
)

【思路点拨】先通过方程 x ? x ? n ? 0 有实数根得
2

【题文】9.圆心在 (1, ? 2) ,半径为 2 5 的圆在 x 轴上截得的弦长等于 ( A. 4 3 B. 6 C. 6 2 D. 8

【知识点】直线与圆的位置关系.H4

d ? y ?2 【答案解析】D 解析:圆心 (1, ? 2) 到 x 轴的距离为 ,圆半径 r ? 2 5 ,由勾股
定理知半弦长为 r ? d ? 4 ,则弦长为 8 .故选 D.
2 2

【思路点拨】在由圆的半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中利用勾股定理即可。 【题文】10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数

y 与该班人数 x 之间的函
( )

数关系用取整函数 y ? [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为

x y ?[ ] 10 A.

y ?[
B.

x?3 ] 10

y ?[
C.

x?4 ] 10

y ?[
D.

x?5 ] 10

【知识点】函数的解析式。B1 【答案解析】B 解析:当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表,可以看作先 用该班人数除以 10 再用这个余数与 3 相加, 若和大于等于 10 就增选一名代表, 将二者合并 便得到推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系, 用取整函数

y ? ? x?

(

? x? 表示不大于

? x ? 3? y?? ? 10 ? ? .故选 B. x 的最大整数)可以表示为
【思路点拨】结合给出的新定义“取整函数

y ? ? x?

(

? x? 表示不大于 x 的最大整数) ”直接

可得结果。 二、填空题: (本大题共 5 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 【题文】11.抛物线 x ? 4 y ? 0 的准线方程是
2

.

【知识点】抛物线的准线方程.H7 【答案解析】 y ? 1
2 解析:化为抛物线的标准方程 x ? ? 4 y ,则 2 p ? 4 ,得 p ? 2 ,且

y 焦点在 轴上,所以

y?

p ?1 2 ,即准线方程为 y ? 1 .故答案为 y ? 1 。
4

【思路点拨】先把抛物线标准方程,再求出 p ? 2 ,即得准线方程。 【题文】12.在等比数列

{an } 中, a5 ? 4 , a7 ? 8 ,则 a9 ? _________.
2 a ? 16 .故答案为 16. a5 ? a9 ? a7 ,故 9

【知识点】等比数列的性质.D3 【答案解析】 16 解析:由等比数列的性质知

【思路点拨】由等比数列的性质可知结果。

【题文】13.在△ ABC 中, 【知识点】正弦定理.C8

?A ?

? 3 , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? _________.

? 【答案解析】4

AB BC sin A 2 ? sin C ? ? AB ? B ? B C BC 2 , 解析: 因为 sin C sin A , 所以 而A
?C ? ? ? ?C ? 4 .故答案为 4。



所以 ?C ? ?A ,所以

【思路点拨】直接使用正弦定理即可求得结果。 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 【题文】 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

?x ? t ? ? y ? 4 ? t ( t 为参数).以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的

极坐标方程为

? ? 4 2 sin ?? ? ? 4

? ?

?? ? ,则直线 l 和曲线 C 的公共点有_______ 个.
A

C B

【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程.N3 【答案解析】1

E

O

解析:直线 的普通方程为 x? y?4?0 ,圆的 普通方 程 为 D

? x ? 2? ? ? y ? 2?
2

2

?8

,圆心

d?

2?2? 4 12 ? ? ?1?
2

?2 2?r

到直线的距离为 ,所以直线 l 和曲线 C 相切,公共点只有 1 个. 故答案为 1. 【思路点拨】 把参数方程极坐标方程分别化成普通方程, 再利用点到直线的距离公式得出圆 心到直线的距离与半径的关系即可得出。 【题文】15.(几何证明选做题)如图,在半径为 3 的圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂 足为 E ( E 在 A 、 O 之间). 若 CE ? 5 ,则 AE ? ________.

5

【知识点】与圆有关的比例线段.N1 【 答 案 解 析 】 1

? 解 析 : 因 为 CE ? 5 , 且 O C

? r3 , 所 以

OE ? OC 2 ? CE 2 ? 32 ?

? 5?

2

?2


2

所以 AE ? OA ? OE ? 3 ? 2 ? 1 . 或者由相交弦定理 AE ? BE ? CE ? DE ? ( 5) ? 5 , 即 AE ? (2r ? AE ) ? 5 ,且 AE ? r ,得 AE ? 1 .故答案为 1. 【思路点拨】先求出 OE,然后直接利用相交弦定理求出 AE 即可。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 【题文】16.(本小题满分 12 分)

设向量

a?

?

3 sin x,sin x

0, ? , b ? ?cos x,sin x ? , x ? ? ? 2? ?.

? ??

(1)若

a ?b

,求 x 的值;

(2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的最大值. 【知识点】三角函数的性质;平面向量的模。C3 F3

x?
【答案解析】 (1) 解析:(1)由

?
6; (2)

3 2
, .......... (1 分)

a ? ( 3 sin x)2 ? (sin x)2 ? 2 sin 2 x


b ? (cos x)2 ? (sin x)2 ? 1
a ?b
sin 2 x ?
,得

............(2 分)



1 4.

? ?? 1 x ? ?0, ? sin x ? ? 2 ? ,从而 2, 又
x?
所以

.............(4 分)

?
6
.............(6 分)

f ( x) ? a ? b ? 3 sin x ? cos x ? sin 2 x ?
(2)

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2 ,

..............(9 分)

6

? ? ? 5? ? ? ?? 2 x ? ? ?? , ? x ? ?0, ? 6 ? 6 6 ? ? 2 ? 时, 当
2x ?
所以当

?
6

?

?
2

, 即x ?

?

sin(2 x ? ) 3 时, 6 取得最大值 1

?

.......(11 分)

3 所以 f ( x) 的最大值为 2 .

...........(12 分)

【思路点拨】 (1)借助于

a ?b

sin 2 x ?
,得

1 4 ,再解可得结果; (2)先化简整理得到函

数 f ( x) ,再求最大值即可。 【题文】17.(本小题满分 12 分) 移动公司在国庆期间推出 4G 套餐, 对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠, 优惠方案如下: 选择套餐一的客户可获得优惠 200 元, 选择套餐二的客户可获得优惠 500 元, 选择套餐三的 客户可获得优惠 300 元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示, 现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; (2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 入 网 人 6 人,再从该 6 人中随机选出两人,求这两人获得相 数 150 等优惠金额的概率. 【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概 100 率;频率分布直方图.I2K1

P( A) ?
【答案解析】(1)

5 4 P( B) ? 6 ; (2) 15

5 0 套 1 2 套餐 3 套 餐 种 套餐

解析: (1)设事件 A =“某人获得优惠金额不低于 300 元”, ……………1 分

P( A) ?


150 ? 100 5 ? 50 ? 150 ? 100 6 .

……………4 分

(2)设事件 B =“从这 6 人中选出两人,他们获得相等优惠金额” , ……………5 分 由题意按分层抽样方式选出的 6 人中,获得优惠 200 元的 1 人,获得优惠 500 元的 3 人, 获得优惠 300 元的 2 人, ……………6 分 分别记为

a1 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 ,从中选出两人的所有基本事件如下:

a1b1 , a1b2 , a1b3 , a1c1 , a1c2 , b1b2 , b1b3 , b1c1 , b1c2 , b2b3 , b2 c1 , b2c2 , b3c1 , b3c2 , c1c2 ,共 15 个.
其中使得事件 B 成立的为 ……………9 分 ……………10 分

b1b2 , b1b3 , b2b3 , c1c2 ,共 4 个
7

P( B) ?


4 15 .

……………12 分

【思路点拨】(1) 利用古典概型公式,即可得到结论; (2)由题意按分层抽样方式选出的 6 人中,获得优惠 200 元的 1 人,获得优惠 500 元的 3 人,获得优惠 300 元的 2 人,列举基 本事件,即可求这两人获得相等优惠金额的概率. 【题文】18.(本小题满分 14 分)

?BAD ? 60 ,AC 如图, 菱形 ABCD 的边长为 6 ,

BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC

折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (1)求证: OM // 平面 ABD ; (2)求三棱锥 M ? ABD 的体积. B A O D 【知识点】线面平行的判定定理;棱柱、棱锥、棱台的体积.G4G7 C O D C B M A

9 3 【答案解析】(1)见解析; (2) 2
解析: (1)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . ……2 分 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD ,………4 分 所以 OM // 平面 ABD . ……………6 分 ……………7 分

(2)三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM . 又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM

…………8 分 …………9 分 …………10 分 ……………11 分

AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,即 OD ? 平面 ABM

所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.
8

1 1 3 9 3 BA ? BM ? sin120 ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 ,……13 分 ?ABM 的面积为 S?ABM = 2 1 9 3 ? S?ABM ? OD ? V = V ? 2 . 所求体积等于 M ? ABD D? ABM 3

……………14 分

【思路点拨】(1) 由题意可得 OM // AB ,再利用线面垂直的性质可得 OM // 平面 ABD . (2) 先利用已知条件证明出 OD ? 平面 ABM ,则 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高,再利用体 积公式计算即可。 【题文】19.(本小题满分 14 分)

{a } S 已知数列 n 的前 n 项和为 n ,且满足
1 } S n (1)求证:数列 是等差数列; {
(2)求

a1 ?

1 2 , an ? ?2Sn ? Sn?1 ( n ? 2 且 n ? N * ).

Sn 和 an .
?1 , ( n ? 1, n ? N ? ) ? ?2 an ? ? 1 ?? , ( n ? 2, n ? N ? ) ? ? 2n(n ? 1)
……………2 分

【知识点】等差数列的判定;数列的通项;数列的求和.D2D4

【答案解析】(1) 见解析; (2)

sn ?

1 2n ,

解析: (1)证明:当 n ? 2 时,

an ? sn ? sn?1 ? ?2sn sn?1 ,①

? sn (1 ? 2sn?1 ) ? sn?1

由上式知若

sn?1 ? 0 ,则 sn ? 0

s1 ? a1 ? 0 ,由递推关系知 sn ? 0(n ? N ? ) ,
1 1 ? ?2 s s n ? 2 n n ? 1 ∴ 由① 式可得:当 时, 1 1 1 { } ? ?2 s s a1 n 1 ∴ 是等差数列,其中首项为 ,公差为 2 . 1 1 1 ? ? 2(n ? 1) ? ? 2(n ? 1) ? sn ? 1 sn s1 a1 2n . ,
an ? sn ? sn ?1 ? ? 1 2n(n ? 1) ,

……………4 分

……………6 分

(2)

……………8 分

当 n ? 2 时,

………10 分

9

当 n ? 1 时,

a1 ? s1 ?

1 2 不适合上式,

………12 分



?1 ? , (n ? 1 n ,? N ) ? ?2 an ? ? 1 ? ?? , (n ? 2 n ,? N ) n? 1) ? ? 2n (

………14 分

【思路点拨】(1) 由题意利用递推关系即可证明; (2)由(1)可知其通项公式以及前 n 项和。 【题文】20.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 C 过点 动点,且

M (1,

6 ) 2 ,点 F (? 2,0) 是椭圆的左焦点,点 P 、 Q 是椭圆 C 上的两个


PF



MF

QF

成等差数列.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A . 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8

x2 y 2 ? ?1 2 【答案解析】(1) 4 ; (2)见解析
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 解析:(1)设椭圆 C 的方程为 a ,
6 ? ? ? 1 ? 4 ?1 ? a 2 b2 ? 2 2 ? ?a ? b ? 2

…………1 分

由已知,得

…………2 分

?a 2 ? 4 ? 2 b ?2 解得 ?

…………3 分

x2 y 2 ? ?1 2 ∴ 椭圆的标准方程为 4 .

……………4 分

x2 y 2 ? ?1 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,由椭圆的标准方程为 4 2 (2)证明:设 ,

可知

PF ? ( x1 ? 2)2 ? y12 ? ( x1 ? 2)2 ? 2 ?

x12 2 ? 2? x1 2 2 ,

…………5 分

10

QF ? 2 ?
同理

2 x2 2 ,

…………6 分

MF ? (1 ? 2)2 ? (

6 2 2 ) ? 2? 2 2 ,
? 2(2 ?


…………7 分

2 MF ? PF ? QF
? x1 ? x2 ? 2 .

2 2 ) ? 4? ( x1 ? x2 ) 2 2 ,
………… 8 分

? x12 ? 2 y12 ? 4 ? 2 2 x ? 2 y2 ? 4 x12 ? x22 ? 2( y12 ? y22 ) ? 0 x ? x 1 2 (ⅰ )当 时,由 ? 2 得 ,

?

y1 ? y2 1 x ?x ?? 1 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 . kPQ ? y1 ? y2 1 ?? x1 ? x2 2n ,
…………11 分

设线段 PQ 的中点为 N (1, n) ,由

得线段 PQ 的中垂线方程为 y ? n ? 2n( x ? 1) ,

?(2 x ? 1)n ? y ? 0 ,该直线恒过一定点

1 A( , 0) 2 .

…………12 分

x ? x2 时, (ⅱ )当 1

P(1, ?

6 6 6 6 ) ) Q (1, ) P (1, ) Q (1, ? 2 , 2 , 2 或 2 ,

1 A( , 0) 线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 2 .
综上,线段 PQ 的中垂线过定点 (2)问【解法二】 (ⅰ )若 PQ 斜率存在时: 设 PQ 直线为 y ? kx ? b

1 A( , 0) 2 .

…………14 分

? y ? kx ? b ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 ? y ? 4 2 联立 ,消 得: (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 4 ? 0 ……………5 分

11

?4kb ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x ? x ? 2b ? 4 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则: ? ? 1 2 1 ? 2k 2 设点
由于 | PF | ? | QF |? 2 | MF | 且

(3) (4)
……………6 分

x1 ?[?2, 2], x2 ?[?2, 2]

| PF |? 2 ?
所以

2 2 x2 x1 | QF |? 2 ? 2 2 , e? 2 2 , a ? 2, xM ? 1 | MF |? 2 ? 2 2 ,故
………………8 分

又因为 可得

| MF |? e ? xM ? a ,其中

x1 ? x2 ? 2 ,从而 y1 ? y2 ? 2k ? 2b

1 ? 2k 2 b? x ? x2 ? 2 得 ?2k 由(3)式及 1
所以直线 PQ 的中垂线为

y?

y1 ? y2 1 ? (x ? x ) ? ? ? ?x ? 1 2 ? 2 k? 2 ? ……………10 分

1 1 y ? ? (x ? ) k 2 化简得 1 A( , 0) 2

……………11 分

故:直线 PQ 的中垂线过定点

……………12 分 ……………14 分

(ⅱ )若 PQ 斜率不存在时:同解法一。

【思路点拨】(1) 设出椭圆方程,再由已知列出关于 a,b 的方程组,解之即得椭圆的标准方 程; (2)先设

P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 2 MF ? PF ? QF ,得出 x1 ? x2 ? 2 ,然后做出判

断即可。 【题文】21.(本小题满分 14 分)

设函数

f ? x ? ? a ln x ?

1? a 2 x ? bx y ? f ? x? ?1, f ?1?? 处的切 2 , a ? R 且 a ? 1 . 曲线 在点

线的斜率为 0 . (1)求 b 的值;

(2)若存在

x ??1, ???

,使得

f ? x? ?

a a ? 1 ,求 a 的取值范围.

12

【知识点】利用导数研究曲线上某点的切线方程;利用导数研究函数的单调性。B12 【答案解析】(1) b ? 1 (2)

??

2 ? 1, 2 ? 1

?

?1, ?? ?
……2 分

解析: (Ⅰ ) 由曲线 即

f ?? x? ?

a ? ?1 ? a ? x ? b x ,

y ? f ? x?

在点

?1, f ?1?? 处的切线的斜率为 f ? ?1? ? 0 ,得 f ? ?1? ? 0 ,………3 分
……………4 分 .

a ? ?1 ? a ? ? b ? 0

, b ? 1.

(Ⅱ )由 b ? 1 ,得

x ??1, ??? x ??1, ???
2

f ?? x? ?

?1 ? a ? x ? x ? a ? ? x ? 1? ? a ??1 ? a ? x ? a ? ? ? ?1 ? a ? x ? 1 ? (a ? 1) x x x
,得

………5 分



f ? ? x? ? 0
a?

x1 ? 1 ,

x2 ?

a a 2a ? 1 ?1 ? 1? a . 且 1? a 1? a

……………7 分

①当

1 a ?1 ?1, ??? 上, f ? x ? 为增函数, 2 时, 1 ? a ,在 ? f ?1? ? 1? a ?a ? 1 ?1 ? 2 2 ,

? f ? x ??

min

?a ? 1 a ? a ? 1 ,即 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 . 令 2 1 a ? a ?1 ?1 ②当 2 时, 1 ? a ,

……………9 分

x
f ? ? x?

(1,

a ) 1? a

a 1? a
0
极小值

a ( , ? ?) 1? a

?


?


f ? x?

? f ? x ??

min

a a2 a a ? a ? ?f? ? a ln ? ? ? ? 1 ? a 2 ?1 ? a ? a ?1 a ?1 ? 1? a ?
……………11 分

不合题意,无解.

?1, ??? 上, f ? ? x? ? 0 , f ? x ? 为减函数, ③当 a ? 1 时,在

? f ? x ??

max

? f ?1? ?

1? a ?a ? 1 ?1 ? 2 2
13

f ?1? ?

?a ? 1 a ? 2 a ? 1 恒成立,则符合题意.

……………13 分 . ……………14 分

综上, a 的取值范围是

??

2 ? 1, 2 ? 1

?

?1, ?? ?

【思路点拨】(1) 先求导,则 k= 点,然后对 a 分类讨论即可。

f ? ?1? ? 0

,即可求得切线方程;(2)求导后列表找到极值

14


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