2019精选教育版高中全程复习方略课时提能演练:24二次函数(北师大版·数学理).doc


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比例,答案解析附后。
课时提能演练(七)

(45 分钟 100 分)

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)

1.(2019·滁州模拟)若 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 的图像关于 y 轴对称,则 f(x)

在(-3,1)上( )

(A)单调递增

(B)单调递减

(C)先增后减

(D)先减后增

2.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( )

(A)f(2)<f(1)<f(4)

(B)f(1)<f(2)<f(4)

(C)f(2)<f(4)<f(1)

(D)f(4)<f(2)<f(1)

3.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能是( )

4.(易错题)已知 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2+3x+2,若当x∈[1,3]

时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最小值是( )

(A)2

(B)94

(C)34

1 (D)4[来源:1ZXXK]

5.(预测题)若不等式

x2+ax+1≥0

对于一切

1 x∈(0,2]恒成立,则

a

的最小值

是( )

(A)0

(B)2

5 (C)-2

(D)-3

第-1-页

6.(2019·咸阳模拟)若函数 y= (a-1)x2-(a+2)x+8在[1,2]上为减函数,则

a 的取值范围是( )

(A)[0,1)∪(1,2]

(B)[0,2]

(C)[-2,2]

(D)(-∞,2]

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

7.(2019·宿州模拟)已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,m,n 是方程 f(x)=0 的两

根,且 a<b,m<n,则实数 a、b、m、n 的大小关系是

.

8.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],

则该函数的解析式 f(x)=

.

[来源:1]

9.若函数

y=x2-3x-4

25 的定义域为[0,m],值域为[- 4 ,-4],则

m

的取值范

围为

.

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分)

10.(2019·上饶模拟)求函数 y=x2-2ax-1 在[0,2]上的值域.

11.(2019·宝鸡模拟)已知函数 f(x)=x2+bx+2.

(1)若当 x∈[-1,4]时,f(x)≥b+3 恒成立,求 f(x);

(2)若函数 f(x)的定义域与值域都是[0,2],求 b 的值.

【探究创新】

(16 分)已知直线 AB 过 x 轴上一点 A(2,0)且与抛物线 y=ax2 相交于 B(1,-1)、C

两点.

(1)求直线和抛物线对应的函数解析式.

(2)问抛物线上是否存在一点 D,使 S△OAD=S△OBC?若存在,请求出 D 点坐标,若不存在,

第-2-页

请说明理由.

答案解析

1.【解析】选 C.∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3 的图像关于 y 轴对称,∴m=0, ∴f(x)=-x2+3,∴f(x)在(-3,1)上先增后减. 2.【解析】选 A.依题意,函数 f(x)=x2+b x+c 的对称轴方程为 x=2,且 f(x)在 [2,+∞)上为增函数,因为 f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),2<3<4, ∴f(2)<f(3)<f(4),即 f(2)<f(1)<f(4). 3.【解题指南】在二次函数中,a 的正负与函数图像的开口有关,c 的值与函数

b 与 y 轴交点的纵坐标有关,ab 或 与函数图像的对称轴有关.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
a

b 【解析】选 D.由 D 选项的二次函数图像可知,a>0,c<0,且对称轴- >0,
2a
所以 b<0,满足 abc>0,故 D 正确;同理可判断 A、B、C 错误.
4.【解析】选 B.依题意知:设 m′、n′分别为函数 f(x)在[1,3]上的最大值与最小值,
又因为 f(x)为奇函数且当 x<0 时,f(x)=x2+3x+2,m′、n′分别为函数 f(x)在[-
1 3,-1]上的最小值与最大值的相反数,显然 m′= ,n′=-2,则 m-n 的最小
4

9 值即为 m′-n′= .
4
5.【解析】选 C.方法一:设 g(a)=ax+x2+1,
1 ∵x∈(0, ],∴g(a)为单调递增函数.
2
第-3-页

1

11

5

当 x= 时满足: a+ +1≥0 即可,解得 a≥- .

2

24

2

1

1

方法二:由 x2+ax+1≥0 得 a≥-(x+ )在(0, ]上恒成立,

x

2

1

1

令 g(x)=-(x+ ),则知 g(x)在(0, ]为增函数,

x

2

15

5

∴g(x)max=g(2)=-2,∴a≥-2.

【方法技巧】关于二元不等式恒成立问题的求解技巧 (1)变换主元法:求解二元不等式,在其中一个元所在范围内恒成立问题,当正 面思考较繁或难以入手时,我们可以变换主元,将问题转化为求解关于另一个 变量的函数的最值或值域问题,从而求解. (2)分离参数法:根据题设条件将参数(或含有参数的式子)分离到不等式的左边, 从而将问题转化为求不等式右边函数的最值问 题. 6.【解析】选 B.令 g(x)=(a-1)x2-(a+2)x+8, 要使 y= g(x)在[1,2]上为减函数,则

?? a+2 ≤1 ? 当 a-1<0 即 a<1 时,需 2(a-1)
??g(2)≥0

,可得 0≤a<1.

当 a-1=0 即 a=1 时,y= -3x+8,显然在[1,2]上为减函数,故符合要求.

第-4-页

?? a+2 ≥2

? 当 a-1>0 即 a>1 时,需 2(a-1)



??g(2)≥0

可得 1<a≤2,综上可知,0≤a≤2. 7.【解析】∵m,n 是方程 f(x)=0 的两根, ∴f(m)=f(n)=0,又 f(a)=f(b)<0,且 a<b,m<n, 结合图像可知:m<a<b<n. 答案:m<a<b<n 8【. 解题指南】化简 f(x),函数 f(x)为偶函数,则一次项系数为 0 可求 b.值域为(- ∞,4],则最大值为 4,可求 a,即可求出解析式. 【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2 是偶函数,则其图像关 于 y 轴对称, ∴2a+ab=0,∴b=-2 或 a=0(舍去). 又∵f(x)=-2x2+2a2 且值域为(-∞,4], ∴2a2=4,f(x)=-2x2+4. 答案:-2x2+4
3 25 9.【解题指南】可作出函数 y=(x- )2- 的图像,数形结合求解.
24
3 25 【解析】y=x2-3x-4=(x- )2- ,
24

第-5-页

3

3

25

对称轴为 x= ,当 x= 时,y=- ,

2

2

4

3 ∴m≥ ,而当 x=3 时,y=-4,∴m≤3.
2

3 综上: ≤m≤3.
2

3 答案: ≤m≤3
2
10.【解析】令 y=f(x)=x2-2ax-1, 由已知得:函数 y=x2-2ax-1 的对称轴为:x=a, 因为已知函数的定义域为[0,2], 所以结合其图像分以下四种情况讨论: ①当 a<0 时,ymin=f(0)=-1,ymax=f(2)=4-4a-1=3-4a,所以函数的值域 为[-1,3-4a]. ②当 0≤a≤1 时,ymi n=f(a)=-(a2+1), ymax=f(2)=3-4a,所以函数的值域为[-(a2+1),3-4a]. ③当 1<a≤2 时,ymin=f(a)=-(a2+1),ymax=f(0)=-1,所以函数的值域为[来源:1] [-(a2+1),-1]. ④当 a>2 时,ymin=f(2)=3-4a, ymax=f(0)=-1,所以函数的值域为[3-4a,-1] 综上得:a<0 时,所求值域为[-1,3-4a]; 0≤a≤1 时,所求值域为[-(a2+1),3-4a];
第-6-页

1<a≤2 时,所求值域为[-(a2+1),-1]; a>2 时,所求值域为[3-4a,-1]. 11.【解析】(1)由于 f(1)=b+3,且当 x∈[-1,4]时,f(x)≥f(1)恒成立,
b 故函数 f(x)图像的对称轴为 x=1,于是有- =1, 得 b=-2,故 f(x)=x2-2x
2
+2
b (2)由于 x∈[0,2]时,f(x)∈[0,2],因此 b<0,函数 f(x)图像的对称轴 x=- >0,
2

??f(2)=6+2b=0

?Δ=b2-8=0 ?b

? 由条件得 b ??-2≥2

? 或 0<- <2 2 ??f(2)=6+2b≤2



解得 b=-2 2.

故 b 的值为-2 2.

【探究创新】

【解析】(1)设直线对应的函数解析式为 y=kx+b,由题知,直线过点 A(2,0),

B(1,-1),



?2k ? b ? 0

??k

?

b

?

, ?1

解得

k=1,b=-2. [来源:Zxxk.Com]

∴直线的解析式为 y=x-2,

又抛物线 y=ax2 过点 B(1,-1),∴a=-1. 第-7-页

∴抛物线的解析式为 y=-x2.

(2)直线与抛物线相交于

B、C

两点,故由方程组

?y ??y

? ?

x?2 ?x2

,

解得

B、C 两点坐标为 B(1,-1),C(-2,-4).由图像可知,S△OBC=S△OAC

-S△OAB= 1 ×|-4|×2- 1 ×|-1|×2=3.假设抛物线上存在一点 D,使 S

2

2

△OAD=S△OBC,可设 D(t,-t2),∴S△OAD= 1 ×2×t2=t2,
2

∴t2=3,∴t= 3 或 t=- 3 .

即存在这样的点 D( 3 ,-3)或(- 3 ,-3).

第-8-页


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