2018_2019学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2第2课时函数奇偶性的应用课件人教必修1_图文


第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用 学习目标 1.掌握利用函数的奇偶性求参数值.(重点、难点) 2.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法.(重点) 3.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求 最值、解不等式等综合问题.(难点) 1.奇函数y=f(x)的定义域为[a,a+4],则a=________. 解析:∵a+(a+4)=0,∴a=-2. 答案:-2 2.若函数f(x)是偶函数且f(2)=3,则f(-2)=________. 解析:∵函数f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2)=3. 答案:3 3.若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有f(x)在(0,+ ∞)上是______函数. 解析:借助偶函数的图象. 答案:增 4.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则 f(x)在[-b,-a]上是____函数,且有最小值____. 解析:借助奇函数的图象. 答案:增 -M 5.函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数,则实数m=________. 解析:由f(-x)=f(x),可知m=0. 答案:0 利用函数的奇偶性求参数值 若函数f(x)=ax2+(b-1)x+3a+b是偶函数,定义 域为[a-1,2a],则a+b等于( ) 1 A. 3 4 C. 3 2 B. 3 D.2 思路点拨:(1)偶函数f(x)的定义域为[a-1,2a],那么a-1 与2a有什么关系?(a-1与2a互为相反数,即(a-1)+2a=0) (2)函数f(x)为偶函数,那么f(-x)与f(x)有什么关系?(f(-x) =f(x),即f(x)-f(-x)=0) 解析:因为定义域[a-1,2a]关于原点对称,所以(a-1)+ 2a=0, 1 解得 a= . 3 1 2 所以 f(x)= x +(b-1)x+1+b. 3 又因为 f(-x)=f(x), 1 2 1 2 所以 x -(b-1)x+1+b= x +(b-1)x+1+b. 3 3 由对应项系数相等, 得-(b-1)=b-1. 所以 b=1. 4 所以 a+b= .故选 C. 3 答案:C 利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略 (1)定义域含参:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定 义域关于原点对称,可以利用a+b=0求参数. (2)解析式含参:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比 较系数可解. 1.函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则a=______. 解析:因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 即ax2-2x=-ax2-2x, 由对应项系数相等得,a=0. 答案:0 利用函数的奇偶性求函数解析式(或函数值) 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1 -x),求函数f(x)的解析式. 思路点拨:先将x>0时的解析式转化到x<0上求解,同时 注意根据f(x)是定义在R上的奇函数求得f(0). 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0, ∴f(x)=-f(-x)=x(1+x). ∴函数 f(x)的解析式为 ?x?1+x??x>0?, ? f(x)=?0?x=0?, ?x?1-x??x<0?. ? 【互动探究】 若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是 偶函数,f(0)=0”,其他条件不变,则f(x)的解析式又是什么? 解:设 x>0,则-x<0, ∴f(x)=f(-x)=-x(1+x). 又 f(0)=0, ?x?1-x??x<0?, ? ∴f(x)=?0?x=0?, ?-x?1+x??x>0?. ? 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个 区间内. (2)转化代入已知区间的解析式. (3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而解出 f ( x) . 注意:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时,则必有 f(0)=0,但若为偶函数,则未必有f(0)=0. 函数的奇偶性与单调性 设定义在 [-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调 递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围. f?m?+ 思路点拨: → f?1-m?<f?m? → 列不等式组 f?m-1?>0 → 解得m的范围 解: 由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1), 即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[-2,2]上为奇函数,∴ f(x)在[-2,2]上为减函数. ?-2≤m-1≤2, ? ∴?-2≤m≤2, ?1-m>m, ? 1 解得-1≤m< . 2 ? ?-1≤m≤3, ?-2≤m≤2, 即? ? 1 m< , ? ? 2 1.函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在 [-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性. (2)若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在 [-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性. 2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等 式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再利用单调性脱掉 “f”求解. (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调 性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数 自身定义域对参数的影响. 2 .设定义在 [ - 2,2] 上的偶函数 g(x) ,当 x≥0 时, g(x) 单调 递减,若g(1-m)<g(m)成立,求m的取值范围. 解:∵g(x)在[-2,2]上为偶函数,∴g(

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