2014年高考数学走出题海之黄金30题系列 专题02 新题精选30题(理)(解析版)Word版含解析


2014 年高考数学走出题海之黄金 30 题系列

一、选择题 1.设 a , b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ? A.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】

1 1 ? b ? ”成立的( a b
D.充要条件

)

B.必要不充分条件

【考点定位】充分必要条件. 2.已知命题 p:“? x∈R,? m∈R,使 4x+2x· m+1=0”.若命题 p 为真命题,则实数 m 的 取值范围是
[

A. (-∞,-2] (2,+∞) 【答案】A 【解析】

B. [2,+∞)

C. (-∞,-2)

D.

3.已知 0 ? a ? 1 ,则 a 2 、 2 、 log 2 a 的大小关系是(
a


2

A. a ? 2 ? log 2 a
2

a

B. 2 ? a ? log 2 a
a

C. log 2 a ? a ? 2
2

a

D. 2 ? log 2 a ? a
a

2

4.已知 x,y∈R,i 为虚数单位.若 A.2+i B.1+2i

x =1-yi,则 x+yi=( 1? i
C.1-2i

) D.2-i

5.若点 P (a, b) 在函数 y ? ? x2 ? 3ln x 的图像上,点 Q (c, d ) 在函数 y ? x ? 2 的图像上, 则 (a - c) + (b - d ) 的最小值为( (A) 2 【答案】D 【解析】 (B) 2
2 2

) (C) 2 2 (D)8

6.右图可能是下列哪个函数的图象( )

A.y=2x-x2-1 【答案】C 【解析】

B. y ?

2 x sin x 4x ?1

C.y=(x2-2x)ex

D. y ?

x ln x

? log 2 x , ? 7.已知函数 f ? x ? ? ? ? sin( x), ? ? 4

0? x?2 2 ? x ? 10
,若存在实数 x1 , x2 , x3 , x4 满足

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ( x4 ) ,且 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则
( ) B.(9,21) C.(8,24)

( x3 ? 1) ? ( x4 ? 1) 的取值范围 x1 ? x2

A.(20,32) 【答案】B 【解析】 试题分析:如图:

D.(15,25)

8. 已知函数 f ( x) ? m sin x ? n cos x , 且 f ( ) 是它的最大值, (其中 m、 n 为常数且 mn ? 0 )

?

6

给出下列命题: ① f (x ?

?
3

) 是偶函数; ②函数 f ( x ) 的图象关于点 (

3? 8? ) , 0) 对称; ③ f (? 2 3

是函数 f ( x ) 的最小值;④ 其中真命题有( A. ①②③④ 【答案】D 【解析】 )

m 3 . ? n 3
B.②③ C. ①②④ D.②④

【考点定位】三角函数的性质。 9.已知 f ( x) ? A. a ? b ? 0 【答案】C 【解析】

1 ? sin 2 x ,若 a ? f (lg 5) , b ? f (lg 0.2) 则下列正确的是( ) 2
B. a ? b ? 0 C. a ? b ? 1 D. a ? b ? 1

10.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4sin x cos x( x ? R) 的最小正周期为(
3

) .

A.

?
2

B.

?
4

C.

?
8

D. ?

【答案】 A 【解析】 试题分析: f ( x) ? sin 2 x ? 4sin x cos x ? sin 2 x(1 ? 2sin x) ? sin 2 x cos 2 x ?
3 2

1 sin 4 x , 2

所以所求函数的最小正周期为

?
2

,选 A .

【考点定位】二倍角的三角函数公式,三角函数的性质.

?y ? 2 ? 0 x? y?6 ? 11.已知 x,y 满足 ? x ? 3 ? 0 ,则 的取值范围是( x?4 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.?0, ? 7 【答案】C 【解析】

)

? 3? ? ?

B. ?0, ? 7

? 6? ? ?

C.?1,

? 13? ? 7? ?

D.? 2,

? 20 ? ? 7? ?

【考点定位】线性规划问题。 12.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积等于( )

(A)2 【答案】B 【解析】

(B)4

(C)8

(D)12

试题分析:解:由三视图可知该几何体是四棱锥,其底面是长为 3,宽为 2 的矩形,高为 2, 所以 V ?

1 1 sh ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 4 3 3

故应选 B. 【考点定位】1、空间几何体的三视图与直观图;2、棱锥的体积. 13.一个半径为 1 有球体经过切割后,剩下部分几何体的三视图如图所示,则剩下部分几何 体的表面积为( )

A.

13? 3

B.

15? 4

C. 4?

D.

9? 2

【答案】D 【解析】

14.已知点 F ( 2 ,0) , A(?1,0), B(1,0) ,直线 x ?

2 上有两个动点 M 、N ,始终使 2

?MFN ? 45? ,三角形 MFN 的外心轨迹为曲线 C , P 为曲线 C 在一象限内的动点,设 ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?APB ? ? ,则(
A. tan ? ? tan ? ? tan ? ? 0 C. tan ? ? tan ? ? 2 tan ? ? 0 【答案】C 【解析】 试题分析: 依题意设 M ( )

B. tan ? ? tan ? ? tan ? ? 0 D. tan ? ? tan ? ? 2 tan ? ? 0

y ? y2 2 2 则有 y ? 1 , y1 ), N ( , y2 ) ,?MFN 的外心为 Q( x, y) , 2 2 2

2 2 即 y1 ? y2 ? 2 y ,又由 QM ? QF 得 QM ? QF 即

(x ?

y ?y 3 2 2 ) ? ( y ? y1 )2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ,将 y ? 1 2 代入化简得 2 x ? y1 y2 ? ? 0 即 2 2 2

3 y1 y2 ? 2 x ? ,在 ?MFN 中,由余弦定理可得 2

所以 tan ? ? tan ? ? 2 tan ? ?

y0 y y y ? 0 ? ( 0 ? 0 ) ? 0 ,故选 C. x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

【考点定位】1.动点的轨迹;2.直线的斜率;3.两角和的正切公式.

15.已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2, A, B 为期左右顶点,点 P 为双曲 a 2 b2

线 C 在第一象限的任意一点,点 O 为坐标原点,若 PA, PB, PO 的斜率为 k1 , k2 , k3 ,则

m ? k1k2 k3 的取值范围为(
A. 0,3 3 D. ? 0,8?

) B. 0, 3

?

?

?

?

C. ? 0,

? ? ?

3? ? 9 ? ?

16.如图是求

1 2? 2? 1 ? 1 2

(共 6 个 2)的值的程序框图,图中的判断框中应填(

)

(A)i≤5? 【答案】A

(B)i<5?

(C)i≥5?

(D)i>5?

【解析】由于所给计算的表达式中共有 6 个 2,故只需 5 次循环即可,由此控制循环次数的变 量 i 应满足 i≤5. 【考点定位】程序框图. 17.执行如图所示的程序框图,输入的 N=2014,则输出的 S=( )

A.2011 【答案】C 【解析】

B.2012

C.2013

D.2014

二、填空题 18. 已知 OB ? ? 2, 0? , OC ? ? 2, 2? , CA ? ( 2 cos?,2 sin ? ) ,则 OA 与 OB 的夹角的取值 范围是__ 【答案】 [ 【解析】 试题分析:法一、 OA ? OC ? CA ? (2 ? 2 cos ? , 2 ? 2 sin ? ) ,设 A( x, y) ,则 __.

, ] 12 12

? 5?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ,所以点 A 在以 C 为圆心 2 为半径的圆上. ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?
作出图形如下图所示,从图可知 OA 与 OB 的夹角的取值范围是 [

, ]. 12 12

? 5?

【考点定位】向量. 三、解答题 19.设函数 f ( x) ? (1 ? x)? 的定义域是 [?1, ??) ,其中常数 ? ? 0 . (1)若 ? ? 1 ,求 y ? f ( x) 的过原点的切线方程. (2)当 ? ? 2 时,求最大实数 A ,使不等式 f ( x) ? 1 ? ? x ? Ax2 对 x ? 0 恒成立.
* (3)证明当 ? ? 1 时,对任何 n ? N ,有 1 ?

1 n ?1 k ? 1 ? ? ? (( k ) ? k ) ? ? . n k ?2

(1)切线方程为 y ? ? x ? 1 和 y ? 【答案】 (3)详见解析. 【解析】

??
(? ? 1)
? ?1

x?(

? ? ) .(2) A 的最大值是 ? ?1

.

? 明 1 ? (1 ? x) ? ? x ? ? .故令 h( x) ? f ( x) ? ? x ,然后利用导数求 h( x) ? f ( x) ? ? x 在区间

[?1, 0] 上范围即可.

试题解析:(1) f ?( x) ? ? (1 ? x)? ?1 .若切点为原点,由 f ?(0) ? ? 知切线方程为 y ? ? x ? 1 ;

.

若 有 在 若 ,即

,则 在

,由



对 对

恒成立,从而对 恒成立,从而



单调增,从而 对 ,由 恒成立. 知存在 ,使得

单调增, ,则 恒成立,即



1 ? 1 ? (1 ? )? ? ? ? , , 2 2 1 ? 1 ? (1 ? )? ? ? ? , 3 3

1 ? 1 ? (1 ? )? ? ? ? , 4 4 1 ? 1 ? (1 ? )? ? ? ? , 5 5
…………………………

1 ? (1 ?

1 ? ? ) ? ?? , n ?1 n ?1

将以上不等式相加得: n ?

1 ? ? 1 n ?1 k ? 1 ? ? ,即 (1 ? ) ? ? n ? 1 ? ? ? (( k ) ? k ) ? ? . k k n k ?2 k ?2
n ?1

【考点定位】导数及其应用. 20.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2a(?1) k ln x(k ? N ? , a ? R且a ? 0), (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 k ? 2014 时,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值;
2 (3)当 k ? 2013 时,证明: 对一切 x ? (0,??) ,都有 f ( x) ? x ? 2a (

1 2 ? ) 成立. x e ex

【答案】详见解析 【解析】

(2)若 k ? 2014 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ? N* ) .
2 记 g ? x ? ? f ? x ? ? 2ax ? x ? 2ax ln x ? 2ax g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x

若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解;

令 g ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? ax ? a ? 0 .因为 当 x ? (0, x2 ) 时,

2 2 a ? 0, x ? 0 ,所以 x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 (舍去) , x 2 ? a ? a ? 4a . 2 2

g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递

(3)当 k ? 2013 时, 问题等价证明 x ln x ?

x 2 ? ( x ? (0, ??)) ex e 1 e 1 时取到, e

由导数可求 ? ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 设 m( x) ?

x 2 1? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x , x e e e

21.已知函数 f ( x) ? x ?

1 , g ( x) ? a ln x(a ? R) . x 1 2

(1)a≥-2 时,求 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间; (2)设 h(x)=f(x)+g(x),且 h(x)有两个极值点为 x1 , x2 ,其中 x1 ? (0, ] ,求 h( x1 ) ? h( x2 ) 的最小值. 【答案】 (1)详见解析; (2) 5ln 2 ? 3 .

【解析】

最小值即可,对 H ( x ) 求导,判断函数 H ( x ) 的单调性,求出函数 H ( x ) 的最小值即为所求. 试题解析: (1) 由题意 F ( x) ? x ? 2分
2 对于 m( x) ? x ? ax ? 1,有 ? ? a 2 ? 4 .

x 2 ? ax ? 1 1 ? a ln x ,其定义域为 ?0, ? ?? ,则 F ?( x) ? , x x2

① 当 ? 2 ? a ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,∴F ( x) 的单调增区间为 (0,??) ; ② 当 a ? 2 时, F ?( x) ? 0 的两根为 x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? 2 2

由题 h?( x) ? 0 两根分别为 x1 , x2 ,则有 x2 ? x2 ? 1 , x1 ? x2 ? ?a ,

8分

∴x2 ?

1 1 ,从而有 a ? ? x1 ? x1 x1

22.已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin2x+

cos4x .(1)求 f(x)的最小正周期及最大值.

(2)设 A,B,C 为△ ABC 的三个内角,若 cosB=

,f(

)=-

,且角 A 为钝角,求 sinC.

【答案】(1) 【解析】

; (2)

.

(2)∵ f(

)=-





sin(4×

+

)=-

sin(2A+

)=-

【考点定位】1、三角恒等变换;2、解三角形. 23.在△ ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c ,已知 sin A ? sin C ? p ? sin B ( p?R) ,且 ac ? (1)当 p ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4

(2)若 B 为锐角,求实数 p 的取值范围.

1 ?a ? 1 , ? ? 6 ? ? ?a ? , ?. 【答案】(1) ? (2) p ? ? , 2 4 ; 1 或? ? 2 ? c ? ? ? ? 4 ? ? ?c ? 1 .
【解析】

(2)由余弦定理, b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2accos B , (1 分)
2 2 2 即b ? p b ?

1 2 b (1 ? cos B ) , 2

(2 分) (4 分)

2 所以 p ?

3 1 ? cos B . 2 2

由 B 是锐角,得 cos B ? (0 , 1) ,所以 p 2 ? ?

?3 ? , 2? . ?2 ?
(7 分)

(6 分)

由题意知 p ? 0 ,所以 p ? ?

? 6 ? ?. , 2 ? 2 ? ? ?

【考点定位】 (1)正弦定理; (2)余弦定理及三角函数值的范围. 24.设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2, a2n ? 2an ? 1 . (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设数列{ bn }满足

b1 b2 b3 ? ? ? a1 a2 a3

?

bn 1 ? 1 ? n , n ? N * ,求{ bn }的前 n 项和 Tn; an 2
2n ? 3 1 ; (3) K ? . n 2 2

(3)是否存在实数 K,使得 Tn ? K 恒成立.若有,求出 K 的最大值,若没有,说明理由. 【答案】 (1)an=2n﹣1,n∈ N*; (2) Tn ? 3 ? 【解析】

试题分析: (1)由于{an}是等差数列,故只需求出其首项 a1 和公差 d 即可得其通项公式.由 S4=4S2,a2n=2an+1 得方程组: ?

?4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ,这个方程组中,看起 ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1

来有 3 个未知数,但 n 抵消了(如果

解得 a1=1,d=2. ∴ an=2n﹣1,n∈ N*. (2)由已知

b1 b2 b3 ? ? ? a1 a2 a3

?

bn 1 ? 1 ? n , n ? N * ,得: an 2

当 n=1 时,

b1 1 ? , a1 2 bn 1 1 1 ? (1 ? n ) ? (1 ? n?1 ) ? n ,显然,n=1 时符合. an 2 2 2

当 n≥2 时,



2n ? 1 bn 1 N*,由(1)知,an=2n﹣1,n∈ N*.∴bn ? ,n∈ N*. ? n ,n∈ n 2 an 2 1 3 5 ? 2? 3? 2 2 2 ? 2n ? 1 1 1 3 5 ,∴ Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? n 2 2 2 2 2 ? 2n ? 1 , 2n ?1

又 Tn ?

25.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 , 列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)已知 bn ? log3

1 1 ,3a 2 成等差数列, a 2 , a 3 , a 6 成等比数 2 3

1 ,记 Sn ? b1 ? b2 ? an
? 1 1 1 1? ? ? 3 6

? bn ,
,求证: T2014 ? 1013.

Tn ? 1 ?

1 ? ? 1 1 1 1? 1? ? 3 3 6

1

1 ? Sn

【答案】 (1) an ?

1 ; (2)参考解析 3n

1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? 3 6 Sn

? 2(1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ) 2 2 3 n n ?1

?

1 1 (1 ? ) 2 n
.即可得到 Tn .又由于

1 1 1 1 ? n ? ??? ? n ?1 ? n ? 2n ? 1 .即可得到结论. n 2 2 ?1 2 ?1 2

? 试题解析:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,依题意可得 ?
1 . 3n

? 2a1 ? 3a2 ? 1 1 1 1 2 解得 a1 ? , q ? . 3 3 a2 a6 ? ( a3 ) ? 3 ?

所以通项 an ?

(2)由(1)得 bn ? log3

1 ? log3 3n ? n . an

【考点定位】1.等差数列、等比数列的性质.2.数列的求和.3.数列与不等式的知识交汇.4.归纳 递推的思想. 26.如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面

ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2.

(1)求证: AM ∥ 平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面BDE ;

(3)求点 D 到平面 BEC 的距离. 【答案】 (1)见解析(2)见解析(3) 【解析】

6 3

试题解析: (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥CD ,且 MN ? 由已知 AB ∥CD , AB ?

1 CD . 2

1 CD , 2
3分

所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 4分

又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM ∥ 平面 BEC . 5分

(2)在正方形 ADEF 中, ED ? AD .

(3)解法一:因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BDE ? 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ? 12 分

11 分

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE ? BE

2 3

?

6 3

【考点定位】勾股定理线面平行,线面垂直等体积法 27.如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折 起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM .

(1)求证: AD ? BM ; (2) 若点 E 是线段 DB 上的一动点, 问点 E 在何位置时, 二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

5 . 5

【答案】(1)详见解析;(2)中点. 【解析】

? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2? ?,B? ? ?,M ? ? ?,D? 0, ?则 A? , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 0 , ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 2 2? ? AD ? BM AD ? ? ? ? 2 ,0,2 ?, BM ? 0,2 ,0 , 所以, AD ? BM ? 0 ,故 ? ?

?

?

7分

1, 0) (2)设 DE ? ? DB ,因为平面 AMD 的一个法向量 n=(0,

ME ? MD ? ? DB ? (

2 2 2 2 2 ? ?, ?, ? ? ) , AM ? (? 2,0,0) 2 2 2 2 2

【考点定位】1.空间向量求线线垂直;2.空间向量求二面角. 28.已知抛物线 x2 ? 4 y ,直线 l : y ? x ? 2 , F 是抛物线的焦点. (1)在抛物线上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最小; (2)如图,过点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点. ① 若直线 AB 的倾斜角为 135 ,求弦 AB 的长度; ② 若直线 AO、BO 分别交直线 l 于 M , N 两点,求 | MN | 的最小值.

【答案】 (1) P (2,1) ;(2)①| AB |? 8 ;②| MN | 的最小值是

8 2 . 5

由题可知:

1 x ? 1,? x ? 2, y ? 1 2

x ? 同理由 ? y ? 2 x 8 ? xN ? 4 ? 4 ? x2 ? ?y ? x ? 2

9分

所以 | MN |?

1 ? 12 | xM ? xN |?

2|

8 8 ? | 4 ? x1 4 ? x2

?8 2|

x1 ? x2 | ① 10 分 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1x2

综上: | MN | 的最小值是

8 2 。 14 分 5

【考点定位】抛物线的几何性质,弦长公式,数形结合的数学思想. 29.已知抛物线 y ? 4 x .
2

(1)若圆心在抛物线 y ? 4 x 上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线 x ? 1 ? 0 相切,求
2

所有的圆都经过的定点坐标; (2)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,若过 F 点的直线与抛物线相交于 M , N 两点,若
2

FM ? ?4FN ,求直线 MN 的斜率;
(3)若过 F 点且相互垂直的两条直线 l1 , l2 ,抛物线与 l1 交于点 P 1, P 2 , 与 l 2 交于点 Q 1 , Q2 . 证明:无论如何取直线 l1 , l2 ,都有 【答案】 (1) (1, 0) ; (2) ? 【解析】 试题分析: (1)本题考查抛物线的定义,由于直线 x ? 1 ? 0 是已知抛物线的的准线,而圆心 在抛物线上的

1 1 为一常数. ? PP Q1Q2 1 2

4 ; (3)证明见解析. 3

试题解析:(1) 由定义可得定点(1,0);(4 分) (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 FM ? ?4FN ,得 y1 ? ?4 y2 (5 分) 由方程组 ?

? y ? k ( x ? 1) 2 ,得 ky ? 4 y ? 4k ? 0 2 ? y ? 4x

4 ? ? y1 ? y2 ? 得? k (7 分) ? ? y1 y2 ? ?4

【考点定位】(1)抛物线的定义; (2)直线和与抛物线相交与向量的应用;(3)圆锥曲线综合 问题. 30.为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念,某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用 公共自行车出行公共自行车按每车每次的租用时间进行收费,具体收费标准如下: ① 租用时间不超过 1 小时,免费; ② 租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,收费 1 元;

③ 租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,收费 2 元; ④ 租用时间超过 3 小时的时段,按每小时 2 元收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)已知 甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过 3 小时,设甲、乙 租用时间不超过 1 小时的概率分别是 0.4 和 0.5 ,租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的 概率分别是 0.5 和 0.3. (1)求甲、乙两人所付租车费相同的概率; (2)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? 【答案】 (1)0.37; (2)所以 ? 的分布列为:
?

0 0.2

1 0.37

2 0.28

3 0.13

4 0.02

P
?

的数学期望 E? ? 1.4

【解析】

即事件 A2 B2 ? A 1B3 ? A 3B 1

? ? 3 表示甲乙共付 3 元车费, 即甲付 1 元乙付 2 元或甲付 2 元乙付 1 元, 即事件 A2 B3 ? A3 B2 ? ? 4 表示甲乙共付 4 元车费,即甲付 2 元乙付 2 元,即事件 A3 B3
由此可求出随机变量 ? 的分布列,并由公式求出 E? . 试题解析:

所以 ? 的分布列为:
?

0 0.2

1 0.37

2 0.28

3 0.13

4 0.02

P

? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.2 ? 1? 0.37 ? 2 ? 0.28 ? 3 ? 0.13 ? 4 ? 0.02 ? 1.4 ,11 分

答:甲、乙两人所付租车费相同的概率为 0.37, ? 的数学期望 E ? =1.4. 12 分 【考点定位】1、互斥事件、独立事件、和事件;2、离散型随机变量的分布列与数学期望.


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