【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:5.5 解斜三角形(共33张PPT)_图文


§5.5

解斜三角形

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.正、余弦定理
定理 内容 正弦定理
a b c = = =2R sin A sin B sin C _______________________________

余弦定理 b2+c2-2bccos A a2=_______________; a2+c2-2accos B b2=_______________; a2+b2-2abcos C c2=________________

变形 形式

①a=________,b=__________, 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C c=__________; b2+c2-a2 cos A= ; a b c 2bc ②sin A= , B= , C= ; sin sin 2R 2R 2R a2+c2-b2 cos B= ; (其中 R 是△ABC 外接圆半径) 2ac sin A∶sin B∶sin C ③a∶b∶c=__________________; a2+b2-c2 cos C= ④asin B=bsin A,bsin C=csin B, 2ab asin C=csin A

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2.已知a,b和A解三角形时,解的情况如下: A为锐角 A为钝角 或直角

图形

关系式 a<bsin A
解的个 数 无解

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b
一解

a≤ a>b b 一 解 无 解
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3.三角形面积公式 1 常用的三角形面积公式有:S△= aha(ha 表示 a 边上的高). 2 1 absin C 1 1 abc 2 S△ =____________= acsin B= bcsin A= . 2 2 4R 1 S△ = r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2 1 S△ = p?p-a??p-b??p-c?,其中 p= (a+b+c). 2

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4.实际问题中的有关术语、名称 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角(如图①).

(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位

角为α(如图②).
(3)坡度:坡面与水平面的二面角的度数(锐角).

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思考探究 1.在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的什么条件?“A> B”是“cos A<cos B”的什么条件? 提示:在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,

“A>B”是“cos A<cos B”的充要条件.
2.余弦定理c2=a2+b2-2abcos C与勾股定理c2=a2+b2有什 么关系? 提示:当C=90°,即c为Rt△ABC的斜边时,c2=a2+b2-2abcos C就是勾股定理,所以勾股定理是余弦定理的特殊情况.

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课前热身 1.(教材改编)在△ABC 中,A=60° ,BC=4 3,AC=4 2,
则( ) B.B=135° D.以上都不对

A.B=45° 135° 或 C.B=45°

答案:C

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2. (2011· 高考重庆卷)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b, c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为( 4 A. 3 C.1 B.8-4 3 2 D. 3 )

解析:选 A.由(a+b)2-c2=4 得(a2+b2-c2)+2ab=4.① ∵a2+b2-c2=2abcos C, 故方程①化为 2ab(1+cos C)=4. 2 ∴ab= . 1+cos C 4 又∵C=60° ,∴ab= . 3
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3 3.已知△ABC 中,b=2,c= 3,三角形面积 S= ,则角 A 2 等于( A.30° C.30° 150° 或 ) B.60° D.60° 120° 或

答案:D

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4.(2012· 高考上海卷)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,

则△ABC的形状是(
A.锐角三角形 C.钝角三角形

)
B.直角三角形 D.不能确定

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a b c 解析:选 C.由正弦定理知 = = =2R, sin A sin B sin C a b c ∴sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R ∵sin2A+sin2B<sin2C, a2 b 2 c2 ∴ 2 + 2 < 2, 4R 4R 4R a2+b2-c2 ∴a2+b2<c2,∴cos C= <0, 2ab ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.

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5.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1, BC=4,则边BC上的中线AD的长为________.
答案: 3

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 用正、余弦定理解三角形

在三角形中,用正弦定理、余弦定理建立角边关系或实现边 角转化.

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例1

(2011· 高考山东卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边

cos A-2cos C 2c-a 分别为 a,b,c.已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 sin C 【思路分析】 第(1)问因要求的是 的值,可考虑运用正弦 sin A

定理,将边化为角.再注意在△ABC 中,A+B+C=π,问题 不难求解.第(2)问可考虑运用余弦定理求解.
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a b c 【解】 (1)由正弦定理,可设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 = = , b ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = , cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). sin C 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A.因此 =2. sin A

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sin C (2)由 =2,得 c=2a. sin A 1 由余弦定理 b =a +c -2ac· B 及 cos B= , cos 4 1 2 2 2 2 2 2 得 b =a +c -2accos B=a +4a -4a × =4a2. 4
2 2 2

所以 b=2a. 又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2.

【名师点评】

本题考查正、余弦定理、三角恒等变换等基

础知识,运用正弦定理实现边角关系的转化是解决本题的关键.

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考点2

判定三角形的形状

用正弦定理或余弦定理把已知条件转化成纯角度关系或纯边 的关系,结合特殊三角形的性质判定.

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例2 已知在△ABC 中,A,B,C 为三个内角,a,b,c 分
π π b sin 2C 别为对应的三条边, <C< 且 = . 3 2 a-b sin A-sin 2C 判断△ABC 的形状.

【思路分析】

把a,b化为角的形式,利用角的关系判定.

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【解】 ∵b=2Rsin B,a=2Rsin A. b 2Rsin B sin B ∴ = = . a-b 2Rsin A-2Rsin B sin A-sin B b sin 2C 又∵ = , a-b sin A-sin 2C ∴sin 2C=sin B.∴2C=B 或 2C=π-B. π π 2 ∵ <C< ,∴ π<2C<π. 3 2 3 3 若 2C=B,则 π<B+C< π 与 A+B+C=π 矛盾. 2 ∴只有 2C=π-B,∴B+2C=π,∴A=C. ∴△ABC 为等腰三角形. π π 【误区警示】 对于本题要根据 <C< ,舍去 2C=B,否则 3 2
产生增解.
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跟踪训练
b+c 2A 如果例 2 中的条件改为 =2cos , 该三角形是什么三角形? 2 c b+c 解:由已知可得 1+cos A= , c b ∴cos A= . c sin B 由正弦定理,得 cos A= , sin C 即 cos Asin C=sin(A+C), 整理得 sin Acos C=0. π ∵sin A≠0,∴cos C=0,∴C= . 2 故△ABC 为直角三角形.

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考点3

用正、余弦定理解实际问题

在实际生活中,对于无法测量的角度、距离、高度等问题,

用解三角形求得.

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例3 某电力部门在抗洪救灾的某项工程中,需要在 A、B 两 地之间架设高压电线,因地理条件限制,不能直接测量 A、B
两地的距离.现测量人员在相距 3 km 的 C、D 两地(假设 A、 B、C、D 在同一平面上)测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ ADC=30° ∠ADB=45° , (如图), 假如考虑到电线的自然下垂和 4 施工损耗等原因,实际所需电线长度大约是 A、B 距离的 倍, 3 问施工单位至少应该准备多长的电线?

【思路分析】 余弦定理求AB.

在△BCD中由正弦定理求BC,在△ABC中由
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【解】 在△ACD 中, 由已知可得∠CAD=30° ∠ACD=120° , , 所以 AC= 3.在△BCD 中,由已知可得∠CBD=60° , 6+ 2 sin 75° =sin(45° +30° )= , 4 3sin 75° 6+ 2 由正弦定理可得,BC= = . sin 60° 2 6- 2 又 cos 75° =cos(45° +30° )= , 4 在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· cos∠BCA BC· 6+ 2 2 6+ 2 2 =( 3) +( ) -2× 3× ×cos 75° =5, 2 2 4 所以 AB= 5,故施工单位至少应该准备电线 5 km. 3
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【思维总结】 的关键.

本题是求距离问题,合理选用三角形是解题

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方法感悟
方法技巧 1.解斜三角形的四种常见类型及一般解法
应用定 理 一边和两角( 正弦定 如a,B,C) 理 余弦定 两边和夹角( 理正弦 如a,b,C) 定理 余弦定 三边(a,b,c) 理 两边和其中一 正弦定 边的对角(如a,理余弦 b,A) 定理

已知条件

一般解法
由A+B+C=180°,求角A;由正弦定理 求出b与c.在有解时只有一解. 由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出a边 或b边所对的角;再由A+B+C=180°求出 另一角.在有解时只有一解. 由余弦定理求出角A,B;再利用A+B+C =180°,求出角C.在有解时只有一解. 由正弦定理求出角B;由A+B+C=180°, 求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求c. 可能有两解、一解或无解.

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2.判断三角形形状的常见题型及解法如下. (1)在△ABC中,给定三角形的三边a、b、c(a<b<c)或三边的比, 判断三角形的形状,由余弦定理可知: a2+b2-c2的符 0 + - 号 △ABC的形状 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 (2)边角互化 利用正、余弦定理把所给条件中的角转化为边,通过因式分

解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

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(3)化边为角 利用正、余弦定理把所给条件中的边都化为角,通过三角函 数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状. 在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因 式,以免漏解.

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失误防范 1.已知两边及一边的对角解三角形时用正弦定理可能出现两 解,一解或无解的情况. 2.判断三角形的形状,特别注意“等腰直角三角形”与“等腰 三角形或直角三角形”的区别.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
从近两年的高考试题看,解斜三角形和应用举例已成为高考 命题的热点,试题多以解答题形式出现,试题常考常新,难

度中档,多以正、余弦定理为主题,与三角函数联系,求三
角形的边、角和面积等,这类题知识的综合量较大. 2012年高考中,上海卷、天津卷、重庆卷均是以客观题的形

式考查正、余弦定理,大纲全国卷、浙江卷等则是在数列、
向量、三角函数知识交汇点处的解答题形式命题. 预测2014年的高考中,仍突出对正、余弦定理的考查,试题 难度中档与向量、三角函数结合为知识交汇处.
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规范解答 例
(本题满分 12 分)(2011· 高考大纲全国卷)△ABC 的内角

A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C= bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c.

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a b c 【解】 (1)由正弦定理得 = = . sin A sin B sin C ∵asin A+csin C- 2asin C=bsin B, asin B csin B csin B ∴a· +c· - 2a· =bsin B, b b b a 2 c2 2ac ∴ + - =b,∴a2+c2- 2ac=b2,(3 分) b b b 2 由余弦定理得 b =a +c -2accos B,故 cos B= . 2 又 B 为三角形的内角,因此 B=45° 分) .(6 (2)sin A=sin(30° +45° )=sin 30° 45° cos +cos 30° 45° sin 2+ 6 = .(9 分) 4 2+ 6 bsin A bsin C sin 60° 故 a= = =1+ 3, c= =2× = 6.(12 分) sin 45° sin B sin B 2
2 2 2

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【名师点评】

本题主要考查用正、余弦定理解三角形,两角

和与差的三角函数公式以及综合运用知识的能力,先化边再求 角是解决本题的主要思路.

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