广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件解析几何 直线与圆锥曲线的位置关系_图文


专题五 解析几何

1

考点1 中点弦、弦长问题
y2 例1 已知双曲线x 2 ? ? 1.过点P ? 2,1? 作一条直线交双曲 3 线于A,B,并使P为AB的中点,求弦AB所在直线的方程 和弦AB的长.

切入点:求中点弦的方程,关键是求斜率;求弦长可 利用弦长公式.

2

解析

方法1:易知直线AB不平行于y轴,设其方程为

y ? 1 ? k ? x ? 2 ?. ? y ? 1 ? k ( x ? 2) 由? 2 , 2 ?3 x ? y ? 3

消去y得 ? 3 ? k 2 ? x 2 ? 2k ? 2k ? 1? x ? 4 ? k 2 ? k ? 1? ? 0. 2k (2k ? 1) 设此方程的两实根为x1,x2,则x1 ? x2 ? . 2 k ?3 2k (2k ? 1) 又P ? 2,1? 为弦AB的中点,所以 ? 4, 2 k ?3 解得k ? 6.
3

当k ? 6时,直线与双曲线相交,即上述二次方程 的判别式? ? 0. 故所求直线AB的方程为y ? 1 ? 6 ? x ? 2 ?,化为一般 式为6x ? y ? 11 ? 0. 所以 AB ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 31 ? 4 ? 37 ? 16 ? 4 ? 33 4 2442 ? . 33
4

方法2: 差法)设弦AB的端点坐标分别为A( x1,y1 ), (点 B( x2,y2 ). ?3 x12 ? y12 ? 3 ① ? 所以 ? 2 . 2 ② ?3 x2 ? y2 ? 3 ? ① ? ②得3 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0. 因为点 ? 2,1? 为弦AB的中点, 所以12 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 0, 所以k AB y1 ? y2 ? ? 6. x1 ? x2
5

故所求直线AB的方程为y ? 1 ? 6 ? x ? 2 ?,化为 一般式为6x ? y ? 11 ? 0. 求弦长同方法1.

6

1.涉及弦的中点问题,常用“点差法”, 将弦所在的直线的斜率、弦的中点坐标和韦达 定理联系起来相互转化.但要注意利用Δ>0检 验圆锥曲线是否与所求直线相交. 2.直线与圆锥曲线相交涉及弦长问题时, 常用“韦达定理法”计算弦长.其中弦长公式 为:

7

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2 ? 4 x1 x2 ? ; ? ?1 ? k ? ? ? 或
2

1 AB ? 1 ? 2 y1 ? y2 k 1 ? ? ?1 ? 2 k ?
2 ?? ? ?? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? . ? ?

8

变式1 如图所示,在直角梯形ABCD中, ? 3, ? 4, AD AB BC ? 3,曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都 相等.

?1? 建立适当的直角坐标系,求曲线段DE的方程; ? 2 ? 过C能否作一条直线与曲线段DE相交,且所得弦以C
为中点,如果能,求该弦所在的直线的方程;若不能, 说明理由.
9

解析 ?1?以直线AB为x轴,线段AB的中点O为原点建立直 角坐标系.

则A ? ?2, 0 ?,B ? 2, 0 ?,C (2,3),D ? ?2,3?. 依题意,曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分. 1 因为a ? ? AD ? | BD |? ? 4,c ? 2,b 2 ? 12, 2 x2 y 2 所以所求方程为 ? ? 1(?2 ? x ? 4, 0 ? y ? 2 3). 16 12
10

? 2 ? 设这样的直线存在,
①当直线斜率不存在时,不满足条件; ②当直线的斜率存在时,设其方程为: y ? 3 ? k ? x ? 2 ?,即y ? k ? x ? 2 ? ? 3, x2 y 2 将其代入 ? ? 1, 16 12

得 ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? (8 3k ? 16k 2 ) x ? 16k 2 ? 16 3k ? 36 ? 0.

11

设弦的端点为M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ), x1 ? x2 则由 ? 2,知x1 ? x2 ? 4, 2 8 3k ? 16k 2 3 所以 ? ? 4,解得k ? ? . 2 3 ? 4k 2 3 所以弦MN 所在直线方程为y ? ? x ? 2 3, 2 验证得知,这时M (0, 2 3 ),N ? 4, 0 ? 适合条件. 3 故这样的直线存在,其方程为y ? ? x ? 2 3. 2
12

考点2 有关直线与圆锥曲线中的(范围)最值问题
例2 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定A ?1, 0 ?, ???? ??? ? ??? ? B (0, 2),点C满足OC ? ? OA ? ? OB,其中?,? ? R, ? 且? ? 2? ? 1.

?1? 求点C的轨迹方程;
x2 y 2 ? 2 ? 设点C的轨迹与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0)交于两点 a b 1 1 M 、N,且以MN 为直径的圆过原点,求证: 2 ? 2 为定值; a b

? 3? 在第 ? 2 ? 小题的条件下,若双曲线的离心率不大于
求双曲线实轴长的取值范围.

3,
13

切入点:①向量条件坐标化;②圆锥曲线中a,b,c 的关系是隐含条件.

14

???? ??? ? ??? ? 解析 ?1? 设C ( x,y ),因为OC ? ? OA ? ? OB, ?x ? ? 则( x,y ) ? ? ?1, 0 ? ? ? (0, 2),即 ? ? . ? y ? ?2? 因为? ? 2? ? 1,所以x ? y ? 1, 即点C的轨迹方程为x ? y ? 1.

15

可得 ? b 2 ? a 2 ? x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0. 依题意可得b 2 ? a 2 ? 0,设M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ), 2a 2 a 2 ? a 2b 2 则x1 ? x2 ? ? 2 ,x1 x2 ? ? 2 . 2 2 b ?a b ?a 因为以MN 为直径的圆过原点, ???? ???? ? 所以OM ? ON ? 0,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0,
16

?x ? y ? 1 ? 2 ? 2 ? 证明:由 ? x y 2 , ? 2 ? 2 ?1 b ?a

所以x1 x2 ? ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ? 1 ? ? x1 ? x2 ? ? 2x1 x2 2a 2 2( a 2 ? a 2b 2 ) ? 1? 2 ? ? 0, 2 2 2 b ?a b ?a 即b 2 ? a 2 ? 2a 2b 2 ? 0, 1 1 所以 2 ? 2 ? 2为定值. a b

17

a 2 ? b2 2 ? 3?由e ? 3,可得e ? 2 ? 3. a 1 1 a2 2 又因为 2 ? 2 ? 2,所以b ? , 2 a b 1 ? 2a 1(1 ? a 2 ) 1 可得 ? 3,解得0 ? a ? , 2 1 ? 2a 2 从而0 ? 2a ? 1,即双曲线的实轴长的取值范围是

? 0,1?.

18

在解决有关直线与圆锥曲线中的最值问题时, 通常需要注意: 1.把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转 化为研究方程组的解的问题. 2.利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组 消去一个变量后,将交点问题转化为一元二次方 程根的问题,结合根与系数的关系及判别式解决 问题. 3.利用数形结合法,判断直线与圆锥曲线处 于什么位置关系时可以取得相应的最值.
19

x2 y 2 变式2(2011? 佛山一模)椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上任一 a b 点P到两个焦点的距离的和为6,焦距为4 2,A,B分别 是椭圆的左右顶点.

?1? 求椭圆的标准方程; ? 2 ? 若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k1, ? 3? 设C ( x,y ) ? 0 ? x ? a ? 为椭圆上一动点,D为C关于y轴
S 2 ( x) 的对称点,四边形ABCD的面积为S ? x ?,设f ? x ? ? , x?3 求函数f ? x ?的最大值.
20

k2,证明:k1 ? k2为定值;

解析 ?1?由题意得,a ? 6,所以a ? 3. 2 又2c ? 4 2,所以c ? 2,b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1, x2 2 故椭圆的方程为 ? y ? 1. 9

21

? 2 ? 证明:设P( x0,y0 )( y0 ? 0),A ? ?3, 0 ?,B ? 3, 0 ?,
2 2 x0 x0 2 2 则 ? y0 ? 1,即y0 ? 1 ? , 9 9 y0 y0 则k1 ? ,k 2 ? , x0 ? 3 x0 ? 3 2 x0 1 2 1? (9 ? x0 ) 2 y0 1 9 ?9 即k1 ? k2 ? 2 ? 2 ?? , 2 x0 ? 9 x0 ? 9 x0 ? 9 9

1 所以k1 ? k2为定值 ? . 9
22

? 3?由题意可知,四边形ABCD是梯形,
1 x2 则S ? x ? ? ? 6 ? 2x ? ? y ,且y 2 ? 1 ? , 2 9 x2 2 S 2 ? x ? ( x ? 3) (1 ? 9 ) x2 于是f ? x ? ? ? ? ? x ? 3? (1 ? ) x?3 x?3 9 3 2 x x ? ? ? ? x ? 3 ? 0 ? x ? 3?, 9 3 x2 2 f ? ? x ? ? ? ? x ? 1. 3 3
23

令f ? ? x ? ? 0,解之得x1 ? 1,或x ? ?3(舍去). 当0 ? x ? 1时,f ? ? x ? ? 0,函数f ? x ? 单调递增; 当1 ? x ? 3时,f ? ? x ? ? 0,函数f ? x ? 单调递减. 32 所以f ? x ? 在x ? 1时取得极大值,也是最大值 . 9

24

考点3 利用向量处理直线与圆锥曲线的位置关系
例3 已知点G、M 分别是?ABC的重心和外心, ???? ? ??? ? A(0, a ),B (0,a ) ? a ? 0 ?,且GM ? ? AB. ?

?1? 求点C的轨迹方程; ? 2 ? 是否存在直线m,使m过点 ? a, 0 ? 并且与点C的
求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.

??? ???? ? 轨迹交于P、Q两点,同时OP?OQ ? 0?若存在,

25

切入点:解答第 ? 2 ?问时,先假设直线的方程为y ? x2 y 2 k ? x ? a ?,将其和第 ?1?问求出的曲线的方程 2 ? 2 3a a ? 1( x ? 0)联立组成方程组,消元后利用一元二次方 程组来判断解的情况,但要注意判别式的使用和题 设中变量的范围,这往往是我们很容易忽视的问题.

26

x y 解析 ?1? 设C ( x,y ),则G ( , ). 3 3 ???? ? ??? ? x 因为GM ? ? AB,所以GM //AB,则M ( ,. 0) 3 由于M 为?ABC的外心,则 MA ? MC , x 2 x 2 即 ? ? ? a ? ? ? x ? 2 ? y 2, 3 3 x2 y2 整理得 2 ? 2 ? 1( x ? 0), 3a a 即为点C的轨迹方程.
27

? 2 ? 假设直线m存在,设其方程为y ? k ? x ? a ?.
? y ? k? x ? a? ? 2 由? x , y2 ? 2 ? 2 ? 1? x ? 0 ? a ? 3a

得 ?1 ? 3k 2 ? x 2 ? 6k 2 ax ? 3a 2 ? k 2 ? 1? ? 0.

设P ( x1,y1 ),Q( x2,y2 ), 6k 2 a 3a 2 ? k 2 ? 1? 则x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

28

所以y1 y2 ? k 2 ? x1 ? a ?? x2 ? a ? ? k 2 ? x1 x2 ? a ? x1 ? x2 ? ? a 2 ? ? ? ?2k 2 a 2 ? . 2 1 ? 3k ??? ???? ? 由OP? OQ ? 0,得x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 3a 2 ? k 2 ? 1? ?2k 2 a 2 即 ? ? 0,解得k ? ? 3. 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 又点? a, 0 ? 在椭圆的内部,直线m过点? a,0 ?, 故存在直线m,其方程为y ? ? 3 ? x ? a ?.
29

1.在解答存在性问题中的探索性问题时, 一般思路是先假设存在,再推出合理或不合理 的结果,然后做出正确的判断. 2.在探究直线和圆锥曲线的位置关系问 题时,一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲 线的方程所组成的方程组的求解问题.

30

x2 y 2 变式3(2010? 宁卷)设F1、F2分别为椭圆C: 2 ? 2 ? 1 辽 a b ? a ? b ? 0 ?的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于 A、B两点,直线l的倾斜角为60?,F1到直线l的距离为 2 3.

?1? 求椭圆C的焦距; ???? ? ???? ? ? 2 ? 如果 AF2 ? 2 F2 B,求椭圆C的方程.

31

解析 ?1? 设焦距为2c. 由已知可得F1到直线l的距离 3c ? 2 3, 故c ? 2.所以椭圆C的焦距为4.

? 2 ? 设A( x1,y1 ),B( x2,y2 ).
由题意知y1 ? 0,y2 ? 0,直线l的方程为y ? 3 ? x ? 2 ?. ? y ? 3? x ? 2? ? 2 联立 ? x , y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
32

消去x,得(3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 4 3b 2 y ? 3b 4 ? 0, ? 3b 2 (2 ? 2a) ? 3b 2 (2 ? 2 a) 解得y1 ? ,y2 ? . 2 2 2 2 3a ? b 3a ? b ???? ? ???? ? 因为 AF2 ? 2 F2 B,所以 ? y1 ? 2y2, ? 3b 2 (2 ? 2a ) ? 3b 2 (2 ? 2a ) 即 ? 2? ,得a ? 3. 2 2 2 2 3a ? b 3a ? b 而a 2 ? b 2 ? 4,所以b ? 5. x y 故椭圆C的方程为 ? ? 1. 9 5
33

2

2

1.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题,主要有这 样几个方面:

?1? 相交弦的长,有弦长公式 AB ? 1 ? k 2 x2 ? x1 ; ? 2 ? 弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、弦的
中点的轨迹等,这可以利用“设点代点、设而不求”的方 法(设交点坐标,将交点坐标代入曲线方程,并不具体求 出坐标,而是利用坐标应满足的关系使问题得到解决).

34

2.直线与圆锥曲线的位置关系,还可以利用 数形结合,以形助数的方法解决.解决时经常转 化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或 解的个数问题.一般思路如下:

35

?1? 若方程组消元后得到一个一元二次方程,则根据
判别式?来讨论;

? 2 ? 若方程组消元后得到一个一元一次方程,则相交
于一个点.值得注意的是,直线与二次曲线只有一个公 共点时,未必一定相切,还有其他情况,如抛物线与平 行(或重合)于其对称轴的直线,双曲线与平行于其渐近线 的直线,它们都只有一个公共点,但不相切,而是相交.

36


相关文档

广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题5 第22课时 直线与圆锥曲线的位置关系
广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件解析几何 圆锥曲线的综合问题
广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题5 第22课时 直线与圆锥曲线的位置关系(1)
2019高考数学二轮复习专题五解析几何规范答题示例6直线与圆锥曲线的位置关系课件文
高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系课件文
高考数学二轮复习 第一篇 专题六 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文
高考数学二轮复习 专题五 解析几何 规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文
2019届高考数学二轮复习第一篇专题六解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系课件文
高考数学二轮复习专题五解析几何规范答题示例6直线与圆锥曲线的位置关系课件文
高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 9.11 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文
电脑版