【数学】湖南长沙同升湖实验学校2015届高三(文)2


2015 文科数学提高系列(三) 一、选择题 2 1. 已知集合 M ? x x ? 4 x ? 0 , N ? x m ? x ? 5 , 若M ?N ? x 3? x ? n , 则 m? n ? ? ? ? ? ? 等于( A.9 ) B.8 C.7 ? D.6 ? ? ? 2.已知平面向量 a ? (1, 3 ), a ? b ? 1, 则 b 的取值范围是( A. ?0,1? B. ?1,3? C. ?2,4? D. ?3,4? ) 3.如图,已知双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 A, O 为坐标原点,以 A 为圆 a 2 b2 心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P, Q .若 ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP ,则双曲线 C 的离 心率为( ) A. 2 3 3 B. 7 2 C. 39 6 D. 3 ) 4.已知角 ? , ? 均为锐角,且 cos ? ? A.3 B. 1 3 3 1 , tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan ? ? ( 5 3 9 13 C. D. 13 9 5. 如图, 网格纸上小正方形边长为 1, 粗线是一个棱锥的三视图, 则此棱锥的表面积为 ( ) 1 A. 8 3 C. 8 6 B. 4 3 D. 4 6 6 .若 m, n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1,2,3,4,5,6,7?, i ? 0,1,2 ,并且 2 ? ? m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为( ) A.60 个 二、填空题 7.设 P 是函数 y ? ln x 图象上的动点,则点 P 到直线 y ? x 的距离的最小值为 8.已知数列 ?an ? 满足:a1 ? 2,(n ? 1)an ? (n ? 1)an ?1 ? n ≥ 2, n ? N? ? , 则 的通项公式为 . B.70 个 C.90 个 D.120 个 a3 ? a1 ,数列{an} 9.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?x ? t (t 为参数) ,以原点 O 为极点, ?y ? t ? 4 以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ? 线 l 和曲线 C 的公共点有 三、解答题 个. ? 4 ) ,则直 10. 如图, 直三棱柱 ABC —A?B?C ? 中,AC ? BC ? 5 ,AA ' ? AB ? 6 ,D 、E 分别为 AB 和 BB? 上的点,且 AD BE ? ?? . DB EB? (1)求证:当 ? =1 时, A? B ? CE ; (2)当 ? 为何值时,三棱锥 A?—CDE 的体积最小,并求出最小体积. 2 11 . 在 单 调 递 增 数 列 {an } 中 , a1 ? 2 , a2 ? 4 , 且 a2n?1 , a2n , a2n?1 成 等 差 数 列 , a2n , a2n?1 , a2n?2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ? . (Ⅰ) (ⅰ)求证:数列 { a2n }为等差数列; (ⅱ)求数列 {an } 的通项公式. (Ⅱ)设数列 { 4n 1 的前 项和为 ,证明: , n ? N* . Sn n Sn ? } 3(n ? 3) an 12.已知动圆 Q 过定点 F ?0,?1? ,且与直线 l : y ? 1 相切,椭圆 N 的对称轴为坐标轴, O 点 为坐标原点, F 是其一个焦点,又点 A?0,2? 在椭圆 N 上. (Ⅰ)求动圆圆心 Q 的轨迹 M 的标准方程和椭圆 N 的标准方程; (Ⅱ)若过 F 的动直线 m 交椭圆 N 于 B, C 点,交轨迹 M 于 D, E 两点,设 S1 为 ?ABC 的面 积, S 2 为 ?ODE 的面积,令 Z ? S1 S 2 ,试求 Z 的最小值. 3 13. 已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? 集合 A ? ? x t ? 1 ≤ x ≤ t ? 1? . (Ⅰ)若 t ? ? x 3 1 ? 设 ?a ? 0? , g ( x) ? 4 x ? 2 ? 1 ,且 y ? f ? ? x ? ? 为偶函数. b 4 4 4 a? ? b ,记 f ?x ? 在 A 上的最大值与最小值分别为 M , N ,求 M ? N ; 2a (Ⅱ) 若对任意的实数 t , 总存在 x1 , x 2 ? A , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ g ( x) 对 ?x ? ?0,1? 恒成立, 试求 a 的最小值. 4 参考答案 1.C 2 【解析】 M ? x | x ? 4x ? 0 ? ?0,4? , N ? ?m,5? ,若 M ? N ? ?3, n ? ,则 ? ? ? ?m ? 3 ,则 ?n ? 7 m?n ? 7. 考点:集合的运算. 2.B 【解析】 试题分析:由于 a ? b ? 1 ,所以向量 b 对应的点在以(1, 3)为圆心,1 为半径的圆上, 由于圆心到原点的距离为 2,所以 b 的取值范围是为[1,3] 考点:向量的几何意义 3.B 【解析】 试题分析:取 PQ 的中点 D,连接 AD,则 AD ? PQ ,且 AD ? b ,因为 ?PAQ ? 60? , ? AP ? AQ ,则 ?PQA ? 600 , tan 600 ? 2 3 b, 3 b 3 ,? DQ ? b ,由于 OQ ? 3OP ,则 DQ 3 AP ? PD ? DQ ,则 OD ? tan ?DOA ? b 2 3 b 3 ? 7 7 b 3 a2 3 2 ?e ? , ? ? 2 ? e 2 ? 1 ? ,则e

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