湖北省宜昌市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线学案新人教A版2-1 精


2.4.1

抛物线及其标准方程

教学目的:1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程,理解抛物线中的基本量; 2、能够熟练画出抛物线的草图 教学重点:抛物线的标准方程 教学过程: 一、复习引入: 1、回顾椭圆和双曲线的定义 2、生活中抛物线的引例: 二、探究新知 1、 抛物线定义: 2、抛物线的准线方程:如图所示,分别建立直角坐标系,设出 KF ? p ( p ? 0 ) ,则抛物 线 的标 准方程如下:
D y M
y y y

M
K O (1) F x

M F (3)
O

D K
x

D M (4)
D

K
O x

F
O x

F

(2)
2

K

D

p p ,0) ,准线 l : x ? ? 2 2 p p 2 (2) x ? 2 py( p ? 0) , 焦点: (0, ) ,准线 l : y ? ? 2 2 p p 2 (3) y ? ?2 px( p ? 0) , 焦点: (? ,0) , 准线 l : x ? 2 2 p p 2 (4) x ? ?2 py( p ? 0) , 焦点: (0,? ) ,准线 l : y ? 2 2
(1) y ? 2 px( p ? 0) , 焦点: (
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相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴 上关于原点对称;它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 不同点: (1) (2) 三.例题探究 例 1 (1)已知抛物线标准方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程
2
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1 2p p ? 。 ,即 4 2 4

(2)已知抛物线的焦点 坐标是 F (0,-2) ,求它的标准方程 例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程:

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1

(1)焦点坐标是 F(-5,0) (2)经过点 A(2,-3)

四、课堂练习: 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y =8x
2
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(2)x =4y

2

(3)2y +3x=0

2

(4) y ? ?

1 2 x 6

2.根据下列条件写出抛物线的标准方程
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(1)焦点是 F(-2,0) (2)准线方程是 y ?

1 3

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(3)焦点到准线的距离是 4,焦点在 y 轴上

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五.课堂小结

2.4.1 抛物线及其标准方程 (二) 例 1.点 M 与点 F(4 ,0)的距离比它到直线L: x ? 5 ? 0 的距离小1,求点 M 的轨迹方程。

例 2.斜率为 1 的直线经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,与抛物线相交于两点 A,B.求线段 AB 的长。
2

例 3.已知抛物线的焦点在 X 轴上,抛物线的点 M(-3, m )到焦点的距离等于 5,求抛物线标准
2

方程和 m 的值。

例 4.在抛物线 y 2 ? 2 x 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与到点 A(3,2)的距离之和最小。

课堂练习 1.过点 M(2,0)作斜率为 1 的直线 l ,交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A,B 两点,求 AB

2.求顶点在原点,焦点在 X 轴上的抛物线且截直线 2 x ? y ? 1 ? 0 所得弦长为 15 的抛物线方程。

课堂小结 2.4.2 抛物线的简单几何性质(一)

教学目标 1.掌握抛物线的几何性质;2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程;3.会求抛物线的焦 点坐标 、准线方程. 教学过程 一、主体自学 1.范围 看书 P68 的几何性质

当 x 的值增大时, y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应注意与双

曲线一支的区别,无渐近线).

3

2.对称性 3.顶点 4.离心率

抛物线关于 x 轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用 e 表示.

由抛物线定义可知,e=1. 二、探讨 p 对抛物线开口的影响 1、 对比椭圆、双曲线的几何性质,抛物线的性质与它们有哪些异同? 2、 抛物线标准方程中的 p 对抛物线开口的影响. 图形 标准方程 焦点 准线 顶点 对称轴 离心率









总结:抛物线没有渐近线;
2 ②抛物线的标准方程 y ? 2 px( p ? 0) 中 p 的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离;

③抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条对称轴,其图像位于半个坐标平面内、P 越大抛物线开口 也就越大。 3.例题探究 例 3. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点 M(2,—2 2 ),求它的标准方程。

4

变式练习:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, -2 2 )的抛物线有几条?并求其 标准方程。

4.当堂检测 1.以原点为顶点,坐标轴为对称轴,且过点 P(-2,3)的抛物线的方程为( A.y =
2



9 x 4

B. x =

2

4 y 3

C. y ? ?
2

9 4 9 4 x或x 2 ? ? y D. y 2 ? ? x或x 2 ? y 4 3 2 3

2.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点的横坐标为 6,这点到焦点距离为 10,则焦点到准线的距离为 ( A.4 ) B. 8 C. 16 D. 32 ; ;

3.填空(1)准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 (2)抛物线 y 2 ? 8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 2.4.2 一、直线与抛物线的几种位置关系 例 1、已知抛物线的方程为 y ? 4 x ,直线 l 过定点 P(-2,1),
2

抛物线的简单几何性质(二)

斜率为 k.当 k 为何值时,直线 l 与抛物线 y ? 4 x 只有一个公
2

共点;有两个公共点;没有公共点?

探究:请学生们画出图形表示上述几个位置关系,从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什 么情况? 变式 1: 若把换定点 P 坐标为点 P(0,1), 与抛物线只有一个公共点的直线共有多少条?方程是什么?

5

变式 2: 若把换定点 P 坐标为点 P(1,1), 与抛物线只有一个公共点的直线共有多少条?方程是什么?

2.焦点弦相关性质 例 2:斜率 为 1 的直线经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长

变式训练:若线段 P1P2 是过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的弦,求证:

2

1 1 2 ? ? | P1 F | | P2 F | p

当堂检测:已 知抛物线 y 2 ? 2 px,( p ? 0) 的焦点弦 AB,设 A(x 1 ,y 1 ) 、B(x 2 ,y 2 ),求(1) x1 x2 ; (2) y 1 y 2 。

2.4.2

抛物线的简单几何性质(三)
2

例 1.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,求这个正 三角形的边长。

2 变式训练:.AB 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两点,满足 OA ? OB (O 为坐标原点)求证: (1)

AB 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值;(2)直线 AB 过一个定点

6

例 2.过抛物线的焦点 的一条直线与它交于两点 P、Q,经过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于 M,求 证:直线 MQ 平行于抛物线的对称轴

变式训练:设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 AB 两点,点 C 在抛 物线的准线上,且 BC // X 轴,证明:直线 AC 经过原点 O

例 3.已知抛物线 C 的顶点 在原点,焦点 F 在 x 轴正半轴上,设A、B是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴) , 若 AF ? BF ? 8 , 线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求此抛物线的方程。

课堂练习
2 1.等腰三角形 AOB 内接于抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,O 为抛物线的顶点, OA ? OB 则 ?AOB 的面 2 2 2 2

积是(

)A 8 p
2

B 4p

C 2p

D p

2. 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 P 到准线的对称轴的距离分 别为 10 和 6, 则 P 的横坐标为____,

p =___

____
7

3.在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,位于对称轴两侧的两点 A、B 到焦点 F 的距离分别为 4 和 10,过 AB 的中点 M 作对称轴的垂线交抛物线与 C、D 两点,则求 FC ? FD 精品推荐 强力推荐 值得拥有

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