山东省济宁市梁山一中2013-2014学年高一数学上学期期末模拟


梁山一中 2013—2014 学年高一上学期期末模拟考试 数学
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符 合题目要求的,请将正确答案的序号填涂到答题卡上) 。 1.已知集合 A ? { y | y ? ( ) A. {0,

1 2

x 2 ?1

, x ? R} ,则满足 A∩B=B 的集合 B 可以是(
C. {x|0<x<

)

1 } 2

B. {x|-1≤x≤1}

1 } 2

D. {x|x>0}

2. 下列函数中既是偶函数,又是区间(-1,0)上的减函数的是( ) 2?x A. y=cosx B. y=-|x-1| C. y=ln 2? x 3.如果 AB ? 0, BC ? 0 ,那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不经过的象限是( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

D. y=e +e )

x

-x

4.若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C( A.

1 ,m)三点共线,则m的值为( 2
D.2



1 2

B. ?

1 2

C.-2

5.若直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与两坐标轴交点为 A、B,则以 AB 为直径的圆的方程为( A . x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 y ? 0 C . x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 y ? 4 ? 0 B . D.
x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 y ? 0



x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 y ? 8 ? 0

6. 设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题:

①若



,则

②若





,则

③若 则 ? // ?



,则

④若 ? ? ? , ? ? ? ,

1

其中正确命题的序号是 ( ) A.①和② B.②和③
4

C.③和④

D.①和④

7. 对于幂函数 f(x)= x 5 ,若 0 < x1 < x2 ,则 f ( ( A. f ( )

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ), 的大小关系是 2 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )> 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )= C. f ( 1 2 2

B. f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )< 2 2

D. 无法确定

8. 一高为 H、满缸水量为 V0 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞 中流出,若鱼缸水深为 h 时水的体积为 V,则函数的大致图象可能是( )

9. 函数 f(x)的定义域为 D, 满足: ①f(x)在 D 内是单调函数; ②存在[ 在[

a b , ] ? D, 使得 f(x) 2 2

a b x , ]上的值域为[a, b], 那么就称函数 y=f(x)为“优美函数”, 若函数 f(x)=logc(c 2 2
) D. (0, B. (0,

-t)(c>0,c≠1)是“优美函数”,则 t 的取值范围为( A. (0,1)

1 ) 2

C. (-∞,

10. 函数 y=Asin(ω x+φ )(ω >0)(|φ |< 所示,则函数表达式为( A. y=-4sin( C. y=4sin( )

? , x∈R)的部分图象如图 2

1 ) 4

1 ) 4

?
8

x?

?
4
)

)

B. y=-4sin(

?
8

x?

?
4

)

?
8

x?

?
4

D. y=4sin(

?
8

x?

?
4

)

11. 过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 12. α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断: ① m⊥ n; ② α ⊥ β ;③ n⊥ β ;④ m⊥α .以其中三个论断作为条件,余下一个作 为结论,其中正确命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.圆锥的底面半径是 1,它的侧面展开图是一个半圆,则它的母线长为 。 14. 用过球心的平面将一个球分成两个半球, 则一个半球的表面积与原来整球的表面积之比 为 。

15.已知函数

f (3x ) ? 4 x log2 3 ? 233,则 f ( x) ?


2

?1? y ?? ? ?2? 16 . 在 函 数 ①

x

2x ; ③ y ? ; ② y?log

x 中 , 满 足 性 质

? x ? f? x? ? f? x ?x ? 2 f? 1 2?? 1 2 ? 2 ? 的是函数
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)。 17.(本小题满分 10 分)

(填写所有满足要求的函数序号) 。

已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) a ? 2 求函数 f ( x ) 的最小正周期 T 及值域

1 2

18.(本小题满分 12 分)

已知 f ( x) ? 2a sin 2 x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b 定义域为 ? 0, [-5,1],求实数 a , b 的值。

? ?? ,值域为 ? 2? ?

19.(本小题满分 12 分) 为了绿化城市,准备在如图所示的区域 DFEBC 内修建一个矩形 PQRC 的草坪,且 PQ∥BC, RQ⊥BC,另外△AEF 的内部有一文物保护区不能占用,经 测量 AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m。 应如何设计才能使草坪的占地面积最大?

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 定义在(―1,1)上,对于任意的 x, y ? (?1,1) ,有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。 1 ? xy
(1)验证 函数 f ( x) ? 1n ..

1? x 是否满足这些条件; 1? x
3

(2)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性,并加以证明; (3)若 f ( ? ) ? 1 ,求方程 f ( x ) ?

1 2

1 ? 0 的解。 2

21. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 y ? f ?x?的两个零点为 0,1,且其图象的顶点恰好在函数 y?log 2 x的 图象上. (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 当 x?? 0 ,2?时的最大值和最小值。

21.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

2x ? a (a ? R) 的图象关于坐标原点对称。 2x ? 1
x

(1)求 a 的值,并求出函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ? (2)若函数 h( x) ? f ( x) ? 2 ?
x

4 ? 1 的零点; 2 ?1
x

b 在[0,1]内存在零点,求实数 b 的取值范围; 2 ?1 k?x 1? x ?1 (3) 设 g ( x) ? log 4 , 已 知 f ( x ) 的 反 函 数 f ( x) = log 2 ,若不等式 1? x 1? x ?1 2? f ?1 ( x) ? g ( x) 在 x ? ? , ? 上恒成立,求满足条件的最小整数 k 的值。 ?2 3?
x

4

参考答案: 1-5 CDBAA 6-10 AABDB 11-12 AB 13. 2 14. 3:4 15. f ( x) ? 4 log2 x ? 233 16. ②③

17. 解: f ( x) ? (sin x ? 3 cos x) ? sin x ?

3 ?2 2

?

1 ? cos 2 x 3 3 ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) 6
值域为[-1,1]

?

T=π

18. 解:因为 f ( x) ? 2a sin 2 x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b

? a(1 ? cos 2x) ? 3a sin 2x ? a ? b ? ?a( 3sin 2x ? cos 2x) ? 2a ? b
? ?2a sin(2 x ? ) ? 2a ? b 6
因为 x ? ?0,

?

? ? ? 7? ? ? ?? , 所以2 x ? ? ? , , ? 6 ?6 6 ? ? 2? ?
?? ? 1 ?
? ? ? ? ,1? 6? ? 2 ?

所以 sin ? 2 x ?

? ?

当a ? 0时,f(x)max ? 3a ? b, f ( x)min ? b,

?3a ? b ? 1 所以 ? ,即a ? 2, b ? ?5 ?b ? ?5
当a ? 0时,f(x)max ? b, f ( x)min ? 3a ? b,
5

?3a ? b ? ?5 所以 ? ,即a ? ?2, b ? 1 ?b ? 1
故符合条件的 a, b 的值为 a=2, b=-5 或 a=-2, b=1. 19. 解:如图 MQ⊥AD 于 M,NQ⊥AB 于 N 设 MQ=x 则长方形的面积 ∴NQ=y=20-

2 x 3
(0≤x≤30)

S ? (100 ? x)[80 ? (20 ?
化简,得 S ? ?

2 x)] 3

2 2 20 x ? x ? 6000 (0≤x≤30) 3 3 50 时,S最大,其最大值为6017m 2 分 配方,易得 x ? 5, y ? 3
20. 解:①

又f ( x) ? f ( y ) ? ln

1? x 1? y 1 ? x ? y ? xy ? ? ln 1? x 1? y 1 ? x ? y ? xy x? y 1? x? y 1 ? xy ? x ? y 1 ? xy f( ) ? ln ? ln x? y 1 ? xy 1 ? xy ? x ? y 1? 1 ? xy

1? x ?0 1? x

∴-1<x<1 即定义域为(-1,1)

∴成立

且x ? 0时1 ? x ? 1 ? x ? 0 1? x 1? x ? 1 ? ln ? 0符合条件 1? x 1? x
②令 x=y=0,则 f(0)=0,令 y=-x 则 f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=-f(x)为奇函数 任取 x1 、 x2 ? (?1,1)且x1 ? x2

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( 1 2 ) 1 ? x1 x2 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ?1 ? x1 x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 x ?x x ?x ? 1 2 ?0 f ( 1 2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ? f ( x)是(?1,1)上的减函数
③∵f(x)为奇函数 由 f ( x) ? ∵f(x) ∴ f ( ) ? ?1

1 2

1 ?0 2
(

? 2 f ( x) ? 1 ? 0
- 1 ,

2x 2 f ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( ) 1 ? x2 2x 1 )? f( ) 2 f ( x) ? ?1 ? f ( 2 1? x 2
1) 上 单 调 函 数



6

?

2x 1 ? , x ? 2 ? 3( x ? 2 ? 3舍去)为所求 2 1? x 2

21. (1)设 f ? x ? ? ax ? x ?1? ? a ? 0 ? , 顶点坐标为 ?

?1 a? ,? ? ?2 4?
?? a 1 ? log 2 4 2
得a ? 4

顶点在函数 y ? log 2 x 的图象上

f ? x ? ? 4x ? x ?1?

(或写成 f ? x ? ? 4x2 ? 4x

(或设 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? ,由 f ? 0? ? f ?1? ? 0 ,得 c ? 0 且 a ? b ? c ? 0

?1 a? ? f ? x ? ? ax2 ? ax ,再利用顶点 ? , ? ? 在函数 y ? log2 x 的图象上得 a ; ?2 4?
或由抛物线两零点 0,1 知顶点横坐标为

1 ,又顶点在 y ? log 2 x 的图象上,得顶点纵 2

坐标为-1,结合 f ? 0? ? f ?1? ? 0 求解析式) (2) f ? x ? ? 4 ? x ?

? ?

1? ? ?1 2?

2

1 1 1 ? ? 0, 2? 且 0 ? ? 2 ? 2 2 2

?1? ? ymin ? f ? ? ? ?1, ymax ? f ? 2 ? ? 8 ?2?
(或不配方,直接由对称轴与区间及端点的关系判断最值) 22. 解: (1)由题意知 f(x)是 R 上的奇函数,

? f (0) ? 0, 得a ? 1,
? F ( x) ? 2x ?1 x 4 (2 x ) 2 ? 2 x ? 6 ? 2 ? ? 1 ? 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1

由(2x )2 ? 2x ? 6 ? 0, 得2x ? 2,? x ? 1,
即 F(x)的零点为 x=1. (2) h( x) ?

2x ?1 x b (2 x ) 2 ? 2 x ?1 ? 1 ? b ? 2 ? ? , 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1

由题设知 h(x)=0 在[0,1]内有解,

即方程(2x )2 ? 2x?1 ?1 ? b ? 0在[0,1]内有解. ?b ? (2x )2 ? 2x?1 ?1 ? (2x ? 1)2 ? 2在[0,1]内单调递增,
? 2 ? b ? 7, 故当2 ? b ? 7时,

7

函数h( x) ? f ( x) ? 2 x ?
(3)由f ?1 ( x) ? g ( x),

b 在[0,1]内存在零点 2 ?1
x

1? x k?x (1 ? x)2 得 log 2 ? log 4 ,k ? x ? , 1? x 1? x 1? x
显然 x ? [ , ]时, k ? x ? 0, 即k ?

2 x 2 ? x ?1 . 1? x 1 2 1 1 设m ? 1 ? x,由于x ? [ , ],? m ? [ , ], 2 3 3 2 1 2 2 3 2 x 2 ? x ? 1 2m2 ? 5m ? 4 4 23 于是 ? ? 2m ? ? 5 ? [4, ], 1? x m m 3 23 ? k ? , 故满足条件的最小整数k的值是8. 3

8


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