4.3.1定积分的简单应用面积


§3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积
【课标要求】 1.进一步理解定积分的概念和性质. 2.能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积. 【核心扫描】 1.利用定积分求平面图形的面积.(重点). 2.准确认识平面图形的面积与定积分的关系.(易混点)
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自学导引
1.用定积分求平面图形的面积
一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面图形(如图)的面积为 S,则 S=
?b ? ? ?a

[f(x)-g(x)]dx.

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2.求不分割型图形面积的一般步骤

:如何用定积分求如图所 示阴影部分的面积?

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提示 由直线 x=a, x=b(a<b)及曲线 f(x), g(x)(f(x)≥g(x) 围成的平面图形的面积
?bf(x)dx-?bg(x)dx. S=? ? ?a ?a

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名师点睛
几种典型的平面图形面积的计算 1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成 平面图形的面积S.
(1)如图 1,f(x)>0,? f(x)dx>0,所以 S=? f(x)dx. ? ?
?a ?a ?a
b b

(2)如图 2,f(x)<0,? f(x)dx<0, ? 所以
??bf?x?dx? b ?=-? f(x)dx. S=?? ? ??a ? ?
a

b

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(3)如图 3 当 a≤x<c 时,f(x)<0,? f(x)dx<0; ?
?a

c

当 c<x≤b 时,f(x)>0,? f(x)dx>0, ?
?c

b

所以

??cf?x?dx? b c b ?+? f(x)dx=-? f(x)dx+? f(x)dx. S=?? ? ? ??a ? ? ? ? ?
c a c

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2.由两条曲线 f(x)和 g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成 平面图形的面积 S. (1)如图 4,当 f(x)>g(x)>0 时,S=? [f(x)-g(x)]dx. ?
?a
b

(2)如图 5,当 f(x)>0,g(x)<0
?b[f(x)-g(x)]dx. =? ?a

??bg?x?dx? ? 时,S=? f(x)dx+?? ?a ? ? ?a ?b

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题型一 由单一函数曲线围成的平面图形的面积
2 2x 【例 1】 求由曲线 y=sin x 与直线 y= 3π 所围图形的面积.

[思路探索] 用定积分求平面图形的面积时,注意x轴下方的

平面图形计算定积分时,通过取绝对值为正.

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解 法一 如图所示, .

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法二 由图阴影部分可知,图形由两部分组成,这两部分 关于原点对称且面积相等.

(1)准确地画图,并合理分割图形;
(2)被积函数与积分上、下限要对应; (3)当面积在x轴的下方时,面积是定积分的相反数.
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【训练1】 求由曲线y=sin x与x轴在区间[0,2π]上所围成的图形

的面积S. 解 如图所示,所求面积

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题型二 求直线与曲线围成图形的面积
【例2】 计算由直线y=x+3,曲线y=x2-6x+13所围图形 的面积S. [思路探索] 作出直线与曲线的草图,所求图形的面积可以 转化为两个曲边梯形面积的差,求出直线与曲线交点的横 坐标,利用定积分求面积.

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解 作出直线 y=x+3,曲线 y =x2-6x+13 的草图,所求面积 为图中阴影部分的面积.解方程
?y=x2-6x+13 ? 组? ?y=x+3 ?

得直线 y=x

+3 与曲线 y=x2-6x+13 的交 点坐标为(2,5)和(5,8).因此,所
? ? ? 求图形的面积 S=? (x+3)dx-? (x2-6x+13)dx=? (-x2+ ? ? ? ?

5 2

5 2

5 2

?

?

1 3 7 2 5 9 7x-10)dx=(-3x +2x -10x)|2=2.
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解决这类问题需结合函数图像,把所求的曲边图

形面积用函数的定积分表示,关键有两点:(1)确定积分上、下
限;(2)确定被积函数这样所求的面积问题就转化为运用微积分 基本定理计算定积分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲 线所围图形的面积:定积分是可正、可负或为零;而平面图形 的面积总是非负的.

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【训练2】 计算直线y=2x+3与曲线y=x2所围图形面积.

解析

?y=2x+3, ? 画出图像,如图解方程组? ?y=x2, ?

得A(-1,1),B(3,9). 故所求图形的面积为
?3 (2x+3-x2)dx=(x2+3x- x3)| 3 -1 ? 3 ?-1

1

32 =3.

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题型三 由两条曲线和直线所围成图形面积
1 【例3】 (12分)求由曲线y= x,y=2-x,y=-3x所围 成图形的面积.
审题指导 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标,确 定积分区间,然后分段利用公式求解.
【解题流程】 作图 → 求出两曲线的交点坐标 → 定积分 确定积分区间 → 确定被积函数 ――→ 分解 → 求值 的性质

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[规范解答] 法一 画出草图,如图所示.
? ?y= x, 解方程组? ?x+y=2. ?

?y= x, ?x+y=2, ? ? ? 及? 1 1 ?y=-3x, ?y=-3x. ? ? 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1). 所以S= [
0
?1 ? ? ?

(4分) (6分)

? 1 ? ? 1 ? ?3 x-?- x?]dx+? [(2-x)-?- x?]dx ? ? 3 ? ? 3 ? ? 1

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1 1 ?3 ? (2-x+ x)dx = ( x+ x)dx+? 3 3 ?
?1 ? ? ?0

1



?2 3 1 ?? ? 1 2 1 2??3 2 1 ? x + x ? ?0+ ? 2x- x + x ??1 2 6 ?? ?3 2 6 ?? ?

(8 分)

? 1 2??3 2 1 = + + ?2x-3x ??1 3 6 ? ??

(10 分) (12 分)

5 1 1 13 = +6- ×9-2+ = . 6 3 3 6

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法二 若选积分变量为 y,则三个函数分别为 x=y2,x=2-y,x=-3y. (4 分)

因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1). (6 分)
? 所以 S=? [(2-y)-(-3y)]dy+? [(2-y)-y2]dy ? ?

0

1

?-1

?0

?0 =? ?-1

? (2+2y)dy+? (2-y-y2)dy ? ?

1 0

(8 分)

=(2y+y )|-1+

2 0

? 1 2 1 3??1 ? 2y- y - y ? ?0 2 3 ?? ?

(10 分)

1 1 =-(-2+1)+2- - 2 3 13 =6.
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(12 分)
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【题后反思】 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图

形,在不同的区间位于上方和下方的曲线不同.求出曲线的不
同的交点横坐标,将积分区间细化,分别求出相应区间曲边梯 形的面积再求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下.

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【训练3】 求由曲线y=ex,y=e-x及x=1所围成的图形面积.



?y=ex, ? 如图,由? - ?y=e x, ?

解得交点

为(0,1).
? 所求面积为 S=? (ex-e x)dx=(ex ? - ?0

1

1 +e ) =e+ -2. e
-x ?1 ? ?0

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误区警示 对定积分的几何意义理解有误而致错
【示例】 如图,函数 y=f(x)在区间[a,b]上,则阴影部分的 面积 S 为 A. ? f(x)dx ?
?a ?c f(x)dx-?bf(x)dx B.? ? ?a ?c ?c f(x)dx-?bf(x)dx C.-? ? ?a ?c ?c f(x)dx+?bf(x)dx D.-? ? ?a ?c
b

(

).

[错解] A,B,C.
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在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x轴上方

的面积取正号,在x轴下方的面积取负号,而各部分面积的
代数和为:x轴上方的定积分减去x轴下方的定积分.
[正解] 如图所示, 在[a, c]上 f(x)≤0; 在[c, b]上, f(x)≥0, 所以函数 y=f(x)在区间[a,b]上的阴影部分的面积 S=-? f(x)dx+? f(x)dx,故选 D. ? ?
?a ?c
c b

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我们知道, 当函数 f(x)在区间[a, b]上恒为正时,
?bf(x)dx 的几何意义是以曲线 f(x)为曲边的曲边梯形 定积分? ?a ?bf(x)dx 的面积.在一般情况下,定积分? ?a

的几何意义是介

于 x 轴,函数 f(x)的图像以及直线 x=a,x=b 之间各部分 面积的代数和.

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