河北省张家口一中高一数学 函数的值域与最值 课件_图文


第四讲 函数的值域 与最值 ————知识梳理———— 1.函数的值域与最值的概念 函数值的集合 函数的值域必须 (1)函数的值域是指____________, 集合或区间 表示,它由_______________ 定义域和对应法则 确定. 用___________ (2)对于函数 y ? f ( x ) 定义域 A内的每一个 x 值,如果 f ( x ) ? M 恒成立,且存在 x0 ? A 存在常数 M ,使得_________ 使得 f ( x0 ) ? M ,则称 M为函数 f ( x )的最大值(最小值) 最值 它们之 值域 但不一定有_______. (3)函数一定有______, 元素与集合的关系 间的关系类似于集合中的_________________. (4)函数的极值:设函数 及其附近有定义, f ( x )在点 x0 f ( x) ? f ( x0 ) 或 如果对于x0附近的所有的点x, 都有 __________( f ( x) ? f ( x0 ) 则称f ( x0 )是f ( x)的极大值(或极小值). __________) 2.求函数的值域与最值的常用方法 求函数的值域与最值没有通性通法,只能根据 函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解,因 此对函数解析式结构特征的分析是十分重要的.常 见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳 为: 2 (1)二次函数y ? ax ? bx ? c(a ? 0)及二次型函数 配方法 . y ? a[ f ( x)] ? bf ( x) ? c(a ? 0)可用 _________ 2 a1 x ? b1 x ? c1 2 2 (2)形如f ( x) ? (a1 ? a2 ? 0, x ? R) 2 a2 x ? b2 x ? c2 判别式法 的函数可选用___________; 2 cx?d ?t (3)形如y ? ax ? b ? cx ? d (ac ? 0), 可令 _______ 化为二次函数, 形如y ? bx ? c ? a ? x (ab ? 0), 可 2 2 ? ? 令 _________________________________________; 2 2 x ? a sin ? ,? ?[? , (或 ] x ? a cos ? , ??[0, ? ]) ax ? b sin x ? a (4)形如y ? (c ? 0), y ? ( a ? b )等 cx ? d sin x ? b 反函数法或分离常数法 常用________________________; b ax 2 ? bx ? c (5)形如y=ax+ (ab ? 0), y ? (ae ? 0) x ex ? d 均值不等式 可用均值不等式法 ____________, 但注意必须满足 ___________ _______ 的应用 条件; b (6)如y ? ax ? b ? cx ? d (ac ? 0), y ? ax ? (ab ? 0) x 单调性法 等, 常用 ___________; (7)图像法 : 适合较容易画出图像的函数,如 ax ? b y= (c ? 0) x ? [m, n]; cx ? d (8)几何法(数形结合法): 通过挖掘函数解析式 中蕴藏的几何意义(如距离、斜率、截距等)转化 为几何问题,如_____________________; (9)导数法:适合于不能用以上方法,而容易求 导的函数,一般用来求高次函数,以及解析式中 同时含有多项式、指数式、对数式、三角式的 函数解析式; (10)其它:如分段函数可先求出各段上的值域 然后求并集. 特别注意:①求值域无通法; ②不可忽视定义域. 3.基本函数的值域 R (1) y ? kx ? b(k ? 0)的值域为 ____________; 2 ? 4 ac ? b (2) y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0), 当a ? 0时的值域为 ______ ? 4a , ? 4 ac ?b 2 ?? ) 当a ? 0时的值域为 _____________; ______; 4a (??, ] (3) y ? a (a ? 0, a ? 1)的值域为 ________; (0, ??) x (4) y ? log a x(a ? 0, a ? 1)的值域为 ______; R k (??, ?2 k ] U [2 k , ??) . (5) y ? x ? (k ? 0)的值域为 ___________________ x 例3.求函数f ( x) ? x3 ? 3a 2 x (a ? R)在[0,1]上的最 大值和最小值. 解 : f '( x) ? 3x ? 3a ? 3( x ? a)( x ? a) (1)当a ? 0时, 由f '( x) ? 0得, x ? ?a, x ? a; 2 2 由f '( x) ? 0得, ?a ? x ? a. ? f ( x)在(??, ?a)和(a, ??)上是增函数; 在(?a, a) 上是减函数. ?当x ? R时f ( x)有极大值f (?a) ? (?a)3 ? 3a 2 ? (?a) ? 2a , 有极小值f (a) ? a ? 3a ? a ? ?2a . 3 3 2 3 下面讨论x ?[0,1]时f ( x)的最值(结合草图分析) . i)当a ? 1时, f ( x)在[0,1]上是减函数, ? f ( x)max ? f (0) ? 0; f ( x)min ? f (1) ? 1 ? 3a . 2 ii)当0 ? a ? 1时f ( x)在[0, a]上是减函数; 在[a,1] 上是增函数.? f ( x)min ? f (a) ? ?2a . 2 又f (0) ? 0, f (1) ? 1 ? 3a , 2 3 ?当1 ?

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