2019年高中数学人教A版选修2-2课件:第三章 3.2 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义_图文


3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

预习课本 P107~108,思考并完成下列问题
(1)复数的加法、 减法如何进行?复数加法、 减法的几何意义如何?

(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同?

[新知初探]
1.复数的加、减法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 z1+z2= (a+c)+(b+d)i , z1-z2=(a-c)+(b-d)i . 2.复数加法运算律 设 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2= z2+z1 , (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .

3.复数加、减法的几何意义 ―→ ―→ ―→ 设复数 z1, z2 对应的向量为 OZ1 , OZ2 , 则复数 z1+z2 是以 OZ1 ,

―→ ―→ OZ2 为邻边的平行四边形的 对角线 OZ 所对应的复数,z1-z2 是 ―→ ―→ ―→ 连接向量 OZ1 与 OZ2 的终点并指向 OZ1 的向量 所对应的复数.

[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解 它包含两个方面:一方面是利用几何意义可以把几何图 形的变换转化为复数运算去处理,另一方面对于一些复数的 运算也可以给予几何解释, 使复数作为工具运用于几何之中.

[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应. (2)复数与复数相加减后结果只能是实数. ( × ) ( × )

(3)因为虚数不能比较大小,所以虚数的模也不能比较大小. ( × )

2.已知复数 z1=3+4i,z2=3-4i,则 z1+z2 等于 A.8i C.6+8i B. 6 D.6-8i

(

)

答案:B
3.已知复数 z 满足 z+i-3=3-i,则 z 等于 A.0 C.6
答案:D

(

)

B.2i D.6-2i

4.在复平面内,复数 1+i 与 1+3i 分别对应向量 OA 和OB , 其中 O 为坐标原点,则| AB |等于 A. 2 C. 10
答案:B

(

)

B. 2 D.4

复数代数形式的加、减运算
[典例] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.

(2)已知 z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i, x,y 为实数,若 z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=________.
[解析] (1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.

(2)z1 - z2 = [(3x - 4y) + (y - 2x)i] - [( - 2x + y) + (x - 3y)i] = [(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+ 4y)i=5-3i,

? ?5x-5y=5, 所以? ? ?-3x+4y=-3,

解得 x=1,y=0,

所以 z1=3-2i,z2=-2+i,则 z1+z2=1-i, 所以|z1+z2|= 2. [答案] (1)-2-i (2) 2

复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加 减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要 准确地提取复数的实部与虚部. (2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数 的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. (3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号, 括号优先; 若无括号,可以从左到右依次进行计算.

[活学活用]

已知复数 z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若 z1+z2 是纯虚 数,则实数 a=________.
解析:由条件知 z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又 z1+z2
2 ? ?a -2a-3=0, 是纯虚数,所以? 2 ? ?a -1≠0,

解得 a=3.

答案:3

复数加减运算的几何意义
[典例] 如图所示,平行四边形 OABC

的顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i.求: ―→ (1) AO 表示的复数; ―→ (2)对角线 CA 表示的复数; ―→ (3)对角线 OB 表示的复数.

[解] -2i.

―→ ―→ ―→ (1)因为 AO =- OA ,所以 AO 表示的复数为- 3

―→ ―→ ―→ ―→ (2)因为 CA = OA - OC ,所以对角线 CA 表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ―→ ―→ ―→ ―→ (3)因为对角线 OB = OA + OC ,所以对角线 OB 表示的 复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.

复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点 的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终 点所对应的复数可能改变.

[活学活用] ―→ 复平面内三点 A, B, C, A 点对应的复数为 2+i, 向量 BA ―→ 对应的复数为 1+2i, 向量 BC 对应的复数为 3-i, 求点 C 对应的复数. ―→ ―→ 解:∵ BA 对应的复数为 1+2i, BC 对应的复数为 3-i.
―→ ―→ ―→ ∴ AC = BC - BA 对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. ―→ ―→ ―→ 又∵ OC = OA + AC , ∴C 点对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.

复数模的最值问题

[典例]

(1)如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i ( 1 B. 2 D. 5 )

+1|的最小值是 A.1 C.2

(2)若复数 z 满足|z+ 3+i|≤1, 求|z|的最大值和最小值.

[解析]

(1)设复数-i,i,-1-i 在复平面内对应

的点分别为 Z1,Z2,Z3, 因为|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|=2,所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2. 问题转化为:动点 Z 在线段 Z1Z2 上移动,求|ZZ3|的最小值, 因为|Z1Z3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A

―→ (2)解:如图所示, | OM |= (- 3)2+(-1)2=2. 所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.

[一题多变] 1.[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z|=1 且 z∈C, 求|z-2-2i|(i 为虚数单位)的最小值.
解:因为|z|=1 且 z∈C,作图如图:

所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点 M 到复平面上 的点 P(2,2)的距离,所以 |z-2-2i|的最小值为|OP|-1= 2 2-1.

2.[变条件]若题(2)中条件不变,求|z- 3|2+|z-2i|2 的最大值 和最小值. 解:如图所示,在圆面上任取一点 P,与复数 zA= 3,zB
―→ ―→ ―→ ―→ =2i 对应点 A, B 相连, 得向量 PA , PB , 再以 PA , PB 为邻边作平行四边形.

P 为圆面上任一点,zP=z, ―→ 2 ―→ 2 ―→ 2 ―→ 2 ―→ 2 则 2| PA | +2| PB | =| AB | +(2|PO′|) =7+4|PO′| ,(平行四 边形四条边的平方和等于对角线的平方和),
? ? 1? 3 ? ? ? ?2? 所以|z- 3| +|z-2i| = ?7+4?z- -i? ?. 2? 2 ? ? ?
2 2

? 而? ?z- ? ? ? ?z- ?

43 3 ? ? -i?max=|O′M|+1=1+ 2 , 2 ?

43 3 ? ? -i?min=|O′M|-1= 2 -1. 2 ?

所以|z- 3|2+|z-2i|2 的最大值为 27+2 43, 最小值为 27-2 43.

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