最新-江苏省东台中学2018届高三数学一轮复习 专题一第三讲函数与方程及函数的实际应用(教师版) 精品


专题一
一、方程有解的问题

第三讲

函数与方程及函数的实际应用

例 1:集合 A ? {( x, y) | y ? x 2 ? mx ? 2} ,B= {( x, y) | x ? y ? 1 ? 0且0 ? x ? 2} 。若 A ? B ? ? ,求实 数 m 的取值范围。 解:由 x 2 ? mx ? 2 ? x ? 1 ? x 2 ? (m ?1) x ? 1 ? 0 x ?[0,2] , 由题设知上述方程在 [0,2] 内必有解。 所以:⑴ 若在 [0,2] 只有一个解,则 f (0) f (2) ? 0 ? m ? ?
3 2

? f (2) ? 0 ? m ?1 3 ? ⑵若在 [0,2] 只有二个解,则 ?0 ? ? ? 2 ? ? ? m ? ?1 2 2 ? ? ? 0 ? ?

由⑴⑵知: m ? ?1 二、二分法 例 2: 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 参考数据如下:

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根为 答案:1.437 5 三、利用两点式设二次函数 例 3:设函数 f ( x) ? ?



1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率 1 ,f( 1 )) (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0 , x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
【答案】 (1)1(2) f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增

函数。函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 【解析】解:当 m ? 1时, f ( x) ? x ? x , f ( x) ? x ? 2 x, 故f (1) ? 1 3
所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1 ,f( 1 )) (2)解: f ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m 因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解:由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3 4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最 3 1 2 小值为 0, 于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ? ? 0 , 3
则 f ( x) ?? ? 解得 ?

3 3 ?m? 3 3 1 3 ) 2 3

综上,m 的取值范围是 ( ,

专题一

第三讲

函数与方程及函数的实际应用

班级_________________姓名____________________ 一、填空题:

? 1、关于 x 的方程 cos2x-sinx+a=0 在 (0, ] 上有解,则 a 的取值范围为___
2

__.

2、在用二分法求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2)内,则
3

下一步可断定该根所在的区间为______________. 3、若函数 f ( x) ? a x ? x ? a(a ? 0, a ? 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围是 。

?2? x ? 1 x?0 , 若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根, 4. 已知函数 f ( x ) ? ? ( x ? 0) ? f ( x ? 1)
则实数 a 的取值范围是
x

。 。

5.若 x1 满足 2 x ? 2 ? 5 , x2 满足 2 x ? 2log2 ( x ?1) ? 5 ,则 x1 ? x2 ? 6、若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a∈___ __.

7、已知 a 是使表达式 2x+1>42-x 成立的最小整数,则方程 1-|2x-1|=ax-1 实数根的个数 为 8、函数 f ( x) ? ? 。

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ?2 ? ln x, x ? 0
x x

的零点个数为



9、 已知函数 f ( x) ? 4 ? m ? 2 ? 1 有且只有一个零点, 则实数 m 的取值范围是



10、定义域和值域均为[-4,4]的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图所示,下列命题正确的 是 。

1 )方程 f(g(x))=0 有且仅 ○ 有三个根 2 )方程 g(f(x))=0 有且仅有三个根 ○ 4 )方程 g(g(x))=0 有且仅有两个根 ○

3 )方程 f(f(x))=0 有且仅有两个根 ○

11、 如图, A、 B、 C、 D 是某煤矿的四个采煤点, l 为公路, 图中所示线段为道路, ABQP, BCRQ,

CDSR 近似于正方形,已知 A,B,C,D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 3∶2∶1∶5,运

煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从 P,Q,R,S 中选出一处设立一个 运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在 。

12、为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面,某运输公司提出五种运输方案,据预测,这 五种方案均能在规定时间 T 完成预期的运输任务 Q0,各种方案的运煤总量 Q 与时间 t 的 函数关系如下图所示 .在这五种方案中,运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是 ________________.

二、解答题: 13、二次函数 根,求最小的正整数 。 的系数都是整数且 在(0,1)内有两个不等的

14、已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处取 得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.

15、 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后, 发现一天中综合污染指数
f ( x) 与时间

x(小时)的关系为
1 3 3 4

1 ? 1 f ( x) =| sin x ? ? a |+2a, x ? [0, 24] ,其中 2 32 3

a 为与气象有

关的参数,且 a ?[ , ] .若将每天中 f ( x) 的最大值作为当天的综合污染指数,并记作 M(a) . (1)令 t= sin
1 2

?
32

x , x ? [0, 24] ,求 t 的取值范围;

(2) 求函数 M(a)的解析式; (3) 为加强对环境污染的整治,市政府规定每天的综合污染指数不得超过 2,试问目前市中 心的综合污染指数是否超标?

16、已知函数 f ( x) ? log m

x ?3 x?3

(1)若 f(x)的定义域为 ?α, β? , (β >α >0) ,判断 f(x)在定义域上的增减性,并加以说 明;

(2)当 0<m<1 时,使 f(x)的值域为 ?logm m?β ? 1?, logm m?α ? 1?? 的定义域区间为 ?α, β? (β >α >0)是否存在?请说明理由.

17、已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 a>b>c 且 f(1)=0,是否存在实数 m,使得当 f(m)=-a 成立时,

2

f(m+3)为正数?若存在,则证明你的结论;若不存在,则说明理由.
1 (2)若 x1 ? x2 ,f(x1)≠f(x2)且方程 f(x)= [f(x1)+f(x2) ]有两个不相 2 等的实数根,求证:必有一实数根在 x1 与 x2 之间.

第三讲 一、填空题:

函数与方程及函数的实际应用答案

1、 (-1,1] 5、

2、 (

,2)

3、a ? 1

4、 (-∞,1)

7 2

6、 (1,+∞) 8、2 的两根为 , 9、m=-2 ,且 1 10、○ , , 。 11、R ,于是 12、② ,

7、 2 13、令



同理

,且等号不同时成立,所以 ,而 ,故最小的正整数 ,所以



14、 【解析】 (1)设 g ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1
b?2

b ? ?1 2 ? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1, ?

c ? m;

f ? x? ?
2

g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?
2 0

?2 2m2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得

m ?2?0, x ?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 ?*?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1 1 k ? 1? , 函 数 当 k ? 1 时 , 方 程 ?*? 有 一 解 ? ? ? 4 ? 4m ? 1 ? k ? ? 0, m 1 x? y ? f? x x ? ? k 有一零点 k ?1 k ? 1?
15、(Ⅰ):因为 x ? [0, 24] ,所以
1 3 3 4 1 3

?x
32 5 12

? [0, 1 2

3? ?x 1 ] ,所以 sin( ) ? [0,1] ,故 t ? [0, ] . 4 32 2

(Ⅱ)因为 a ?[ , ] ,所以 0≤a- ≤ < ,
1 1 ? ??t ? 3a ? 3 , t ? [0, a ? 3 ] 1 ? . . f (t ) ? t ? (a ? ) ? 2a ? ? 3 ?t ? a ? 1 , t ? [a ? 1 , 1 ] ? 3 3 2 ?

当 t ? [0, a ? ] 时, f (t )max ? f (0) ? 3a ? ; 当 t ? [a ? , ] , f (t )max ? f ( ) ? ? a . 而 f (0) ? f ( ) ? 2a ? , 当 ≤a≤ 当
1 3 7 1 1 5 , f (0)≤f ( ) , M (a) ? f ( ) ? ? a ; 12 2 2 6 1 2 7 6 1 1 3 2 1 2 5 6

1 3

1 3

7 3 1 1 <a≤ , f (0) ? f ( ) , M (a) ? f (0) ? 3a ? . 12 4 2 3

1 7 ?5 ? a, a ? [ , ], ? ?6 3 12 所以 M (a) ? ? , 1 ?3a ? , a ? ( 7 , 3 ] ? 3 12 4 ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 M ( a ) 的最大值为 16、解: (1)

23 ,它小于 2,所以目前市中心的综合污染指数没有超标 12

x?3 ? 0 ? x<–3 或 x>3. x?3

∵f(x)定义域为 ?α, β? ,∴α >3 设 β ≥x1>x2≥α ,有
x1 ? 3 x 2 ? 3 6( x1 ? x 2 ) ? ? ?0 x1 ? 3 x 2 ? 3 ( x1 ? 3)( x 2 ? 3)

当 0<m<1 时,f(x)为减函数,当 m>1 时,f(x)为增函数. (2)若 f(x)在 ?α, β? 上的值域为 ?logm m?β ? 1?, logm m?α ? 1??

∵0<m<1, f(x)为减函数.
β?3 ? f (β) ? logm ? logm m(β ? 1) ? β?3 ? ∴? ? f (α) ? log α ? 3 ? log m(α ? 1) m m ? α?3 ?
2 ? ?mβ ? (2m ? 1)β ? 3(m ? 1) ? 0 即? , 又β ? α ? 3 2 ? ?mα ? (2m ? 1)α ? 3(m ? 1) ? 0

即 α ,β 为方程 mx +(2m–1)x–3(m–1)=0 的大于 3 的两个根
?0 ? m ? 1 ? ? ? 16m 2 ? 16m ? 1 ? 0 ? ? ∴ ? 2m ? 1 ?3 ?? 2m ? ? ?mf (3) ? 0

2

∴0<m<

2? 3 4

故当 0<m<

2? 3 时,满足题意条件的 m 存在. 4

17、证: (1)由 f(1)=a+b+c=0 及 a>b>c 得 a>0,c<0,∴ <0, 又 a>-a-c,∴-2a<c,a>0,∴ >-2, ∴-2< <0, 假设存在实数 m,使 f(m)=-a 成立, 则由 ,1 是 f(x)=0 的两根知:f(x)=a(x- ) (x-1)

c a

c a

c a

c a

c a

c c a a c c 进而 +3<m+3,且 +3>1,∴m+3>1, a a 又 f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f(m+3)>f(1)=0,
从而 f(m)=a(m- ) (m-1)=-a<0,∴ <m<1, 故满足条件的实数存在. 1 (2)令 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2) ] ,则 g(x)为二次函数, 2 1 1 ∴g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2) ]= [f(x1)-f(x2) ] 2 2 1 1 ∴g(x2)=f(x2)- [f(x1)+f(x2) ]=- [f(x1)-f(x2) ] 2 2 1 2 ∴g(x1)·g(x2)=- [f(x1)-f(x2) ] <0 4 又 x1<x2,∴g(x)=0 必有一根在 x1,x2 之间,

1 故 f(x)= [f(x1)+f(x2) ]必有一根在 x1,x2 之间.精品推荐 强力推荐 值得拥有 2


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